Capítulo 2O passageiro que pagou 7 km para andar 5

Vetores e escalares

O aplicativo cobrou 7 km e o mapa mede 5 km entre a porta de saída e a de chegada — e ninguém errou: o extrato mede o caminho, o mapa mede a mudança de lugar.

O caso: sete no extrato, cinco no mapa

Fim de noite, fim de corrida. O passageiro desce do carro, abre o aplicativo e lê o extrato: 7 km rodados, 7 km cobrados. Por curiosidade, abre o mapa e mede em linha reta, da porta de onde saiu até a porta onde chegou: 5 km. Dois quilômetros de diferença. Alguém errou?

Ninguém. O trajeto foi honesto: 3 km para o leste e, na esquina, 4 km para o norte, porque naquele bairro as ruas não cortam na diagonal. O aplicativo contou cada metro de asfalto que passou debaixo da roda e cobrou por ele. O mapa mediu outra coisa: onde o passageiro terminou em relação a onde começou.

Sete e cinco, os dois certos ao mesmo tempo. A diferença entre eles não é erro de cobrança nem erro de mapa: é a primeira grande ideia da física do movimento. Há grandezas que só têm tamanho e há grandezas que têm tamanho, direção e sentido. As primeiras se somam como dinheiro; as segundas se somam como setas. Quem confunde uma com a outra paga — às vezes em reais, às vezes em pontos na prova. Este capítulo separa as duas, ensina a somar setas e termina com a ferramenta que a seção de decomposição entrega: dois números, 0,6 e 0,8, que voltam em quase todo problema de força da série.

Escalar e vetor: tamanho, direção e sentido

Algumas grandezas ficam completas com um número e uma unidade. A temperatura da sala: 25 °C. A massa de um pacote de arroz: 5 kg. A duração de uma corrida: 12 min. Ninguém pergunta "25 graus para onde?" — a pergunta não faz sentido. Essas são as grandezas escalares.

Agora experimente dar uma instrução a alguém: "ande 5 km". Para onde? Assim, a instrução não leva a lugar nenhum. "Ande 5 km para o nordeste" leva. É exatamente o que o aplicativo de mapa faz a cada esquina, e é o que faz um vetor: além do tamanho, ele carrega uma direção e um sentido.

O jeito de desenhar um vetor é a seta. O comprimento mostra o módulo; a reta em que ela está mostra a direção; a ponta mostra o sentido. Uma seta com o mesmo comprimento e a mesma reta, mas a ponta virada, é outro vetor — o mesmo tamanho, o sentido contrário.

Repare no velocímetro do carro: ele mostra só o módulo da velocidade. Numa curva feita com o ponteiro parado em 60 km/h, a velocidade está mudando mesmo assim, porque a direção muda a cada metro. Isso rende um capítulo inteiro mais adiante, o do movimento circular; por ora, basta guardar que o número no painel é só um pedaço da velocidade.

Deslocamento e distância percorrida

Com essas duas palavras, o extrato e o mapa começam a se explicar. Antes, o combinado que vale para todo movimento deste livro: antes de medir, diga de onde você está olhando. Escolha a origem e o sentido positivo de cada eixo. Para o passageiro, a origem é o ponto de partida; o leste é o eixo x positivo e o norte é o eixo y positivo.

O deslocamento só depende de onde você começou e de onde terminou. Pode ir pela avenida, dar a volta no quarteirão, se perder três vezes: se partiu e chegou nos mesmos dois pontos, o deslocamento é o mesmo. A distância, não — cada desvio aumenta a conta.

Na figura, o passeio pelas ruas soma 9 km de distância percorrida, mas a chegada está a 5 km da partida em linha reta — de novo o triângulo de lados 3 e 4, como o Exemplo 1 vai mostrar. Por isso vale uma desigualdade que nunca falha.

A volta na pista: andar muito e não sair do lugar

O caso extremo parece pegadinha e é pura definição. Uma atleta dá uma volta completa numa pista de atletismo de 400 m e para exatamente na linha de largada. Distância percorrida: 400 m — as pernas dela confirmam. Deslocamento: zero. A seta sai da largada e chega na largada; uma seta de comprimento zero não é seta, é um ponto.

Divida a volta em quatro trechos e desenhe a seta de cada um, ponta com origem. A última ponta cai em cima da primeira origem: não sobra seta nenhuma para desenhar. Meia volta seria outra história — a atleta estaria do lado oposto da pista, e o deslocamento seria a seta que atravessa o gramado. A prova adora a pista justamente por isso: a distância cresce a cada passo, o deslocamento vai e volta, e na chegada ele zera.

Somar vetores: ponta com origem

O que o mapa fez com o passageiro tem nome: regra do polígono. Para somar vetores, desenhe o primeiro; encaixe a origem do segundo na ponta do primeiro; a origem do terceiro na ponta do segundo; e assim por diante. A soma, chamada resultante, é a seta que sai da primeira origem e chega na última ponta.

A ordem não importa: some primeiro o norte e depois o leste, e a resultante sai idêntica. Há um segundo desenho para a mesma soma, útil quando os dois vetores partem do mesmo ponto: a regra do paralelogramo. Pela ponta de cada vetor, trace uma paralela ao outro; as paralelas fecham um paralelogramo, e a diagonal que sai da origem comum é a resultante. É o mesmo triângulo de antes, visto com as duas setas saindo do mesmo lugar.

Quando os dois vetores são perpendiculares, o polígono é um triângulo retângulo, e para ele existe uma ferramenta com mais de dois mil anos: o teorema de Pitágoras. O módulo da resultante é a raiz da soma dos quadrados dos módulos. Nos outros ângulos a conta muda, e o intervalo de respostas possíveis é o que a figura mostra.

Decompor: as sombras do vetor nos eixos

Somar junta setas. Decompor faz o caminho de volta: pega uma seta inclinada e a troca por duas setas retas, uma em cada eixo, que somadas dão a original. É o passageiro ao contrário. Em vez de ir 3 para o leste e 4 para o norte e descobrir o 5, você parte do 5 inclinado e descobre o 3 e o 4.

Essas duas setas retas se chamam componentes, e funcionam como sombras. Com uma luz bem em cima, a sombra do vetor no chão é a componente x; com uma luz de lado, a sombra na parede é a componente y. Quem calcula as sombras é a trigonometria.

Aqui entra o triângulo mais útil desta série: o 3, 4, 5 deitado. A hipotenusa faz 37° com o lado 4, e o outro ângulo agudo tem 53°. Por isso sen 37° = 3/5 = 0,6 e cos 37° = 4/5 = 0,8. Com 53°, os dois trocam de lugar: a mesma seta de 5, inclinada 53°, faz sombra de 3 no chão e de 4 na parede.

O vetor oposto e a subtração

Falta uma peça pequena, e ela fecha a caixa de ferramentas. Todo vetor tem um oposto: mesmo módulo, mesma direção, sentido contrário — a mesma seta com a ponta virada. Somar um vetor com o oposto dele dá zero, que é a volta na pista em miniatura: ir e voltar pela mesma rua. E subtrair um vetor é somar o oposto dele.

É assim que o deslocamento se escreve em símbolo: posição final menos posição inicial, a seta que leva de onde você estava até onde você está. Numa estrada reta com marcos de quilômetro, isso vira conta de menos com sinal. O passageiro embarca no marco 2 e desembarca no marco 7: o deslocamento é 7 − 2 = +5 km, no sentido do eixo. Se a corrida fosse do marco 7 para o marco 2, o deslocamento seria 2 − 7 = −5 km. O sinal de menos não é erro: é o sentido contrário ao eixo que você escolheu. O Exemplo 5 fecha a noite do passageiro com essa conta.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos com vetores há um passo antes dos três: desenhar as setas. Sem o desenho, o ângulo se perde — e com ele a resposta.

Os 8 N horizontais são os que levam a mala; os 6 N verticais aliviam o chão, que passa a sustentar menos — por isso, no desenho, a normal sai menor que o peso. O diagrama que mostra só a mala e as forças que agem nela é o diagrama de corpo livre, e ele ganha capítulo próprio na parte das leis de Newton.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo quase sempre como deslocamento contra distância: um trajeto em pedaços, e a pergunta quer um dos dois números — às vezes os dois. O formato favorito é a cena do passageiro com outros números.

Um ciclista pedala 6 km para o leste e depois 8 km para o sul; qual foi o deslocamento? As setas são perpendiculares, então é Pitágoras: √(36 + 64) = 10 km. E o distrator? 14 km, a distância percorrida, posta ali de propósito para quem soma as setas como se fossem números. Outros dois formatos aparecem com frequência: a decomposição com 37° e 53°, quase sempre com força ou velocidade inclinada — um avião que decola a 100 m/s, inclinado 37°, sobe a 60 m/s e avança a 80 m/s, o mesmo triângulo em escala de aeroporto —, e a leitura de mapa, com quarteirões no lugar dos quilômetros.

Resumo em cinco peças

1. Escalar tem só módulo; vetor tem módulo, direção e sentido — e vira seta.
2. Deslocamento é a seta do início ao fim; a distância percorrida é o caminho inteiro, e o deslocamento nunca passa dela.
3. Vetores se somam ponta com origem, e a resultante fecha o polígono; a soma tem um intervalo, não um valor.
4. Vetores perpendiculares se somam por Pitágoras: 3, 4, 5.
5. Decompor é projetar nos eixos com seno e cosseno; com 37°, os números são 0,6 e 0,8.

Se for guardar uma frase só, guarde o passageiro: sete no extrato, cinco no mapa, e os dois certos.

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