Mecânica III · Episódio 3

A conta que liga Plutão a Mercúrio

A 3ª lei de Kepler

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 31 / 19

O caso

Órbitas de Mercúrio e Plutão em volta do Sol, fora de escala

Mercúrio: 0,387 UA · volta em 87,97 dias
Plutão: 39,48 UA · volta em 247,94 anos
cerca de 100 vezes a distância · cerca de 1 000 vezes o tempo (1 029)
2022: sonda bate em Dimorphos → período cai 32 min

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 32 / 19

O caso

Mercúrio: 0,387 UA · volta em 87,97 dias
Plutão: 39,48 UA · volta em 247,94 anos
cerca de 100 vezes a distância · cerca de 1 000 vezes o tempo (1 029)
2022: sonda bate em Dimorphos → período cai 32 min

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 32 / 19

O caso

Mercúrio: 0,387 UA · volta em 87,97 dias
Plutão: 39,48 UA · volta em 247,94 anos
cerca de 100 vezes a distância · cerca de 1 000 vezes o tempo (1 029)
2022: sonda bate em Dimorphos → período cai 32 min

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 32 / 19

O caso

Mercúrio: 0,387 UA · volta em 87,97 dias
Plutão: 39,48 UA · volta em 247,94 anos
cerca de 100 vezes a distância · cerca de 1 000 vezes o tempo (1 029)
2022: sonda bate em Dimorphos → período cai 32 min

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 32 / 19

Pergunta do episódio

Que regra amarra a distância ao tempo de uma volta?

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 33 / 19

Conceito 1 — O que falta à 2ª lei

Nove corpos em fila com distância em UA e período

a 2ª lei: ritmo dentro da volta · não a duração
mais longe → mais tempo · não proporcional
distante: mais caminho e mais lento (Netuno 5,4 km/s)

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 34 / 19

Conceito 1 — O que falta à 2ª lei

a 2ª lei: ritmo dentro da volta · não a duração
mais longe → mais tempo · não proporcional
distante: mais caminho e mais lento (Netuno 5,4 km/s)

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 34 / 19

Conceito 1 — O que falta à 2ª lei

a 2ª lei: ritmo dentro da volta · não a duração
mais longe → mais tempo · não proporcional
distante: mais caminho e mais lento (Netuno 5,4 km/s)

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 34 / 19

Exemplo resolvido — Saturno fora da proporção

Saturno: 9,6 UA · 29,5 anos · Terra: 1 UA · 1 ano · tempo por UA ()?

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

Terra: 1 ano/UA → cresce mais que a distância

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 35 / 19

Exemplo resolvido — Saturno fora da proporção

Saturno: 9,6 UA · 29,5 anos · Terra: 1 UA · 1 ano · tempo por UA ()?

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

Terra: 1 ano/UA → cresce mais que a distância

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 35 / 19

Exemplo resolvido — Saturno fora da proporção

Saturno: 9,6 UA · 29,5 anos · Terra: 1 UA · 1 ano · tempo por UA ()?

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

Terra: 1 ano/UA → cresce mais que a distância

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 35 / 19

Conceito 2 — 3ª lei de Kepler

Pares de barras T² e a³ de mesma altura para quatro corpos

: período · : semieixo maior
mesma constante para o mesmo centro
massa de quem orbita: não entra

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 36 / 19

Conceito 2 — 3ª lei de Kepler

: período · : semieixo maior
mesma constante para o mesmo centro
massa de quem orbita: não entra

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 36 / 19

Conceito 2 — 3ª lei de Kepler

: período · : semieixo maior
mesma constante para o mesmo centro
massa de quem orbita: não entra

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 36 / 19

Exemplo resolvido — Plutão confere

Centro: Sol · 248 anos · 39,5 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

em anos e UA · diferença menor que 1%

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 37 / 19

Exemplo resolvido — Plutão confere

Centro: Sol · 248 anos · 39,5 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

em anos e UA · diferença menor que 1%

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 37 / 19

Exemplo resolvido — Plutão confere

Centro: Sol · 248 anos · 39,5 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

em anos e UA · diferença menor que 1%

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 37 / 19

Conceito 3 — Régua da Terra:

Curva do período contra a distância, com a reta T = a abaixo

Terra: 1 ano · 1 UA → constante igual a 1
só Sol no centro · só anos e UA

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 38 / 19

Exemplo resolvido — Mercúrio confere

Centro: Sol · 88 dias · 0,387 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

em dias, a igualdade some

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 39 / 19

Exemplo resolvido — Mercúrio confere

Centro: Sol · 88 dias · 0,387 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

em dias, a igualdade some

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 39 / 19

Exemplo resolvido — Mercúrio confere

Centro: Sol · 88 dias · 0,387 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

em dias, a igualdade some

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 39 / 19

Conceito 4 — Razão entre órbitas

Distância ×2, ×4, ×100 levando a tempo ×2,8, ×8, ×1 000

sem constante
distância 2 vezes → 2,8; 4 vezes → 8; 100 vezes → 1 000
caminho: razão ao cubo, depois raiz quadrada

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 310 / 19

Conceito 4 — Razão entre órbitas

sem constante
distância 2 vezes → 2,8; 4 vezes → 8; 100 vezes → 1 000
caminho: razão ao cubo, depois raiz quadrada

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 310 / 19

Conceito 4 — Razão entre órbitas

sem constante
distância 2 vezes → 2,8; 4 vezes → 8; 100 vezes → 1 000
caminho: razão ao cubo, depois raiz quadrada

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 310 / 19

Exemplo resolvido — Plutão contra Mercúrio

Reta com Mercúrio, Terra e Plutão e as contas T² = a³

Centro: Sol · 39,5 UA e 0,387 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

medido: 1 029

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 311 / 19

Exemplo resolvido — Plutão contra Mercúrio

Centro: Sol · 39,5 UA e 0,387 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

medido: 1 029

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 311 / 19

Exemplo resolvido — Plutão contra Mercúrio

Centro: Sol · 39,5 UA e 0,387 UA

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

medido: 1 029

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 311 / 19

Conceito 5 — Outro centro, outra constante

Terra no centro com a estação espacial perto e a Lua longe

centro Terra: estação 6 800 km, 93 min · Lua 384 000 km, 27,3 d
raio da órbita:

Lua e Marte: centros diferentes → sem comparação

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 312 / 19

Exemplo resolvido — uma volta por dia

Centro: Terra · estação: 6 800 km, 93 min · satélite: 42 200 km

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

cerca de 24 h · geoestacionário

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 313 / 19

Exemplo resolvido — uma volta por dia

Centro: Terra · estação: 6 800 km, 93 min · satélite: 42 200 km

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

cerca de 24 h · geoestacionário

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 313 / 19

Exemplo resolvido — uma volta por dia

Centro: Terra · estação: 6 800 km, 93 min · satélite: 42 200 km

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

cerca de 24 h · geoestacionário

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 313 / 19

Conceito 6 — Os 32 minutos do DART

Duas órbitas de Dimorphos quase sobrepostas em volta de Didymos

centro: Didymos · 1 189 m → 1 152 m (−3,1%)
período: 11 h 55 min → 11 h 22 min (−4,6%)
órbita menor → período menor · massa do centro cancela

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 314 / 19

Conceito 6 — Os 32 minutos do DART

centro: Didymos · 1 189 m → 1 152 m (−3,1%)
período: 11 h 55 min → 11 h 22 min (−4,6%)
órbita menor → período menor · massa do centro cancela

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 314 / 19

Conceito 6 — Os 32 minutos do DART

centro: Didymos · 1 189 m → 1 152 m (−3,1%)
período: 11 h 55 min → 11 h 22 min (−4,6%)
órbita menor → período menor · massa do centro cancela

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 314 / 19

Exemplo resolvido — o período depois do impacto

Centro: Didymos · órbita de 1 189 m → 1 152 m · antes: 715 min

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

682 min: 11 h 22 min

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 315 / 19

Exemplo resolvido — o período depois do impacto

Centro: Didymos · órbita de 1 189 m → 1 152 m · antes: 715 min

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

682 min: 11 h 22 min

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 315 / 19

Exemplo resolvido — o período depois do impacto

Centro: Didymos · órbita de 1 189 m → 1 152 m · antes: 715 min

Fórmula:

Substituição:

Resultado:

682 min: 11 h 22 min

Professor Canário · Mecânica III · Episódio 315 / 19

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