Capítulo 10A sonda que roubou velocidade de Júpiter

Assistência gravitacional e o fecho da mecânica celeste

Mil novecentos e setenta e sete. Uma sonda passa por Júpiter e sai dez quilômetros por segundo mais rápida, sem gastar combustível. Ninguém empurrou. Foi a gravidade — e ela pagou a conta com o planeta.

O caso: duas sondas gêmeas e um planeta que pagou a conta

Mil novecentos e setenta e sete. Duas sondas gêmeas partem da Terra com dezesseis dias de diferença, cada uma com pouco mais de oitocentos quilos, no topo de um foguete de mais de seiscentas toneladas. Uma delas passa por Júpiter dois anos depois e sai de lá dez quilômetros por segundo mais rápida — 36 000 km/h a mais — sem gastar combustível: nenhum motor foi ligado. A outra, hoje, quarenta e nove anos depois da partida, está a 171 vezes a distância da Terra ao Sol: 25,6 bilhões de quilômetros, andando a 16,9 km/s. É a coisa mais distante que a humanidade já construiu, e ainda manda sinal. A luz leva quase um dia para chegar nela.

Ninguém empurrou. A única força sobre a sonda, durante a passagem, foi a gravidade de Júpiter — a mesma lei do capítulo 4, que fez a maçã cair, a Lua girar e, no capítulo 9, o mar subir dos dois lados. Aqui ela foi usada de propósito, como ferramenta, por gente que fez a conta com anos de antecedência e acertou a passagem por um planeta a centenas de milhões de quilômetros. A manobra tem nome: assistência gravitacional, ou estilingue gravitacional.

O capítulo 9 terminou com uma pergunta: se ninguém empurrou a sonda, de onde veio essa velocidade — e quem ficou mais devagar? A resposta ocupa este capítulo, o último do livro, e junta três ideias de livros diferentes: a colisão elástica e a conservação da quantidade de movimento, do livro da Mecânica II; a energia no campo gravitacional, com o zero no infinito, do capítulo 8; e a velocidade de escape, que aqui muda de centro — sai da Terra e vai para o Sol. No fim, a série inteira cabe em cinco peças.

A colisão sem toque: no referencial do planeta

Comece pela parte que parece não dar nada. Isole a sonda: sobre ela, durante a passagem, há uma força só — a atração de Júpiter, apontando para o centro dele. Nenhum motor, nenhum contato. No diagrama de corpo livre, essa seta única é a resultante.

Agora escolha o referencial: o do planeta, como se Júpiter estivesse parado. Vista dali, a sonda vem de longe, a gravidade a puxa, ela acelera enquanto se aproxima, faz a curva em volta do planeta e vai embora, perdendo velocidade enquanto se afasta. Quando chega, desce o poço de energia potencial do capítulo 8; quando sai, sobe o mesmo poço. A energia mecânica em relação ao planeta se conserva — a gravidade é a única força e não dissipa nada —, de modo que, de volta à mesma distância de onde veio, a sonda tem a mesma energia cinética que tinha na chegada. No referencial do planeta, ela entra e sai com a mesma velocidade; só a direção mudou.

Isso tem nome no livro da Mecânica II: é uma colisão elástica, de coeficiente de restituição e = 1, aquela em que a velocidade de afastamento é igual à de aproximação. A diferença é que aqui ninguém encosta em ninguém: a gravidade faz o papel da mola, comprimindo na chegada e devolvendo na saída. Se a história acabasse aí, não haveria ganho nenhum — a sonda teria só mudado de rumo. O ganho vem do que faltou dizer: o planeta anda.

A bola contra o trem: o ganho de 2V

Troque Júpiter por um trem e a sonda por uma bola de tênis, e a conta cabe em três linhas. Uma bola vai a 10 m/s contra um trem que vem a 5 m/s em sentido contrário. Passe para o referencial do trem: dali, a bola se aproxima a 10 + 5 = 15 m/s. A batida no para-choque é elástica — não perde nada —, então a bola volta a 15 m/s em relação ao trem. Agora volte para o chão: a bola se afasta do trem a 15 m/s, e o trem anda a 5 m/s no mesmo sentido; para quem está parado na estação, a bola sai a 15 + 5 = 20 m/s.

Entrou com 10, saiu com 20: ganhou duas vezes a velocidade do trem. A regra geral, para um corpo leve que bate de frente num corpo muito mais pesado que vem a V:

v(depois) = v(antes) + 2 × V

Júpiter é o trem; a sonda é a bola; a estação é o Sol. Júpiter dá a volta no Sol a 13 km/s. Uma sonda que batesse "de frente" nele — chegando no sentido contrário e saindo de volta exatamente pela direção em que o planeta anda — ganharia 2 × 13 = 26 km/s. Esse é o teto. O ganho real das sondas de 1977 foi de cerca de 10 km/s, porque elas não chegaram de frente: passaram de lado, e a gravidade dobrou o caminho só em parte.

Para voltar do referencial do planeta ao referencial do Sol, a operação é uma soma de setas: à velocidade de saída vista do planeta soma-se, ponta com cauda, a velocidade do próprio planeta. Se a sonda sai na direção em que o planeta anda, as duas setas se alinham e a soma é a maior possível. Se sai de lado, a soma é menor. E se a sonda passa por trás do planeta de modo a sair contra o movimento dele, a soma fica menor que a de entrada: ela perde velocidade — e isso também se usa de propósito, como se verá em Netuno. O ângulo decide quanto do teto a sonda leva, e até o sinal.

Quem paga: Júpiter um milímetro atrás

Velocidade não aparece do nada, e o livro da Mecânica II tem a regra para dizer de onde ela veio: num sistema isolado, a quantidade de movimento total se conserva. O sistema aqui é a sonda mais Júpiter, e os instantes são antes e depois da passagem; a força entre os dois é interna ao sistema — ação e reação, pela terceira lei. O que um ganha de quantidade de movimento, o outro perde.

A sonda ganhou m × Δv = 800 kg × 1,0 × 10⁴ m/s = 8,0 × 10⁶ kg·m/s. Júpiter perdeu exatamente isso. Só que Júpiter tem 1,9 × 10²⁷ kg, e a perda de velocidade dele é esse número dividido pela massa: ΔV = 8,0 × 10⁶ ÷ 1,9 × 10²⁷ = 4,2 × 10⁻²¹ m/s. Nenhum instrumento mede isso.

Um número desse tamanho não cabe na cabeça, então troque a pergunta: quanto Júpiter fica atrás de onde estaria, depois de muito tempo andando esse nada mais devagar? Tome dez bilhões de anos, 3,2 × 10¹⁷ s — cerca de duas vezes a idade do Sistema Solar. A defasagem é a perda de velocidade vezes o tempo: 4,2 × 10⁻²¹ × 3,2 × 10¹⁷ = 1,3 × 10⁻³ m. Em dez bilhões de anos, Júpiter fica um milímetro atrás de onde estaria se a sonda nunca tivesse passado. (Atrás na posição, ao longo da órbita — o planeta não muda de tamanho.)

A energia conta a mesma história. Para ir de 10 para 20 km/s, a sonda ganhou ½ × 800 × (20 000² − 10 000²) = 1,2 × 10¹¹ J de energia cinética — uns 33 000 kWh. A energia cinética de Júpiter em sua órbita é de 1,6 × 10³⁵ J: a sonda levou uma fração menor que 10⁻²⁴ disso. A conta fecha nos dois livros-caixa, o do momento e o da energia: o que a sonda ganha, o planeta perde. Só trocou quem é o gigante — no capítulo 12 do livro da Mecânica II, uma sonda pequena empurrou um asteroide; aqui, um planeta enorme empurrou uma sonda pequena, e sentiu tão pouco quanto o trem sente a bola.

A energia cruza o zero: a elipse vira hipérbole

Agora o que essa velocidade a mais compra, visto pela energia — com o sistema, o instante e o zero declarados: o sistema é a sonda e o Sol, o instante é a saída de Júpiter, e o zero da energia potencial está no infinito, como no capítulo 8.

A energia potencial da sonda em relação ao Sol é negativa: U = −G × M × m ÷ r. Na distância de Júpiter, 7,8 × 10¹¹ m, com G × M do Sol = 1,33 × 10²⁰ m³/s², isso dá −1,7 × 10⁸ J para cada quilograma de sonda. A energia cinética é positiva: a 10 km/s, ½ × v² = 0,5 × 10⁸ J por quilograma. A soma, −1,2 × 10⁸ J/kg, é negativa — e o capítulo 8 ensinou a ler esse sinal: energia mecânica negativa quer dizer presa. Presa não é parada; é que ela volta. A sonda que saiu da Terra estava numa elipse em torno do Sol, com o Sol num foco, como qualquer planeta do capítulo 1.

Então vem Júpiter. A posição da sonda quase não muda durante a passagem — a potencial continua em −1,7 × 10⁸ J/kg —, mas a velocidade em relação ao Sol passa de cerca de 10 para mais de 20 km/s, e a cinética quadruplica: 2,0 × 10⁸ J/kg. A soma agora é +0,3 × 10⁸ J/kg. A barra cruzou o zero.

Energia mecânica positiva em relação ao Sol significa que a sonda tem mais do que o necessário para chegar ao infinito: ela vai se afastar para sempre, perdendo velocidade sem nunca zerar. A trajetória deixa de ser uma curva fechada. A elipse vira hipérbole — a curva que entra, dobra uma vez e sai; a elipse que não fecha. As leis de Kepler dos capítulos 1 a 3 falavam de órbitas que se repetem; a hipérbole é o caso em que não há período, porque não há volta. E um cometa que passe uma única vez pelo Sol e suma faz o mesmo: energia positiva, caminho aberto, sem data para voltar.

O escape do Sol a cada distância

Onde fica esse zero, em velocidade? A velocidade de escape do capítulo 8, v = √(2 × G × M ÷ r), vale para qualquer centro e qualquer distância. Lá o centro era a Terra e a distância, o raio dela: 11,2 km/s. Aqui o centro é o Sol, e a distância é a da órbita de Júpiter: v = √(2 × 1,33 × 10²⁰ ÷ 7,8 × 10¹¹) = √(3,41 × 10⁸) = 1,85 × 10⁴ m/s, 18,5 km/s.

Repare em dois números. Júpiter orbita o Sol a 13,1 km/s — a velocidade de órbita circular do capítulo 6, √(G × M ÷ r), com o M do Sol —, e o limiar de escape naquela distância é exatamente √2 vezes isso, como no capítulo 8: 13,1 × 1,41 = 18,5. E a sonda, que chegou a Júpiter a cerca de 10 km/s em relação ao Sol, saiu com mais do dobro: acima dos 18,5. Foi ali, naquela passagem, que ela deixou de pertencer ao Sol.

O escape muda com a distância, e na direção boa para quem quer ir embora: como r está no denominador, quanto mais longe, menor a velocidade necessária. Ela cai com a raiz da distância — quatro vezes mais longe, metade.

A regra de bolso para o Sol: divida os 42,1 km/s da órbita da Terra pela raiz da distância em UA. Em Júpiter, 42,1 ÷ √5,2 = 18,5. A 171 UA, 42,1 ÷ √171 = 42,1 ÷ 13,1 = 3,2 km/s. É por isso que um estilingue em Júpiter vale tanto: partir da órbita da Terra direto para fora do Sistema Solar exigiria 42,1 km/s em relação ao Sol; chegando a Júpiter, 18,5 bastam — e o próprio Júpiter fornece a diferença.

Quatro estilingues, um limite e uma sonda que não volta

As duas sondas partiram em agosto e setembro de 1977: a Voyager 2 primeiro, a Voyager 1 dezesseis dias depois. Os planetas de fora estavam dispostos de um jeito que só se repete a cada 175 anos — um depois do outro, do mesmo lado do Sol —, e a Voyager 2 aproveitou para fazer quatro estilingues em sequência.

Em Netuno, a última parada, ela perdeu velocidade: passou por trás do planeta, de propósito, para ver de perto a lua Tritão. O ângulo decide também o sinal. Doze anos de viagem, quatro planetas, e o combustível de bordo só serviu para pequenos ajustes de mira.

Há um limite em cada passagem, e ele é o capítulo 9. A sonda ganha mais quando passa mais perto, porque a gravidade dobra mais o caminho. Mas perto demais, a diferença de força entre uma ponta e a outra do corpo — a maré — cresce com o inverso do cubo da distância, e num corpo grande o bastante venceria o que o mantém inteiro. Longe demais, a gravidade quase não dobra a trajetória, e o ganho míngua. A distância de cada passagem foi escolhida dentro dessa janela, com anos de antecedência, por quem fez a conta.

A Voyager 1 fez só dois estilingues, em Júpiter e em Saturno, e por isso saiu mais rápida e mais reta. Hoje ela está a 171 UA: 171 × 1,5 × 10¹¹ m = 2,56 × 10¹³ m, 25,6 bilhões de quilômetros. Ali o escape do Sol é de 3,2 km/s, e ela anda a 16,9 — mais de cinco vezes o necessário. A energia mecânica dela em relação ao Sol é positiva, +1,4 × 10⁸ J por quilograma, e vai continuar positiva: ela nunca volta. Um sinal de rádio enviado da Terra, viajando à velocidade da luz, leva 2,56 × 10¹³ ÷ 3,0 × 10⁸ = 8,5 × 10⁴ s para chegar: 23,7 horas, quase um dia — e a resposta, outro dia. Em 2012 ela cruzou a bolha do vento do Sol e entrou no espaço entre as estrelas, ainda transmitindo.

Falta fechar um arco aberto no capítulo 6. O satélite, lá, era uma pedra que cai e erra o chão a cada volta. A sonda também cai: a única força sobre ela é a atração do Sol, puxando para trás, o tempo inteiro. Só que a velocidade dela é tão grande que ela erra o Sol de uma vez e erra para sempre — não há segunda volta para tentar de novo. Preso ou livre é só isso: quanto você erra.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo, antes dos três tempos vêm o sistema, o instante e o referencial. As constantes: G × M do Sol = 1,33 × 10²⁰ m³/s² (6,67 × 10⁻¹¹ × 2,0 × 10³⁰), 1 UA = 1,5 × 10¹¹ m, Júpiter a 5,2 UA (7,8 × 10¹¹ m) com 1,9 × 10²⁷ kg, velocidade da luz 3,0 × 10⁸ m/s. A sonda entra nas contas com 800 kg.

Radar ENEM

A assistência gravitacional aparece no ENEM de quatro formas. A conceitual da troca: de onde vem a velocidade da sonda — do movimento do planeta, com conservação da quantidade de movimento e da energia do sistema; o que a sonda ganha, o planeta perde. A do destino: energia mecânica negativa, trajetória fechada; positiva, aberta — e a velocidade de escape é a fronteira. A do escape em distâncias diferentes: v = √(2 × G × M ÷ r), que cai com a raiz da distância e não depende da massa de quem escapa. E a de ordem de grandeza: a unidade astronômica e o tempo que a luz leva para percorrê-la.

Veja a versão conceitual mais comum: "uma sonda espacial, ao passar próximo de um planeta, tem sua velocidade em relação ao Sol aumentada sem uso de combustível; esse aumento se deve…" — à interação gravitacional com o planeta em movimento, com transferência de quantidade de movimento e de energia do planeta para a sonda. As erradas falam em "energia criada pelo campo", "empuxo do planeta" ou "ausência de atrito no espaço". Se a questão pedir o diagrama, desenhe a sonda isolada: uma força só, a atração do planeta, para o centro dele. E, quando houver número, a conta costuma ser a da bola e da parede: v(depois) = v + 2 × V.

Uma conferência rápida para as questões de conta: no estilingue, m × Δv = M × ΔV; no escape, v² × r = 2 × G × M, o dobro do v² × r da órbita circular. E, nas conceituais, a frase completa é: no referencial do planeta a sonda entra e sai com a mesma velocidade; no do Sol ela sai mais rápida porque o planeta anda; o que ela ganha em momento e em energia, o planeta perde; se a energia mecânica em relação ao Sol fica positiva, a trajetória se abre e ela não volta.

Resumo em cinco peças

Este é o último capítulo, e as cinco peças desta vez são as do livro inteiro: forma, causa, lugar, energia, troca.

1. A forma (Kepler): as órbitas são elipses com o Sol num foco; a linha do Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais; e T² é proporcional a a³ para todos os corpos do mesmo centro.
2. A causa (Newton): uma lei só, F = G × M × m ÷ r², a mesma para a maçã, para a Lua e para a sonda — e as três leis de Kepler saem dela.
3. O lugar: g = G × M ÷ r² muda com a distância e com o mundo; em órbita, cai-se e erra-se o chão, com v = √(G × M ÷ r): mais longe, mais devagar.
4. A energia: no campo, com o zero no infinito, ela é negativa para quem está preso e positiva para quem está livre; v = √(2 × G × M ÷ r) separa os dois, e não depende da massa de quem escapa.
5. A troca: maré e estilingue são a mesma lei vista pela diferença e pela troca. A maré cobra da rotação da Terra; o estilingue cobra do planeta. Quem ganha, alguém paga.

Se for guardar uma frase só, guarde a última: quem ganha, alguém paga. Kepler mediu a forma das órbitas sem saber a causa; Newton deu a causa numa linha; e quem a escreveu nunca viu uma sonda — mas a conta que ele deixou levou duas delas para fora do Sistema Solar, à custa de um milímetro de Júpiter.

E há uma ponta solta, que é de outro livro. A sonda só saiu do chão porque um foguete de mais de seiscentas toneladas ficou em pé numa torre, em equilíbrio, sem tombar, até o instante de partir. Segurar o que está parado tem uma física própria: a gravidade que esta série seguiu até fora do Sistema Solar é a mesma que derruba o que está mal apoiado, e descobrir onde fica o ponto de apoio é o começo de tudo. É o assunto da Mecânica IV — Equilíbrio e Fluidos, que abre com dois guindastes que tombaram sobre uma cidade inteira, com uma ponte pendurada no gancho.

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