Capítulo 1A pista que para um caminhão sem freio

Trabalho de uma força

Um caminhão sem freio entra numa caixa de argila e para em menos de 150 metros, sem ninguém pisar em nada: uma força modesta, ao longo de uma distância grande, pagou o preço de parar quarenta toneladas.

Neste capítulo você vai

Calcular o trabalho de uma força constante com o cosseno do ângulo entre a força e o caminho
Reconhecer as forças que não trabalham e ler o sinal do trabalho: a favor, contra ou de lado
Medir o trabalho como a área sob o gráfico da força e somar o trabalho de várias forças

Assista ao episódio 1

Este capítulo acompanha o episódio 1 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.

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O caso: cento e cinquenta metros de argila

Descida da serra na BR-376, no km 667 do litoral do Paraná, sentido Santa Catarina. Um caminhão carregado desce a serra e o freio não responde. O motorista não tem pedal, não tem marcha que segure, e à frente vem uma curva. À direita, uma pista lateral com o chão quadriculado: a área de escape. Ele entra.

Esquema de uma área de escape vista de lado. À esquerda, a rodovia em descida; dela sai uma pista de aproximação de 500 m, tracejada, que leva a uma caixa retangular de 150 m de comprimento e 1,1 m de profundidade, cheia de argila expandida em bolinhas claras. Um caminhão está afundado na caixa, parado a 100 m da entrada. Uma seta salmão aponta para trás, contra o movimento: a força da argila no caminhão. Uma cota de 100 m marca o trecho em que ela agiu. — **Figura 1.1** — Cento e cinquenta metros de argila, e o caminhão para antes do fim. Ninguém pisou em nada.

A pista leva a uma caixa de concreto de 150 m de comprimento e 1,1 m de profundidade, cheia de argila expandida — bolinhas leves de barro cozido, as mesmas dos vasos de planta. O caminhão afunda até o eixo, as rodas empurram a argila para a frente e para os lados, e em alguns segundos ele para, antes do fim da caixa. Sem freio, sem motorista pisando em nada. A caixa foi inaugurada em novembro de 2019 e, em cinco anos, recebeu 272 veículos em apuros — 554 pessoas que desceram a serra e chegaram em casa.

O que parou o caminhão? Não foi um muro: um muro para em centímetros, e ninguém sai dele inteiro. Foi uma força modesta — a argila empurrando contra — que agiu ao longo de uma distância grande. É essa a conta que este capítulo monta: força vezes distância, com um cuidado a mais sobre o ângulo, e um nome para o resultado. O nome é trabalho, e o número que sai dele, no caso do caminhão, é a primeira peça da ideia que dá nome à série inteira: energia.

Trabalho: força ao longo do caminho

Na linguagem de todo dia, trabalho é qualquer esforço: segurar uma mala parada cansa, e alguém diria que dá trabalho. Na física, a palavra tem um sentido estreito e exato. Uma força só realiza trabalho quando o corpo em que ela age se desloca, e o trabalho mede quanto dessa força foi aplicada ao longo do caminho.

Uma caixa sobre o chão é empurrada por uma força salmão horizontal F, para a direita. A caixa aparece em duas posições, a inicial em contorno claro e a final preenchida, separadas por uma cota d. Embaixo, a fórmula W = F × d e, num cartão, 1 J = 1 N × 1 m. — **Figura 1.2** — Força na direção do caminho: o trabalho é a força vezes a distância.

Quando a força aponta exatamente na direção e no sentido do deslocamento, a conta é a mais simples de todas: o trabalho W é o módulo da força vezes a distância percorrida.

Definição

Trabalho de uma força constante (força na direção do movimento)

Trabalho = força × distância: W = F × d.
A unidade é o joule (J): 1 J = 1 N × 1 m, o trabalho de uma força de 1 newton ao longo de 1 metro.
Trabalho é escalar: tem valor e sinal, mas não tem direção. Nas figuras deste livro ele nunca ganha seta — aparece como número, barra ou área.

Um joule é pouco. Levantar do chão até a mesa, a 1 m, um pacote de 100 g — um celular pequeno, uma maçã — custa cerca de 1 J: o peso é 0,1 kg × 10 m/s² = 1 N, e a distância é 1 m. Empurrar uma caixa pesada por uma sala dá centenas de joules. Parar um caminhão, como a seção final vai mostrar, dá milhões. Por isso os joules costumam vir acompanhados de potências de dez, do jeito que a série anterior ensinou a escrever.

Um pacote de 100 g erguido do chão até uma mesa a 1 m. Ao lado, a força da mão, de 1 N, para cima, com a cota de 1 m. Ao lado, W = 1 N × 1 m = 1 J; e uma régua de escalas: 1 J (o pacote), mil joules (empurrar uma caixa pela sala), milhões de joules (parar o caminhão). — **Figura 1.3** — Um joule: 100 gramas erguidos a um metro. O caminhão vale milhões disso.

Atenção

Parado, não trabalha

Segurar uma mala de 20 kg por dez minutos cansa os braços, mas, se a mala não sai do lugar, a força da mão sobre ela realiza trabalho zero: a distância é zero. O cansaço é dos músculos, que se contraem e relaxam o tempo todo por dentro; a mala não recebeu nada.

Força inclinada: só a sombra no caminho trabalha

Nem sempre a força aponta para onde o corpo vai. Quem puxa uma mala de rodinhas pela alça puxa inclinado: um pouco para a frente, um pouco para cima. A mala anda na horizontal. Quanto dessa força trabalha?

Uma caixa puxada por uma corda inclinada 37 graus acima do chão, com força salmão de 100 N. Da ponta da força descem linhas tracejadas até os eixos: a componente horizontal, de 80 N, desenhada em salmão cheio, com o rótulo "trabalha"; a componente vertical, de 60 N, em traço claro, com o rótulo "não trabalha: o caminho é horizontal". Uma cota de 10 m marca o deslocamento. — **Figura 1.4** — Da força inclinada, só a sombra na direção do caminho trabalha: 80 dos 100 newtons.

A resposta usa a ferramenta do capítulo de vetores da série anterior: decompor. A força inclinada vale o mesmo que duas forças retas, uma na direção do caminho e outra perpendicular a ele. A componente na direção do caminho trabalha inteira; a perpendicular não trabalha nada (a próxima seção mostra por quê). E a componente na direção do caminho é a força vezes o cosseno do ângulo entre a força e o deslocamento.

Definição

Trabalho de uma força constante (caso geral)

W = F × d × cos θ, em que θ é o ângulo entre a força e o deslocamento.

F × cos θ é a componente da força na direção do caminho — a sombra da força no chão.
Com θ = 0°, cos θ = 1 e a fórmula volta a ser F × d.

Com o triângulo de sempre, sen 37° = 0,6 e cos 37° = 0,8: uma corda que puxa com 100 N, inclinada 37°, puxa para a frente com 100 × 0,8 = 80 N. Arrastando a caixa por 10 m, o trabalho é 80 × 10 = 800 J — e não os 1.000 J de quem esqueceu o ângulo. Os outros 60 N, verticais, só aliviam o chão: a caixa não sobe, e eles não entram na conta.

Dica ENEM

Dica ENEM: o ângulo é entre a força e o deslocamento

O cosseno usa o ângulo entre a força e o caminho, não entre a força e a parede, nem o ângulo da rampa por reflexo. Antes de multiplicar, desenhe as duas setas saindo do mesmo ponto — a da força e a do deslocamento — e meça o ângulo entre elas.

Força perpendicular não trabalha

Se o ângulo entre a força e o caminho é de 90°, o cosseno é zero e o trabalho também. Não é detalhe de conta; é o jeito de a natureza dizer que uma força de lado não empurra nem segura o movimento, só muda a direção dele ou sustenta o corpo.

Dois painéis. No primeiro, uma bandeja carregada por uma mão anda para a direita: a força da mão, para cima, é salmão; o deslocamento, horizontal, é uma cota; entre elas, um ângulo reto e o rótulo W = 0. No segundo, uma pedra gira presa a um barbante, vista de cima: a força do barbante aponta para o centro e a velocidade é tangente ao círculo; de novo um ângulo reto e W = 0. — **Figura 1.5** — Força de lado não trabalha: a mão que carrega a bandeja e o barbante que faz a pedra girar.

Três casos que a prova adora, todos com trabalho zero:

A bandeja no corredor. O garçom caminha em linha reta, com a bandeja na mesma altura. A mão empurra para cima; a bandeja anda na horizontal. Ângulo de 90°: a força da mão não realiza trabalho sobre a bandeja, por maior que seja o corredor.
A normal no chão plano. Um carro anda numa estrada reta e plana. O chão empurra o carro para cima; o carro anda para a frente. A normal não trabalha — e o peso, pelo mesmo motivo, também não.
A força que faz girar. Uma pedra presa a um barbante gira em círculo com velocidade de módulo constante. A força do barbante aponta sempre para o centro, e o movimento é sempre tangente ao círculo. O barbante não acelera nem freia a pedra; só vira a direção dela. Trabalho zero, volta após volta — o mesmo vale para um satélite em órbita circular.

Atenção

Trabalho não é "força vezes distância" sem olhar o ângulo

A frase curta engana. Força vezes distância só vale quando a força está na direção do caminho. Uma força perpendicular ao deslocamento, por maior que seja, realiza trabalho zero.

Positivo, negativo ou zero

O cosseno não fica só entre 0 e 1: para ângulos acima de 90°, ele é negativo. Isso dá ao trabalho um sinal, e o sinal tem significado físico.

Três painéis com uma caixa andando para a direita e uma força salmão em cada. No primeiro, a força aponta para a direita: ângulo 0 grau, cosseno 1, trabalho positivo, "a força ajuda". No segundo, a força aponta para cima: ângulo 90 graus, cosseno 0, trabalho zero, "a força não ajuda nem atrapalha". No terceiro, a força aponta para a esquerda: ângulo 180 graus, cosseno menos 1, trabalho negativo, "a força atrapalha". — **Figura 1.6** — O sinal do trabalho diz se a força ajuda, atrapalha ou só assiste.

ângulo entre F e d	cos θ	trabalho
0° (a favor)	1	positivo: a força ajuda
90° (de lado)	0	zero: não ajuda nem atrapalha
180° (contra)	−1	negativo: a força atrapalha

Trabalho positivo é o da força que empurra a favor do movimento: o motor puxando o carro, a mão empurrando a caixa. Trabalho negativo é o da força que age contra o movimento: o atrito de uma caixa arrastada, o freio, a argila da área de escape. O atrito que se opõe ao escorregamento aponta sempre contra o deslizamento, e por isso o trabalho dele, nesse caso, é sempre negativo.

O peso na subida e na descida

O peso aponta sempre para baixo. Quando uma caixa de 20 kg sobe 3 m, o peso (200 N) aponta contra o deslocamento, e o trabalho do peso é −200 × 3 = −600 J. Quando a mesma caixa desce os mesmos 3 m, o peso aponta a favor: +600 J. Subir e voltar ao mesmo lugar dá, para o peso, trabalho total zero — uma observação pequena que vira ferramenta grande no capítulo da montanha-russa.

Duas cenas lado a lado com a mesma caixa de 20 kg e o peso salmão de 200 N apontando para baixo. Na subida, a caixa sobe 3 m e o rótulo diz: peso contra o movimento, trabalho do peso igual a menos 600 J. Na descida, a caixa desce 3 m: peso a favor, trabalho do peso igual a mais 600 J. — **Figura 1.7** — O peso não muda; o sentido do caminho muda o sinal do trabalho.

Trabalho é área

A série anterior mostrou que a área sob o gráfico da velocidade mede o deslocamento. O trabalho tem o mesmo truque: a área sob o gráfico da força (na direção do caminho) contra a posição mede o trabalho. Com força constante, o gráfico é uma linha horizontal, e a área é um retângulo: altura F, base d, área F × d.

Gráfico com a força em newtons no eixo vertical e a posição em metros no horizontal. Uma linha horizontal na altura de 200 N vai de 0 a 5 m; o retângulo abaixo dela está pintado em destaque, com o rótulo "área = 200 × 5 = 1.000 J = trabalho". — **Figura 1.8** — Força constante: o trabalho é o retângulo sob a linha.

A vantagem do gráfico aparece quando a força muda ao longo do caminho — e quase toda força de verdade muda. A fórmula F × d deixa de valer, mas a área continua valendo: basta somar os pedaços. Uma força que cresce de 0 a 100 N nos primeiros 2 m e depois fica constante em 100 N por mais 3 m realiza um trabalho igual a um triângulo mais um retângulo: 100 × 2 ÷ 2 + 100 × 3 = 100 + 300 = 400 J. O triângulo vai voltar no capítulo do arco e flecha, onde a força de uma mola cresce exatamente assim.

Gráfico de força contra posição. A força sobe em linha reta de 0 a 100 N entre 0 e 2 m e fica em 100 N até 5 m. A área abaixo está dividida em um triângulo, com o rótulo 100 J, e um retângulo, com o rótulo 300 J; total 400 J. — **Figura 1.9** — Força que muda: a fórmula falha, a área não. Triângulo mais retângulo.

Atenção

Área abaixo do eixo conta com sinal negativo

Força contra o movimento aparece no gráfico abaixo do eixo, e a área dela entra na soma com sinal de menos. É o gráfico da área de escape: uma faixa inteira abaixo do eixo.

Trabalho total e o preço de parar

Num corpo agem, em geral, várias forças: a que puxa, o atrito, o peso, a normal. Cada uma realiza o seu trabalho, com o seu sinal. O trabalho total é a soma deles — e dá o mesmo que o trabalho da força resultante, porque somar as forças antes ou somar os trabalhos depois é a mesma conta.

Uma caixa sobre um chão horizontal com as quatro forças: a força que puxa, de 50 N, para a direita; o atrito, de 20 N, para a esquerda; o peso para baixo; a normal para cima. Uma cota de 4 m marca o deslocamento. Ao lado, uma tabela de barras: força que puxa, mais 200 J; atrito, menos 80 J; peso, zero; normal, zero; total, mais 120 J, igual a 30 N vezes 4 m. — **Figura 1.10** — Quatro forças, quatro trabalhos, uma soma — igual ao trabalho da resultante.

Agora o caminhão. Suponha um caminhão de 40 toneladas — um valor de exemplo, dentro do limite legal, não um dado de um acionamento real — que entra na caixa a 72 km/h, isto é, 20 m/s, e para em 100 m. A série anterior entrega a desaceleração pela equação de Torricelli, sem relógio: a = v² ÷ (2 × d) = 400 ÷ 200 = 2 m/s². Pela segunda lei de Newton, a força média da argila contra o caminhão é F = m × a = 40.000 × 2 = 80.000 N. Ela age ao longo de 100 m, contra o movimento: W = −80.000 × 100 = −8.000.000 J, ou −8 × 10⁶ J.

Gráfico de força contra posição para o caminhão na caixa. A força da argila vale menos 80.000 newtons, uma faixa horizontal abaixo do eixo, de 0 a 100 m. A faixa está pintada e rotulada: área = menos 80.000 vezes 100 = menos 8 milhões de joules. Uma marca em 150 m mostra o fim da caixa, com folga de 50 m. — **Figura 1.11** — O preço de parar o caminhão é a área da faixa: oito milhões de joules, com sinal de menos.

Oito milhões de joules, e a argila pagou todos eles, em 100 m, sem esquentar um disco de freio. Repare num detalhe da conta: −8 × 10⁶ J é exatamente metade da massa vezes o quadrado da velocidade, com sinal trocado — 40.000 × 20² ÷ 2 = 8 × 10⁶. Não é coincidência. Esse número tem nome próprio e vai ganhar o capítulo 3 inteiro. Por ora, basta a frase: o trabalho da força resultante é o preço do movimento — o que é preciso pagar para criar uma velocidade, ou para tirá-la.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos de trabalho há um passo antes: desenhar a força e o deslocamento saindo do mesmo ponto e ler o ângulo entre eles.

Exemplo 1 — A caixa empurrada

Uma pessoa empurra uma caixa com uma força horizontal de 200 N, na direção e no sentido do movimento, ao longo de 5 m. Qual é o trabalho dessa força?

Fórmula. W = F × d × cos θ, com θ = 0° (cos 0° = 1)

Substituição. W = 200 × 5 × 1

Resultado. W = 1.000 J

Conferência. é a área do retângulo de 200 N por 5 m no gráfico da força. Força a favor, trabalho positivo.

Exemplo 2 — A corda inclinada

Uma caixa é arrastada 10 m no chão horizontal por uma corda que faz 37° com o chão e puxa com 100 N. Qual é o trabalho da força da corda? E o da componente vertical? (sen 37° = 0,6; cos 37° = 0,8)

Fórmula. W = F × d × cos θ ; componente vertical: perpendicular ao caminho, cos 90° = 0

Substituição. W = 100 × 10 × 0,8 ; W vertical = 60 × 10 × 0

Resultado. W = 800 J ; W vertical = 0

Conferência. 800 J é menos que os 1.000 J de quem esquece o ângulo. Os 60 N verticais aliviam o chão, mas não trabalham.

Exemplo 3 — O peso na subida e na descida

Uma caixa de 20 kg é erguida 3 m e depois baixada de volta os mesmos 3 m. Qual é o trabalho do peso na subida, na descida e no total? (g = 10 m/s²)

Fórmula. peso P = m × g ; W do peso = P × d × cos θ (θ = 180° na subida, 0° na descida)

Substituição. P = 20 × 10 = 200 N ; subida: 200 × 3 × (−1) ; descida: 200 × 3 × 1

Resultado. subida: −600 J ; descida: +600 J ; total: 0

Conferência. ida e volta ao mesmo lugar, e o peso fica sem saldo. Essa observação é a semente da energia potencial.

Exemplo 4 — A caixa de argila

Um caminhão de 40 t entra na área de escape a 72 km/h e para em 100 m. Qual é a força média da argila sobre ele e o trabalho dessa força?

Fórmula. v = 72 ÷ 3,6 ; a = v² ÷ (2 × d) (Torricelli) ; F = m × a ; W = F × d × cos 180°

Substituição. v = 20 m/s ; a = 400 ÷ 200 ; F = 40.000 × 2 ; W = 80.000 × 100 × (−1)

Resultado. a = 2 m/s² ; F = 80.000 N ; W = −8 × 10⁶ J

Conferência. 40.000 × 20² ÷ 2 = 8 × 10⁶, o mesmo número. E os 100 m cabem nos 150 m da caixa, com 50 m de folga.

Linha do tempo do caminhão na caixa, de cima: na entrada, o velocímetro marca 72 km/h, isto é, 20 m/s; a cada 25 m, a velocidade cai; aos 100 m, zero. Embaixo, a seta salmão da força da argila, 80.000 N, apontando para trás o tempo todo, e o cartão: a = 2 m/s a cada segundo, a mesma desaceleração da frenagem forte de um carro. — **Figura 1.12** — O Exemplo 4 em desenho: 20 m/s na entrada, zero aos 100 m, a força sempre contra.

Exemplo 5 — Quatro forças, uma soma

Uma caixa é puxada 4 m num chão horizontal por uma força horizontal de 50 N, contra um atrito de 20 N. Qual é o trabalho de cada força e o trabalho total?

Fórmula. W = F × d × cos θ para cada força ; W total = soma dos trabalhos = força resultante × d

Substituição. força que puxa: 50 × 4 × 1 ; atrito: 20 × 4 × (−1) ; peso e normal: cos 90° = 0 ; resultante: (50 − 20) × 4

Resultado. +200 J ; −80 J ; 0 e 0 ; W total = +120 J

Conferência. 200 − 80 + 0 + 0 = 120 J, o mesmo que 30 N × 4 m. Total positivo: a caixa sai mais rápida do que entrou.

Radar ENEM

O ENEM cobra trabalho quase sempre com uma força inclinada ou com uma força que não trabalha escondida na cena. O formato favorito é o carrinho, a mala ou o trenó puxado por uma corda oblíqua.

Um carrinho de supermercado empurrado por uma força de 50 N inclinada 37 graus abaixo da horizontal, ao longo de 10 m. A componente horizontal, 40 N, trabalha: 400 J, num cartão marcado como certo. Ao lado, riscado com um X, o cartão 500 J: o distrator de quem multiplicou 50 por 10 sem o cosseno. — **Figura 1.13** — Pediu trabalho com força inclinada? Use a sombra da força no caminho. O 500 está lá para quem esqueceu o cosseno.

Um carrinho é empurrado 10 m com uma força de 50 N inclinada 37° abaixo da horizontal: o trabalho é 50 × 10 × 0,8 = 400 J, e o distrator é 500 J. Outros formatos que aparecem: a pergunta conceitual sobre qual força não realiza trabalho (a normal, a força que faz girar, a mão do garçom); o gráfico da força contra a posição, com a pergunta pela área; e a frenagem, em que o trabalho do atrito é negativo e o enunciado quer o módulo.

Dica ENEM

Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas

Esquecer o cosseno — força inclinada trabalha só com a componente no caminho (Exemplo 2).
Dar trabalho a quem está de lado — normal, força que faz girar e mão do garçom não trabalham.
Perder o sinal — força contra o movimento dá trabalho negativo; o atrito que freia, também (Exemplos 3 e 4).
Somar módulos no trabalho total — os sinais entram na soma (Exemplo 5).

Resumo em cinco peças

Cinco peças: trabalho é F vezes d vezes cosseno de theta, em joules; força perpendicular ao caminho não trabalha; força contra o movimento tem trabalho negativo; trabalho é a área sob o gráfico da força contra a posição; o trabalho da resultante é o preço do movimento. — **Figura 1.14** — O capítulo em cinco peças.

Trabalho é W = F × d × cos θ, medido em joules — um escalar, sem seta.
Força perpendicular ao caminho não trabalha: a normal no chão plano, a força que faz girar, a mão que carrega a bandeja.
Força a favor do movimento trabalha positivo; contra, negativo; o atrito que freia, sempre negativo.
Trabalho é a área sob o gráfico da força contra a posição — e a área continua valendo quando a força muda.
O trabalho da força resultante é o preço do movimento: parar o caminhão custou 8 milhões de joules.

Se for guardar uma frase só, guarde a caixa de argila: uma força modesta, ao longo de uma distância grande, pagou o preço de parar quarenta toneladas.

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