Capítulo 9A baía que sobe dezesseis metros duas vezes por dia

Marés e o freio da Lua

Um barco de pesca deitado na lama de uma baía vazia. Daqui a seis horas e treze minutos, ele estará flutuando dezesseis metros acima deste ponto. Quem puxa é a Lua — e o mar sobe também do outro lado da Terra, onde ela nem está no céu.

O caso: um barco deitado na lama

Há uma baía no Canadá em que os barcos de pesca passam metade do dia deitados no chão. Não naufragaram: estão esperando a água. Na maré baixa o fundo da baía fica à mostra, uma laje de lama lisa e escura, e o barco repousa nela, inclinado sobre o casco. Seis horas e treze minutos depois, o mesmo barco flutua dezesseis metros acima daquele ponto — a altura de um prédio de cinco andares. É a maior maré do planeta: 16 m em média, 21,6 m no recorde, medido em outubro de 1869. A cada ciclo, cem bilhões de toneladas de água entram e saem dali, mais do que todos os rios do mundo despejam no mar no mesmo tempo. E isso acontece duas vezes por dia: duas altas, duas baixas, sem falhar.

Quem puxa é a Lua, a 384 400 km daqui — isso todo mundo já ouviu. O que quase ninguém para para estranhar é o detalhe que não fecha de primeira: enquanto o mar sobe do lado da Terra que está virado para a Lua, ele sobe também do lado oposto, onde a Lua nem está no céu. Se a maré fosse só a Lua puxando a água para perto dela, haveria uma alta por dia, não duas. E há mais uma conta em aberto: a cada ano a Lua se afasta da Terra quase quatro centímetros por causa dessa maré, e o dia fica um pouco mais comprido. Alguém mediu isso com um raio laser disparado contra espelhos deixados na superfície da Lua.

Este capítulo responde a três perguntas com a mesma palavra. Por que o mar sobe dos dois lados ao mesmo tempo? Por que o Sol, que puxa a Terra 180 vezes mais forte que a Lua, faz menos maré que ela? E quem paga a energia de levantar cem bilhões de toneladas duas vezes por dia? A palavra é diferença. A lei é a mesma do capítulo 4, F = G × M × m ÷ d² — só que agora ela não é aplicada a um ponto, e sim a um planeta inteiro, que tem um lado mais perto da Lua e um lado mais longe.

Três setas e uma diferença

O capítulo 4 deixou a força entre dois corpos escrita: G vezes o produto das massas, dividido pelo quadrado da distância. Quanto mais longe, mais fraca — e ela cai depressa: no dobro da distância, um quarto da força. Até aqui a série tratou a Terra como um ponto, e para calcular órbitas isso basta. Para entender a maré, não basta: a Terra tem tamanho. A Lua está a 384 400 km do centro da Terra; o lado da Terra virado para a Lua está 6 400 km mais perto, e o lado oposto, 6 400 km mais longe. Em raios da Terra, a conta fica fácil de guardar: a Lua está a 60 raios do centro, a 59 do lado de cá e a 61 do lado de lá.

Isole três pedaços iguais da Terra, de um quilograma cada: um no lado de cá, um no centro, um no lado de lá. Sobre cada pedaço, no que interessa à maré, age uma força só — a atração da Lua —, e as três setas apontam para a Lua. Mas elas não têm o mesmo tamanho: a do lado de cá é a maior, porque esse pedaço está mais perto; a do centro é a média; a do lado de lá é a menor.

Agora a pergunta certa: o que a água sente? A parte que é igual nas três setas puxa a Terra inteira junto, como um bloco — e quem viaja junto não se estica. O que deforma o planeta é o que sobra quando se tira, de cada seta, a seta do centro. Do lado de cá, a seta era maior que a do centro: sobra uma seta pequena apontando para a Lua. Do lado de lá, a seta era menor que a do centro: sobra uma seta pequena apontando para longe da Lua — não porque algo empurre aquela água para fora, mas porque o centro da Terra foi puxado mais do que ela. O lado de lá não é empurrado: é deixado para trás.

Quanto vale essa sobra? A conta dos dois lados é uma razão de quadrados. A força do lado de cá dividida pela do lado de lá é (d + R)² ÷ (d − R)² = (390 800 ÷ 378 000)² = (1,034)² = 1,069: o lado de cá é puxado 7% mais forte que o lado de lá. Entre cada lado e o centro, a diferença é de cerca de 3% — a regra de bolso é 2 × R ÷ d = 12 800 ÷ 384 400 = 3,3%. É pouco. Em aceleração, a sobra sobre cada quilograma na superfície é de 1,1 × 10⁻⁶ m/s², um décimo de milionésimo do g do chão; a atração inteira da Lua sobre o mesmo quilograma é trinta vezes maior, 3,3 × 10⁻⁵ m/s². Mas a atração inteira não levanta nada, porque age igual em tudo. A diferença é pequena, e é ela que levanta o mar.

Duas protuberâncias, duas altas por dia

Uma imagem ajuda a fixar: três pessoas em fila, puxadas por uma corda. Quem está na frente é puxada com mais força, quem está atrás com menos — e o que estica a fila não é a força, é a diferença de força entre as pontas. Se as três fossem puxadas com a mesma intensidade, a fila andaria inteira e a corda entre elas ficaria frouxa. A pessoa da frente é o lado de cá da Terra; a do meio, o centro; a de trás, o lado de lá.

Na Terra, o que estica com mais facilidade é a água, que escorre. Puxada para a Lua de um lado e deixada para trás do outro, ela se junta em duas protuberâncias, uma virada para a Lua e outra do lado oposto, de alturas praticamente iguais — porque as duas sobras da seção anterior têm quase o mesmo tamanho. Entre as duas, a 90 graus da linha Terra–Lua, a água fica mais baixa.

Agora ponha a Terra para girar. As protuberâncias ficam apontadas para a Lua, e o planeta gira por baixo delas. Em uma volta, cada praia passa pelas duas: duas altas e duas baixas por dia. Está respondida a primeira pergunta do caso.

Falta um ajuste no relógio. Entre uma alta e a seguinte não se passam doze horas exatas, e sim 12 h 25 min. O motivo é que a Lua também anda: enquanto a Terra dá uma volta, a Lua avançou um pouco na órbita dela (uma volta a cada 27 dias), e a Terra precisa girar cerca de cinquenta minutos a mais para reencontrá-la na mesma posição do céu. O dia lunar dura 24 h 50 min; metade dele, 12 h 25 min, separa duas altas; um quarto, 6 h 13 min, separa a alta da baixa — o tempo que o barco do começo leva para sair da lama e flutuar. É por isso que a maré de amanhã chega uns cinquenta minutos mais tarde que a de hoje.

O Sol puxa 180 vezes mais — e faz menos maré

Se a maré vem da atração, o candidato óbvio a campeão é o Sol. A massa dele é 2,0 × 10³⁰ kg; a da Lua, 7,3 × 10²² kg — vinte e sete milhões de vezes menos. O Sol está mais longe, é verdade: 1,5 × 10¹¹ m contra 3,84 × 10⁸ m, umas 390 vezes mais longe. Mas o quadrado de 390 é 152 100, e isso não vence 27 milhões. A conta da força é direta: F do Sol ÷ F da Lua = (M do Sol ÷ M da Lua) × (d da Lua ÷ d do Sol)² = 2,7 × 10⁷ × 6,6 × 10⁻⁶ = 180. O Sol puxa a Terra cento e oitenta vezes mais forte que a Lua. Faz sentido: é ele que segura a Terra em órbita.

Então por que a maré é da Lua? Porque maré não é força: é diferença de força entre os dois lados do planeta. E a diferença de uma força que cai com o quadrado da distância, medida entre dois pontos separados por um diâmetro da Terra, cai mais depressa ainda — com o cubo. É o quadrado tirado de si mesmo, um raio da Terra adiante e um raio atrás: a sobra é proporcional a 4 × R ÷ d³. Para a maré, o que conta é a massa dividida pela distância ao cubo, e o cubo cobra caro de quem está longe.

Refaça a comparação com o cubo. A razão das marés é a razão das forças multiplicada por mais um fator de distância: maré do Sol ÷ maré da Lua = 180 × (d da Lua ÷ d do Sol) = 180 × 2,56 × 10⁻³ = 0,46. O Sol faz 46% da maré da Lua. Puxa mais e estica menos — porque esticar é diferença, e a diferença cai com o cubo.

Duas consequências. A primeira é de regra de três: dobrar a distância de um corpo divide a força dele por 4 e a maré por 8; triplicar divide por 9 e por 27. A segunda é que a maré que se vê na praia não é só da Lua: do tanto que o mar sobe quando os dois trabalham juntos, cerca de dois terços são obra da Lua e cerca de um terço, do Sol.

Sizígia, quadratura e a forma da baía

Com duas marés na conta — a da Lua e a do Sol, de tamanho 0,46 —, o calendário aparece sozinho. Na Lua nova e na Lua cheia, o Sol, a Terra e a Lua ficam na mesma linha, e as protuberâncias das duas marés caem nos mesmos lugares: elas somam, e o mar sobe 1 + 0,46 = 1,46, quase uma vez e meia o que subiria só com a Lua. É a sizígia, a maré grande do mês. No quarto crescente e no quarto minguante, a Lua fica em ângulo reto com o Sol: a alta de uma maré cai sobre a baixa da outra, e sobra 1 − 0,46 = 0,54, pouco mais da metade. É a quadratura, a maré pequena. Entre uma sizígia e a quadratura seguinte passa cerca de uma semana — quem pesca conhece esse calendário de cor.

Mas atenção: nada disso explica dezesseis metros. No mar aberto, a maré sobe menos de um metro. O que faz a baía do caso subir tanto é a forma dela: comprida, cada vez mais estreita e cada vez mais rasa. A onda de maré entra larga e baixa e, espremida num espaço que encolhe, cresce. E há um segundo efeito, maior: o tempo que a água leva para ir até o fundo da baía e voltar é de cerca de 12,5 horas — quase o intervalo entre duas altas, 12 h 25 min. A onda seguinte chega justamente quando a anterior está voltando, e empurra no instante certo. É ressonância, a mesma do balanço empurrado no ritmo dele: empurrões pequenos, dados na hora certa, somam uma oscilação grande. A Lua fornece o ritmo; a baía, a amplificação. Por isso a média lá é de 16 m e o recorde, de 1869, chegou a 21,6 m.

O freio: a Lua sobe e o dia alonga

Até aqui as protuberâncias apontavam exatamente para a Lua. Não apontam. A Terra gira em um dia; a Lua leva 27 dias para dar a volta. Girando muito mais depressa, a Terra arrasta a água consigo, pelo atrito com o fundo do mar, e a protuberância fica adiantada: aponta um pouco à frente da Lua, no sentido da rotação.

Essa montanha de água adiantada tem massa, e atrai a Lua. A atração não aponta mais para o centro da Terra: aponta um pouco para a frente, e tem uma pequena componente na direção em que a Lua anda. Força a favor do movimento é energia entrando — a regra é a do livro da Mecânica II, trabalho positivo. A Lua ganha energia e, como o capítulo 8 mostrou, mais energia no campo quer dizer órbita mais alta: ela sobe, devagar, sem parar.

Isso é medido. Os astronautas deixaram espelhos na superfície da Lua, e desde então um raio laser disparado da Terra bate neles e volta; o tempo de ida e volta dá a distância. Ela cresce 38,30 mm por ano, com incerteza menor que um décimo de milímetro. Num século: 3,83 cm × 100 = 383 cm, 3,8 metros. É pouco para uma vida e muito para um planeta: no tempo dos dinossauros a Lua estava mais perto e aparecia maior no céu. E mais longe quer dizer mais devagar, como no capítulo 6: o mês também vai ficando mais comprido.

A energia que a Lua ganha tem de sair de algum lugar, e sai da rotação da Terra. A protuberância puxa a Lua para a frente e, pela terceira lei, a Lua puxa a protuberância para trás; a protuberância está presa ao planeta pelo atrito, então o planeta gira um pouco mais devagar a cada volta. Pouco mesmo: o dia ganha 1,7 milissegundo a cada século. Mas a potência envolvida é enorme. O atrito dessa água subindo e descendo nos mares rasos dissipa 3,64 × 10¹² W, o tempo inteiro. A usina de Itaipu, do livro da Mecânica II, entrega 1,4 × 10¹⁰ W: a maré dissipa a potência de 260 Itaipus, dia e noite, e quase tudo vira calor no mar raso — energia mecânica virando energia térmica, como no freio de um carro.

É um freio, e ele freia os dois: a Terra gira mais devagar, a Lua sobe e anda mais devagar. O giro total do sistema não some; só muda de mão, da rotação da Terra para a órbita da Lua. Quem paga a conta do caso, afinal, é a rotação do planeta.

A mesma diferença, em outros lugares

A diferença de força trabalha em todo lugar onde há um corpo grande perto de outro, e a Terra e a Lua são só o caso de casa. Comece virando a conta: a Terra também faz maré na Lua, e bem maior do que a que a Lua faz aqui. A Terra tem 81 vezes a massa da Lua, e a Lua tem 0,27 do raio da Terra; como a maré é proporcional à massa de quem puxa e ao tamanho de quem é esticado, a diferença de força de um lado ao outro da Lua sai (81) × (0,27) = 22 vezes maior que a nossa. Não há mar na Lua, mas rocha também estica um pouco, e foi essa maré de rocha que, há muito tempo, freou a rotação dela até travar: a Lua já pagou a conta inteira, e por isso mostra sempre a mesma face para nós.

Em Júpiter a coisa é mais violenta. Io, uma das luas dele, percorre uma órbita que não é um círculo perfeito; a distância ao planeta aumenta e diminui a cada volta, e com ela a diferença de força. Io é amassada e solta, amassada e solta, e o atrito disso por dentro vira calor — tanto calor que ela é o corpo com mais vulcões ativos de todo o Sistema Solar.

E há o limite. Um corpo que passe perto demais de um planeta tem um lado puxado muito mais forte que o outro; perto o bastante, a diferença vence a gravidade própria que mantém o corpo inteiro, e a maré o rasga. Os anéis de Saturno ficam dentro desse limite: ali, nenhuma lua consegue se juntar, e o material permanece espalhado. Guarde essa ideia para o capítulo 10 — a sonda que passa por Júpiter para ganhar velocidade escolhe a distância da passagem com muito cuidado.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. As constantes são as da série: G × M da Terra = 4,0 × 10¹⁴ m³/s², raio da Terra 6 400 km, distância Terra–Lua 3,84 × 10⁸ m (384 400 km na conta dos dois lados), massa da Lua 7,3 × 10²² kg, massa do Sol 2,0 × 10³⁰ kg, distância Terra–Sol 1,5 × 10¹¹ m. Quatro dos cinco resultados são razões, e razão não tem unidade.

Radar ENEM

A maré aparece no ENEM de quatro formas. A mais frequente é a conceitual das duas marés: por que duas altas por dia — a resposta é a diferença de atração entre os lados da Terra, com o planeta girando por baixo das duas protuberâncias. A segunda é Lua contra Sol: o Sol atrai a Terra com muito mais força, mas a maré é diferença, a diferença cai com o cubo da distância, e a Lua, muito mais perto, vence. A terceira é o calendário: Lua nova e cheia alinham as duas marés (sizígia, maré maior); os quartos as cruzam (quadratura, maré menor). A quarta é a força entre a Terra e a Lua, direta: F = G × M × m ÷ d², com d de centro a centro.

Veja a versão mais comum da conceitual: "em um mesmo dia, uma cidade litorânea registra duas marés altas; isso ocorre porque…" — a alternativa certa fala da atração diferente da Lua sobre os lados da Terra e da rotação do planeta. As erradas dizem que a Lua passa duas vezes por dia sobre a cidade, que uma maré é da Lua e a outra do Sol, ou que a água do lado oposto é empurrada por uma força centrífuga. Quando a questão pede o diagrama, isole um pedaço da Terra: a única força que interessa é a atração da Lua, apontando para o centro dela — e o que muda de um pedaço para outro é o tamanho dessa seta.

Uma conferência rápida para as questões de proporção: força com 1 ÷ d², maré com 1 ÷ d³. Se o enunciado dobra a distância, a força cai para um quarto e a maré para um oitavo; se reduz a distância à metade, a força quadruplica e a maré fica oito vezes maior. E, nas conceituais, a frase completa é: maré é a diferença da atração gravitacional entre os lados da Terra; por isso há duas protuberâncias e duas altas por dia; a diferença cai com o cubo da distância, e a Lua, mais perto, faz mais maré que o Sol.

Resumo em cinco peças

1. Maré é diferença: a Lua puxa o lado de cá mais que o centro, e o centro mais que o lado de lá. A parte igual move a Terra inteira; a diferença é que estica — 7% entre os dois lados.
2. Duas protuberâncias, duas altas por dia: uma virada para a Lua, outra oposta, e a Terra girando por baixo. De alta a alta, 12 h 25 min; de alta a baixa, 6 h 13 min.
3. A diferença cai com o cubo: maré proporcional a M ÷ d³. O Sol puxa 180 vezes mais e faz só 46% da maré da Lua.
4. Sizígia e quadratura: na Lua nova e na cheia as duas marés somam (1,46); nos quartos, cruzam (0,54). Os 16 m da baía são da forma dela — ressonância.
5. O freio: a maré freia a rotação da Terra (1,7 ms por século) e afasta a Lua (3,8 cm por ano); a energia, 260 Itaipus, vira calor no mar raso.

Se for guardar uma frase só, guarde a palavra: diferença. A Lua levanta o mar dos dois lados porque puxa cada lado com uma força diferente, e essa diferença, pequena, cobra da Terra um pouco de rotação a cada dia. No capítulo 10, o último, a mesma gravidade faz o contrário de frear: uma sonda de oitocentos quilos passa por Júpiter e sai dez quilômetros por segundo mais rápida, sem gastar uma gota de combustível. Quarenta e nove anos depois, a irmã gêmea dela é a coisa mais distante que a humanidade já construiu. Se ninguém empurrou a sonda, de onde veio essa velocidade — e quem ficou mais devagar?

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