Capítulo 1A sonda de 125 milhões que caiu por uma unidade

Grandezas, unidades e ordem de grandeza

Uma sonda de 125 milhões de dólares se perdeu em Marte porque um programa falou em libras-força e outro esperava newtons: número sem unidade não é ninguém.

Neste capítulo você vai

Reconhecer grandeza e unidade em toda medida, do metro ao newton
Converter velocidade, área, volume e tempo antes de fazer a conta
Estimar ordens de grandeza com notação científica para conferir respostas

Assista ao episódio 1

Este capítulo acompanha o episódio 1 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.

professorcanario.com.br/m1/c1/video

O caso: a sonda que se perdeu por uma unidade

Ilustração da sonda Mars Climate Orbiter, com o painel solar aberto e a antena voltada para cima, contra o fundo escuro do espaço acima de Marte. — A Mars Climate Orbiter, a sonda do caso, numa ilustração da NASA. Imagem: NASA/JPL/Corby Waste — Public domain.

Em dezembro de 1998 a NASA lançou a Mars Climate Orbiter, uma sonda que deveria entrar em órbita de Marte e estudar o clima do planeta. Depois de uns nove meses de viagem, em setembro de 1999, ela chegou. E sumiu.

A investigação descobriu o motivo. Um programa usado em solo calculava o efeito dos disparos dos motores em libras-força vezes segundo, uma unidade do sistema inglês. O programa que recebia esse número esperava newtons vezes segundo, a unidade do Sistema Internacional. Uma libra-força vale cerca de 4,45 newtons — então cada correção de rota saiu errada por um fator de quase quatro e meio, e ninguém percebeu.

Esquema fora de escala: Marte com a atmosfera sombreada; a trajetória planejada passa a cerca de 150 km da superfície e a trajetória real, a cerca de 57 km, dentro da atmosfera. — **Figura 1.1** — A trajetória planejada e a real. O erro de unidade baixou a passagem de cerca de 150 km para cerca de 57 km.

A sonda deveria passar a uns 150 km da superfície de Marte; passou a cerca de 57 km, baixo demais, e se perdeu na atmosfera. Custo da sonda: cerca de 125 milhões de dólares.

Ninguém errou a física. Ninguém errou a conta. Erraram a unidade. É por isso que este livro começa aqui, antes de qualquer movimento: se a unidade estiver errada, tudo o que vem depois está errado junto — e a seção de conversões mostra como não cair nessa.

Medir é comparar

Um paquímetro de latão antigo sobre uma bancada escura, iluminado de lado. — Medir é comparar com um padrão: o paquímetro compara um objeto com uma régua gravada.

Medir é comparar com um padrão. Quando você diz que uma mesa tem 2 metros, está dizendo: peguei um padrão chamado metro e ele coube duas vezes na mesa.

Uma mesa comparada a duas barras de um metro colocadas lado a lado: o padrão coube duas vezes, então a mesa mede 2 m. — **Figura 1.2** — Medir é contar quantas vezes o padrão cabe no que se mede.

Definição

Grandeza e unidade

Grandeza é aquilo que se mede: comprimento, tempo, massa, velocidade, força.
Unidade é o padrão usado na comparação: o metro, o segundo, o quilograma.
Toda medida tem duas partes inseparáveis: um número e uma unidade.

A unidade é o sobrenome do número. "Dez", sozinho, não é ninguém; 10 metros, 10 segundos e 10 quilogramas são três coisas diferentes, que não se somam nem se comparam.

E o padrão tem de ser o mesmo para todo mundo. Durante séculos, cada região media com o pé e o palmo de alguém — e o comércio brigava em cada fronteira. O sistema métrico, criado na França no fim do século XVIII, nasceu para acabar com isso.

O Sistema Internacional de Unidades (SI)

Para o mundo inteiro falar a mesma língua existe o Sistema Internacional de Unidades, o SI. Ele escolhe um padrão para cada grandeza de base; para a mecânica, bastam três — e todas as outras nascem delas.

Diagrama: metro, segundo e quilograma no alto; setas levam a área e volume, velocidade, aceleração e força, embaixo. — **Figura 1.3** — Três unidades de base e as derivadas que a mecânica usa.

Grandeza	Unidade	Símbolo
comprimento	metro	m
massa	quilograma	kg
tempo	segundo	s

Derivada	Vem de	Unidade
velocidade	distância ÷ tempo	m/s
aceleração	velocidade ÷ tempo	m/s²
força	massa × aceleração	N = kg·m/s²

A força ganhou nome próprio, o newton, em homenagem a Isaac Newton, que aparece no capítulo 9. Um newton é a força que dá a um corpo de 1 kg uma aceleração de 1 m/s².

Atenção

Como se escreve uma medida

Número e símbolo separados por um espaço: 5 km, não "5km".
Símbolo não tem plural nem ponto: 5 km, não "5 kms" nem "5 km."
Maiúscula e minúscula mudam o sentido: k (quilo) é minúsculo; m é metro, M é mega.
No Brasil a casa decimal é marcada com vírgula: 3,6 — não 3.6.

Os prefixos: uma escada de potências de dez

O metro é o padrão, mas o mundo tem coisas enormes e coisas minúsculas. Para não escrever zeros sem fim, o SI usa prefixos, que multiplicam a unidade por uma potência de dez.

Escada dos prefixos do SI, de giga a nano; cada degrau multiplica ou divide por mil, com exceção de centi, que fica dois degraus abaixo da unidade. — **Figura 1.4** — A escada dos prefixos. Subir um degrau de mil multiplica por 10³; descer divide.

Um quilômetro são mil metros; um centímetro, um centésimo do metro; um milímetro, um milésimo; um micrômetro, um milionésimo — o tamanho de uma bactéria. O prefixo faz parte do sobrenome: quilômetro e milímetro são parentes do metro, mas não são o metro.

Atenção

Regra de ouro

Antes de fazer qualquer conta, traga tudo para a mesma unidade — de preferência, para o SI. Primeiro arruma a casa, depois multiplica. Boa parte dos erros de unidade do mundo é prefixo esquecido no meio da conta.

Notação científica

A luz viaja a 300 000 000 m/s. Escrever todos esses zeros é pedir para errar um. A física usa a notação científica.

Definição

Notação científica

Um número escrito como a × 10ⁿ, com a entre 1 e 10 e n inteiro. O expoente conta o tamanho: positivo, número grande; negativo, número pequeno.

O número 3 vezes 10 elevado a 8 com as partes indicadas: o fator entre 1 e 10, a base 10 e o expoente, que diz quantas casas a vírgula anda. — **Figura 1.5** — As três partes da notação científica.

300 000 000 m/s = 3 × 10⁸ m/s
0,000 000 5 m = 5 × 10⁻⁷ m (comprimento de onda da luz verde)
diâmetro de um átomo ≈ 10⁻¹⁰ m

E as potências fazem parte da conta por você:

Multiplicar: somam-se os expoentes. 10³ × 10⁵ = 10⁸.
Dividir: subtraem-se os expoentes. 10¹¹ ÷ 10⁸ = 10³ (é a conta do Exemplo 3).
Elevar: multiplicam-se os expoentes. (10³)² = 10⁶.

Ordem de grandeza

Um modelo anatômico de coração, de resina translúcida, sobre um pequeno suporte, em fundo escuro. — Quantas vezes um coração bate numa vida? A ordem de grandeza responde sem calculadora.

Definição

Ordem de grandeza

A potência de dez mais próxima de um número: o tamanho da coisa sem o detalhe da coisa.

Para achá-la, escreva o número em notação científica, a × 10ⁿ, e compare o fator a com √10 ≈ 3,16: abaixo, a ordem de grandeza é 10ⁿ; a partir dele, sobe para 10ⁿ⁺¹.

Escala de 1 a 10 em que cada passo é multiplicar; a marca em raiz de dez, cerca de 3,16, divide a região que fica em dez elevado a n da região que sobe para dez elevado a n mais um. — **Figura 1.6** — O critério da ordem de grandeza: a fronteira é √10 ≈ 3,16.

Exemplo: 2,5 × 10⁹ tem ordem de grandeza 10⁹; já 3,7 × 10⁷ tem ordem de grandeza 10⁸ (é o caso do Exemplo 5).

Régua logarítmica de potências de dez, de dez elevado a menos dez metros até dez elevado a onze metros, com átomo, bactéria, fio de cabelo, pessoa, monte Everest, diâmetro da Terra e distância Terra–Sol marcados. — **Figura 1.7** — O universo da mecânica numa régua de potências de dez.

A ordem de grandeza serve para conferir resposta. Se a sua conta disser que um carro anda a 10⁵ m/s, não precisa refazer nada para saber que errou: nem foguete faz isso.

Conversões que caem na prova

Velocidade: o número 3,6

Uma hora tem 3 600 segundos e um quilômetro tem 1 000 metros. Então 1 km/h = 1 000 m ÷ 3 600 s = 1 ÷ 3,6 m/s. Daí sai a regra que resolve quase toda conversão de velocidade:

Esquema de conversão: de quilômetros por hora para metros por segundo divide-se por 3,6; de metros por segundo para quilômetros por hora multiplica-se por 3,6. Exemplo: 90 km/h equivale a 25 m/s. — **Figura 1.8** — Um número só na cabeça: 3,6.

Dica ENEM

Dica ENEM: o sentido da conversão

Em m/s o número fica menor do que em km/h (o metro é pequeno, mas o segundo é muito menor que a hora). Se ficou maior, você multiplicou quando era para dividir.

Área: o fator entra duas vezes

Um quadrado de 1 km de lado tem 1 000 m de lado. Nele cabem 1 000 × 1 000 quadradinhos de 1 m de lado: 1 km² = (10³ m)² = 10⁶ m².

Quadrado de um quilômetro de lado dividido em uma grade; cada lado tem mil metros, e a área total é um milhão de metros quadrados. — **Figura 1.9** — Área tem duas dimensões: o fator do prefixo entra duas vezes.

Volume: o fator entra três vezes

Volume tem três dimensões, então o fator entra três vezes: 1 m³ = (10 dm)³ = 1 000 dm³. E o litro é exatamente o decímetro cúbico: 1 L = 1 dm³, logo 1 m³ = 1 000 L; e 1 mL = 1 cm³, logo 1 L = 1 000 mL.

Cubo de um metro de aresta com a face dividida em dez por dez; um cubinho de um decímetro destacado no canto representa um litro. Um metro cúbico tem mil litros. — **Figura 1.10** — No metro cúbico cabem 10 × 10 × 10 cubinhos de um litro.

Tempo

1 h = 60 min = 3 600 s e 1 dia = 24 × 3 600 s = 86 400 s. Vale a pena reconhecer esse número de longe: muita questão esconde um dia inteiro numa conta de segundos.

Exemplos resolvidos

Uma torneira cromada soltando um fio de água no escuro. — Vazão, volume e tempo: a caixa-d'água do Exemplo 4 começa numa torneira.

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade.

Exemplo 1 — A placa da estrada

Uma placa indica velocidade máxima de 90 km/h. Quanto é isso em metros por segundo?

Fórmula. v (m/s) = v (km/h) ÷ 3,6

Substituição. v = 90 ÷ 3,6

Resultado. v = 25 m/s

Conferência. o número em m/s ficou menor que em km/h, como tinha de ficar.

Exemplo 2 — A pegadinha da área

Um terreno tem 2 km² de área. Quanto é isso em metros quadrados?

Fórmula. 1 km² = (10³ m)² = 10⁶ m²

Substituição. A = 2 × 10⁶ m²

Resultado. A = 2 000 000 m² = 2 × 10⁶ m²

Conferência. quem multiplicasse por mil uma vez só acharia 2 000 m² — um terreno urbano grande, não uma área de dois quilômetros quadrados.

Exemplo 3 — Quanto tempo a luz do Sol leva até nós

O Sol está a 1,5 × 10¹¹ m da Terra, e a luz viaja a 3 × 10⁸ m/s. Quanto tempo a luz leva para chegar?

Fórmula. t = d ÷ v

Substituição. t = (1,5 × 10¹¹ m) ÷ (3 × 10⁸ m/s) = (1,5 ÷ 3) × 10¹¹⁻⁸ s

Resultado. t = 0,5 × 10³ s = 500 s (cerca de 8 min 20 s)

Conferência. divide os números, subtrai os expoentes. A luz que você vê agora saiu do Sol há mais de oito minutos.

Exemplo 4 — A caixa-d'água

Uma caixa-d'água tem a forma de um bloco de 1,5 m × 1,0 m × 0,8 m e é enchida por uma torneira que despeja 20 litros por minuto. Em quanto tempo ela enche?

Fórmula. V = a × b × c ; t = V ÷ vazão

Substituição. V = 1,5 × 1,0 × 0,8 = 1,2 m³ = 1 200 L ; t = 1 200 L ÷ 20 L/min

Resultado. t = 60 min = 1 h

Conferência. a conversão m³ → L (× 1 000) veio ANTES da divisão — a regra de ouro.

Caixa-d'água em forma de bloco de 1,5 m por 1,0 m por 0,8 m, com uma torneira de 20 litros por minuto; o volume é 1,2 metro cúbico, ou 1 200 litros, e ela enche em 60 minutos. — **Figura 1.11** — O Exemplo 4 em desenho: converter o volume antes de dividir pela vazão.

Exemplo 5 — Ordem de grandeza do coração

Um coração em repouso bate cerca de 70 vezes por minuto. Qual é a ordem de grandeza do número de batidas em um ano?

Fórmula. N = (batidas por minuto) × (minutos em um ano)

Substituição. N = 70 × 60 × 24 × 365

Resultado. N = 36 792 000 ≈ 3,7 × 10⁷ → ordem de grandeza 10⁸

Conferência. o fator 3,7 é maior que 3,16, então a ordem de grandeza sobe para 10⁸.

Radar ENEM

O ENEM cobra unidades quase sempre em contexto: velocidade em placa ou radar, consumo de água ou de energia, área de terreno, volume de reservatório, tempo de viagem.

Régua de velocidades em metros por segundo, de dez elevado a zero a dez elevado a três: pessoa andando, 108 km/h igual a 30 m/s, avião, som no ar e, acima de tudo isso, 388,8 m/s, o distrator de quem multiplicou por 3,6. — **Figura 1.12** — O distrator de 108 × 3,6 cai acima da velocidade do som: a ordem de grandeza denuncia.

Dica ENEM

Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas

Multiplicar por 3,6 quando era para dividir (o Exemplo 1 mostra o caminho certo).
Converter área ou volume como se fosse comprimento — o fator entra duas vezes na área e três no volume.
Esquecer o prefixo no meio da conta — misturar km com m, ou min com h, sem converter antes.
Recusar o número redondo — a prova usa dados redondos de propósito (g = 10 m/s², π = 3): o que se testa é o raciocínio.

Resumo em cinco peças

Cinco peças: número mais unidade; SI com metro, quilograma, segundo e derivadas; quilômetros por hora dividido por 3,6 dá metros por segundo; área usa o fator ao quadrado e volume ao cubo; unidade errada é resposta errada. — **Figura 1.13** — O capítulo em cinco peças.

Medida é número com sobrenome: grandeza e unidade andam sempre juntas.
O SI é a língua comum: metro, quilograma e segundo; as outras unidades da mecânica derivam delas.
Velocidade se converte com um número só: de km/h para m/s divide por 3,6; de volta, multiplica.
Área converte ao quadrado, volume ao cubo: o prefixo entra tantas vezes quantas forem as dimensões.
Unidade errada é resposta errada — mesmo com a física e a conta certas.

Lista de exercícios no app

APP GRATUITO · CANARINHO

Lista completa de exercícios no app Canarinho

As 20 questões do capítulo, com correção na hora e o comentário de cada alternativa. App gratuito e aberto, sem cadastro. A teoria e os exemplos resolvidos estão todos aqui no livro; a lista é o treino.

professorcanario.com.br/m1/c1/lista