Capítulo 12A sonda que empurrou um asteroide
Energia e quantidade de movimento juntas
Quinhentos e oitenta quilos a seis quilômetros por segundo contra uma pedra de cento e sessenta metros: o asteroide mudou de velocidade menos de três milímetros por segundo — e foi o bastante para tirar meia hora de uma órbita de doze horas.
Neste capítulo você vai
- Calcular a energia cinética e a quantidade de movimento da sonda e ver por que uma tem o quadrado da velocidade e a outra não
- Resolver o pêndulo balístico invertido: o empurrão da sonda dividido pela massa do asteroide, com o fator do material arremessado
- Fechar o extrato da série: onde foi parar a energia da colisão e por que a quantidade de movimento se conservou inteira
Assista ao episódio 12
Este capítulo acompanha o episódio 12 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: a sonda que empurrou um asteroide
Vinte e seis de setembro de 2022, 23 h 14 min no horário universal. A sonda DART, da NASA, com cerca de 580 kg, viaja a 6 km/s — uns 21 600 km/h, pela conversão do capítulo 1 da Mecânica I: 6 000 m/s × 3,6. O alvo é Dimorphos, uma pedra de uns 160 m de diâmetro que gira em torno de outra maior, Didymos, de uns 780 m. A câmera da sonda transmite a superfície de pedras crescendo no quadro; então a imagem some. A sonda bateu. Nunca foi projetada para voltar.
Antes do impacto, Dimorphos dava uma volta completa em Didymos a cada 11 h 55 min. Nas semanas seguintes, telescópios na Terra mediram o novo período: 11 h 23 min. A volta ficou 32 minutos mais curta; a medição refinada meses depois deu 33 min 15 s. A meta mínima da missão era encurtar a órbita em 73 segundos — o resultado foi mais de 25 vezes isso. Pela primeira vez, a humanidade mudou de propósito o movimento de um corpo celeste.
Todo o teste cabe nas duas grandezas que esta série construiu. A energia cinética da sonda diz o tamanho do estrago: cratera, calor, pedras arremessadas. A quantidade de movimento diz quanto o alvo mudou de velocidade — e aqui está a surpresa da conta: 580 kg contra bilhões de quilos rendem uma mudança de milímetros por segundo, e foram esses milímetros que tiraram meia hora de uma órbita de doze horas. As fontes divergem um pouco na massa (de 500 a 580 kg) e na velocidade (6,1 a 6,6 km/s); este capítulo usa cerca de 580 kg e 6 km/s, e diz quando um valor é só didático. Este é o último capítulo da série, e ele não ensina uma lei nova: ele usa todas as anteriores num caso só, da energia da sonda ao extrato final de onde essa energia foi parar.
A energia cinética da sonda
O capítulo 3 mostrou que a energia cinética cresce com o quadrado da velocidade: Ec = ½·m·v². É por isso que uma sonda leve carrega tanta energia: 6 km/s é cerca de dezoito vezes a velocidade do som no ar (340 m/s), e o quadrado de dezoito passa de trezentos.
Definição
Energia cinética (revisão)
- Ec = ½·m·v²: a energia do movimento. Massa em kg, velocidade em m/s, resultado em joules (J).
- É escalar: tem tamanho, não tem direção. Nunca é negativa e nunca ganha seta — no desenho ela é barra, número ou área.
- Dobrar a velocidade quadruplica a energia; multiplicá-la por vinte multiplica a energia por quatrocentos.
Sistema: a sonda, sozinha; instante: o último segundo antes do toque. Ec = ½ × 580 × (6 000)² = ½ × 580 × 3,6 × 10⁷ = 1,04 × 10¹⁰ J. Dez bilhões de joules. Para dar tamanho a esse número, vale a comparação do capítulo 3: uma tonelada de TNT libera 4,18 × 10⁹ J, então a sonda chegou com 1,04 × 10¹⁰ ÷ 4,18 × 10⁹ ≈ 2,5 toneladas de TNT em energia de movimento. Ou, na moeda do capítulo 2: um chuveiro de 5 500 W ligado por uma hora consome 5 500 × 3 600 = 1,98 × 10⁷ J, e 1,04 × 10¹⁰ ÷ 1,98 × 10⁷ ≈ 530 — uns quinhentos chuveiros ligados por uma hora inteira, tudo entregue num instante.
| O que | Energia |
|---|---|
| a sonda a 6 km/s | 1,04 × 10¹⁰ J |
| 1 t de TNT | 4,18 × 10⁹ J |
| chuveiro por 1 h | 1,98 × 10⁷ J |
Dica ENEM
Dica ENEM: ordem de grandeza da energia cinética
Antes de qualquer conta, escreva a velocidade em m/s e eleve ao quadrado: (6 × 10³)² = 36 × 10⁶ = 3,6 × 10⁷. O quadrado é onde a prova esconde a potência de dez. Com 580 kg, a ordem de grandeza é 10¹⁰ J; quem esquece de elevar ao quadrado acha 10⁶ e escolhe a alternativa errada com toda a confiança.
Só que a energia não diz para onde o asteroide vai. Ela diz quanto pode ser transformado: em calor, em cratera, em pedras voando. Para saber quanto Dimorphos mudou de velocidade, é preciso a outra grandeza.
A quantidade de movimento da sonda
O capítulo 8 apresentou a quantidade de movimento, p = m·v, e o capítulo 9 mostrou a sua propriedade mais forte: num sistema isolado, ela se conserva, sempre, em qualquer colisão. É um vetor: tem a direção e o sentido da velocidade, e no desenho é sempre uma seta.
Definição
Quantidade de movimento (revisão)
- p = m·v: massa vezes velocidade, em kg·m/s. É um vetor na direção e no sentido da velocidade.
- Num sistema isolado — sem força externa resultante — a quantidade de movimento total antes de uma colisão é igual à de depois. Vale para colisão elástica, inelástica, explosão: sempre.
- A energia cinética total só se conserva na colisão elástica (e = 1); nas outras, parte vira calor e deformação.
Para a sonda: p = 580 × 6 000 = 3,48 × 10⁶ ≈ 3,5 × 10⁶ kg·m/s, apontando para Dimorphos. Compare os dois números da sonda: a energia tem o quadrado da velocidade, a quantidade de movimento tem a velocidade uma vez só. Por isso os dois não crescem juntos: dobrar a velocidade dobra p e quadruplica Ec. E a diferença de natureza é a que decide o desenho.
| Grandeza | Natureza | Desenho |
|---|---|---|
| energia cinética | escalar | barra |
| quantidade de movimento | vetor | seta |
| impulso | vetor | seta |
Atenção
Escalar nunca ganha seta
Energia, trabalho e potência são escalares: um número com unidade, sem direção. Desenhá-los como seta é o erro visual que a série veta desde o capítulo 1. Quantidade de movimento e impulso são vetores, e a seta deles diz para onde o alvo vai ser empurrado. Se a questão pede "para onde", a resposta está no vetor; se pede "quanto estrago", está no escalar.
O pêndulo balístico de trás para a frente
O capítulo 10 resolveu o pêndulo balístico: uma bala leve e rápida entra num bloco pesado, fica presa, e os dois saem juntos com uma velocidade pequena, dada pela conservação da quantidade de movimento. O DART é o mesmo problema de trás para a frente. A bala não fica presa no bloco: ela empurra o bloco, e o bloco é uma montanha. A física é a mesma; só trocou quem é o gigante.
Antes da conta, o que a série exige: sistema e instantes. Sistema: sonda + Dimorphos. A gravidade de Didymos age sobre os dois, mas durante o impacto, que dura uma fração de segundo, essa força externa não tem tempo de mudar nada — o sistema é isolado enquanto a colisão dura. Instante inicial: um segundo antes do toque, Dimorphos em repouso no referencial dele mesmo. Instante final: a sonda incorporada ao asteroide (na conta mais simples, sem nenhuma pedra voando).
Definição
A conta do pêndulo invertido
- Antes: p = m·v, só da sonda (o alvo está em repouso no referencial escolhido).
- Depois: p = (m + M)·Δv, os dois juntos.
- Conservação: m·v = (m + M)·Δv ⇒ Δv = m·v ÷ (m + M). Como M é bilhões de vezes maior que m, o m do denominador some: Δv ≈ m·v ÷ M.
A massa de Dimorphos não foi pesada; foi estimada, supondo a mesma densidade de Didymos: cerca de 4,3 × 10⁹ kg, quatro bilhões de quilos. Então Δv = 3,48 × 10⁶ ÷ 4,3 × 10⁹ ≈ 0,00081 m/s — cerca de 0,8 mm/s. Menos de um milímetro por segundo: em um dia inteiro, uns 70 metros. É a mesma conta do pêndulo: a razão entre a massa da bala e a do bloco decide quanto da velocidade sobrevive, e aqui a razão é 580 ÷ 4,3 × 10⁹, uma parte em sete milhões.
Atenção
Sistema e instantes antes de toda conta de conservação
Escreva quem está no sistema (sonda + Dimorphos), quando é o "antes" (o toque) e quando é o "depois" (os dois juntos). Sem isso, a conservação vira uma igualdade sem dono: não se sabe de quem é o p que se conserva nem contra o que o Δv é medido. Didymos fica de fora do sistema porque a força dele não tem tempo de agir durante o choque — e isso também tem de ser dito.
Dica ENEM
Dica ENEM: a pequena muda a grande
Quando um corpo leve bate num pesado e fica com ele, a velocidade final é o p do leve dividido pela massa total: Δv = m·v ÷ (m + M). O tropeço é usar a energia: quem iguala ½·m·v² a ½·M·Δv² acha uma velocidade dezenas de vezes maior — e errada, porque numa colisão em que os corpos ficam juntos a energia cinética não se conserva. Conserve a seta, não a barra.
Por que deu mais que a conta: as pedras que voaram
A conta do pêndulo dá 0,8 mm/s. O valor medido foi cerca de 2,7 mm/s, mais de três vezes maior. A sonda não empurrou o asteroide só com a própria quantidade de movimento: o impacto abriu uma cratera e arremessou toneladas de pedra para trás, no sentido de onde a sonda veio. Cada pedra que sai para trás leva quantidade de movimento para trás — e, pela conservação, o asteroide ganha a mesma quantidade para a frente. É o canhão do capítulo 9 e a lula que nada para trás: o recuo. Dimorphos foi empurrado pela sonda e, além disso, recuou das próprias pedras.
Definição
O fator beta
- Beta é a razão entre a quantidade de movimento que o alvo ganhou de fato e a que a sonda trouxe: Δp do asteroide ÷ p da sonda.
- Sem material arremessado, beta = 1: o alvo ganha exatamente o p da sonda (o pêndulo invertido).
- Com o material saindo para trás, beta > 1. No DART, as medições dão beta entre 2,2 e 4,9; o valor mais citado é cerca de 3,6.
Com beta ≈ 3,6, o empurrão total foi 3,6 × 3,48 × 10⁶ ≈ 1,25 × 10⁷ kg·m/s, e a mudança de velocidade, 3,6 × 0,8 ≈ 2,9 mm/s. O medido, 2,7 mm/s, fica dentro da faixa: a diferença é a incerteza da massa do asteroide e do próprio beta. O importante não é o segundo algarismo. É que a conta da série, com um fator para as pedras, explica o que os telescópios viram.
Atenção
A sonda não precisou de nada para empurrar
No vácuo não há ar, chão, nada em que se apoiar — e a sonda empurrou o asteroide assim mesmo. Nenhuma lei pede apoio: a quantidade de movimento se conserva no sistema, e é isso que empurra. O canhão recua sem precisar de ar atrás dele; o foguete anda no vácuo pela mesma razão; as pedras de Dimorphos saíram para um lado e o asteroide foi para o outro. Quem diz que "no espaço não tem onde empurrar" está repetindo o erro que a série vetou desde o capítulo 9.
De milímetros por segundo a minutos de órbita
Dimorphos dá uma volta de uns 7,5 km — o perímetro de uma órbita de 1 189 m de raio — em 11 h 55 min, o que dá uma velocidade orbital de uns 17 cm/s. Os 2,7 mm/s do empurrão são 1,6% disso. O que a gravidade fez com esse 1,6% é o que a próxima série vai contar; aqui basta a frase: órbita menor, período menor. A sonda bateu contra o movimento orbital, freou a lua um pouco, e uma lua mais lenta cai para uma órbita mais apertada, que se completa em menos tempo.
| Órbita | antes | depois |
|---|---|---|
| período | 11 h 55 min | 11 h 23 min |
| raio | 1 189 m | 1 152 m |
Os números da tabela vieram de telescópios na Terra, que mediram o brilho do par de asteroides: cada vez que Dimorphos passa na frente ou atrás de Didymos, a luz cai um pouco, e o intervalo entre as quedas é o período. Uma diferença de 32 minutos em 715 é de 4,5% — grande o bastante para não deixar dúvida. Contra a meta de 73 s, os 32 min = 1 920 s são 1 920 ÷ 73 ≈ 26 vezes mais.
Dica ENEM
Dica ENEM: o que se mede não é o que se calcula
A prova gosta de dar o que foi medido (o período, a marca de frenagem, a altura do rebote) e pedir o que foi calculado a partir da conservação (a velocidade, a energia, o empurrão). Separe os dois: o medido entra como dado; o calculado sai da lei. No DART, o medido é o período e o calculado é o Δv — e o elo entre eles é a gravidade, que ainda não está nesta série.
O extrato final: para onde foi a energia
A quantidade de movimento fechou a conta do "para onde". A energia fecha a do "quanto sobrou". Sistema: sonda + Dimorphos; antes: a sonda a 6 km/s, com 1,04 × 10¹⁰ J; depois, na conta sem pedras: o asteroide inteiro a 0,8 mm/s. Quanto dessa energia continuou sendo movimento? A fração que sobrevive no pêndulo balístico é m ÷ (m + M), aqui 580 ÷ 4,3 × 10⁹ ≈ 1,35 ÷ 10⁷. Então Ec depois ≈ 1,04 × 10¹⁰ × 1,35 ÷ 10⁷ ≈ 1,4 × 10³ J. De dez bilhões de joules, mil e quatrocentos ficaram como movimento do asteroide — sete milhões de vezes menos. É a energia de erguer uma pessoa de 70 kg a 2 m de altura: 70 × 10 × 2 = 1 400 J.
E o resto? Alguém dirá que foi "energia perdida". Não foi: virou calor na rocha e no metal, virou a cratera aberta, virou a energia cinética de milhares de toneladas de pedra arremessadas — a nuvem que os telescópios viram durante semanas. A energia total se conservou; o que não se conservou foi a energia cinética, como em toda colisão em que os corpos se deformam e ficam juntos. É a regra dos capítulos 9, 10 e 11: a quantidade de movimento se conserva sempre; a energia cinética, só na colisão elástica.
Atenção
Energia não some: ela se transforma
A energia total não diminui numa colisão: ela se transforma e se transfere. A parte que deixa de ser cinética vira térmica, deformação e movimento de fragmentos, e cada uma dessas parcelas pode ser medida. Diga "a energia cinética diminuiu" e diga para onde foi.
Essa é a última peça da série. Trabalho paga a mudança de energia; energia se transforma e se conserva no total; potência é o ritmo da transformação; quantidade de movimento se conserva sempre num sistema isolado; impulso e colisão decidem o estrago. Uma sonda de 580 kg usou todas de uma vez para mover uma montanha por 2,7 mm/s — e quem transformou esse quase nada em meia hora de órbita foi outra força, que a série não cobrou: quem mandava naquela órbita era a gravidade.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nas contas de conservação há um passo antes dos três: declarar o sistema e os instantes. Nos cinco exemplos abaixo, o sistema é sonda + Dimorphos e os instantes são o último segundo antes do toque e o primeiro depois.
Exemplo 1 — A energia cinética da sonda
A sonda tem cerca de 580 kg e chega a 6 km/s. Qual é a sua energia cinética no instante do impacto?
Fórmula. Ec = ½ × m × v²
Substituição. v = 6 km/s = 6 000 m/s ; Ec = ½ × 580 × (6 000)² = ½ × 580 × 3,6 × 10⁷
Resultado. Ec = 1,04 × 10¹⁰ J, cerca de 10¹⁰ J
Conferência. 1,04 × 10¹⁰ ÷ 4,18 × 10⁹ ≈ 2,5 toneladas de TNT. Quem esquece o quadrado acha 580 × 6 000 ÷ 2 = 1,74 × 10⁶ J, seis mil vezes menos — a ordem de grandeza denuncia.
Exemplo 2 — A quantidade de movimento da sonda
Com os mesmos 580 kg e 6 000 m/s, qual é a quantidade de movimento da sonda?
Fórmula. p = m × v
Substituição. p = 580 × 6 000
Resultado. p = 3,48 × 10⁶ kg·m/s ≈ 3,5 × 10⁶ kg·m/s, apontando para Dimorphos
Conferência. a energia tem 10¹⁰ e a quantidade de movimento tem 10⁶ — não são a mesma coisa nem crescem juntas. A unidade confere: kg × m/s = kg·m/s, sem o joule.
Exemplo 3 — O pêndulo invertido, sem pedras
Dimorphos tem massa estimada em 4,3 × 10⁹ kg e está em repouso no referencial adotado. A sonda de 580 kg bate a 6 000 m/s e fica incorporada. Qual é a variação de velocidade do asteroide?
Fórmula. sistema sonda + Dimorphos, isolado durante o choque ; m × v = (m + M) × Δv ⇒ Δv = m × v ÷ (m + M) ≈ m × v ÷ M
Substituição. Δv = 3,48 × 10⁶ ÷ 4,3 × 10⁹
Resultado. Δv ≈ 0,00081 m/s ≈ 0,8 mm/s, no sentido em que a sonda vinha
Conferência. os 580 kg somados a 4,3 × 10⁹ kg não mudam a divisão; a razão das massas é uma parte em sete milhões, e a velocidade cai na mesma proporção: 6 000 ÷ 7,4 × 10⁶ ≈ 0,0008 m/s.
Exemplo 4 — Com as pedras: o fator beta
O material arremessado multiplicou o empurrão por beta ≈ 3,6. Qual é a variação de velocidade prevista, e como ela se compara com os 2,7 mm/s medidos?
Fórmula. Δp do asteroide = beta × p da sonda ; Δv = beta × (m × v ÷ M)
Substituição. Δp = 3,6 × 3,48 × 10⁶ ; Δv = 3,6 × 0,8 mm/s
Resultado. Δp ≈ 1,25 × 10⁷ kg·m/s ; Δv ≈ 2,9 mm/s, contra 2,7 mm/s medidos
Conferência. o medido está entre o que dá beta = 2,2 (1,8 mm/s) e beta = 4,9 (3,9 mm/s). Beta menor que 1 seria impossível: as pedras saem para trás e só podem somar ao empurrão.
Exemplo 5 — Quanta energia cinética sobrou
Na conta sem pedras do Exemplo 3, o asteroide de 4,3 × 10⁹ kg ficou a 0,8 mm/s. Que fração da energia cinética da sonda continuou como energia cinética, e quanto é isso em joules?
Fórmula. fração = m ÷ (m + M) ; Ec depois = Ec antes × fração
Substituição. fração = 580 ÷ 4,3 × 10⁹ ≈ 1,35 ÷ 10⁷ ; Ec depois = 1,04 × 10¹⁰ × 1,35 ÷ 10⁷
Resultado. Ec depois ≈ 1,4 × 10³ J — de 1,04 × 10¹⁰ J, sobraram 1 400 J como movimento
Conferência. pela fórmula direta, ½ × 4,3 × 10⁹ × (0,00081)² ≈ 1,4 × 10³ J, o mesmo valor. O resto virou calor, cratera e pedras.
Radar ENEM
O ENEM cobra este capítulo em quatro formatos, e nenhum deles pede sonda nem asteroide. O primeiro é ordem de grandeza de energia e de quantidade de movimento: a velocidade ao quadrado numa e uma vez só na outra. O segundo é a colisão em que os corpos ficam juntos — a bala no bloco, o vagão que engata, o carro que bate e arrasta — com a velocidade final pela conservação de p. O terceiro é a pergunta "por que o pequeno muda o grande", quase sempre em texto: a resposta é a divisão pela massa do alvo. O quarto é o que se conserva: a quantidade de movimento sempre, a energia cinética só quando a colisão é elástica.
Um exemplo do segundo formato, com os números que a prova gosta: uma bala de 20 g a 400 m/s se aloja num bloco de 1,98 kg, e os dois saem juntos. Sistema: bala + bloco; antes: a bala em voo; depois: os dois juntos. Conservação: 0,02 × 400 = 2,00 × V, logo V = 8 ÷ 2 = 4 m/s. E o distrator? Quem iguala as energias cinéticas escreve ½ × 0,02 × 400² = ½ × 2 × V², acha V² = 1 600 e V = 40 m/s — dez vezes o valor certo, na alternativa mais tentadora. A energia cinética antes era 1 600 J; depois, ½ × 2 × 4² = 16 J. Os outros 1 584 J viraram calor e deformação no bloco — e continuam na conta.
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Conservar a energia numa colisão em que os corpos ficam juntos — o que se conserva é a quantidade de movimento; a energia cinética cai (Exemplo 3).
- Esquecer o quadrado da velocidade — Ec tem v²; a ordem de grandeza denuncia o erro (Exemplo 1).
- Dividir pela massa errada — a velocidade final é o p do leve dividido pela massa total, não pela massa do leve (Exemplo 3).
- Achar que o pequeno não move o grande — move; é só dividir: o Δv é pequeno, não nulo (Exemplo 4).
- Dizer que no vácuo não há em que se apoiar — a conservação da quantidade de movimento não precisa de apoio (capítulo 9).
Resumo em cinco peças
- Trabalho é o preço; energia é o saldo: W paga a mudança de Ec, Ep e Eel.
- Sem atrito, o saldo mecânico se conserva; com atrito, parte vira calor — e é medida.
- Potência é o ritmo: energia por tempo, em watts. O kWh é energia, não potência.
- Quantidade de movimento se conserva sempre em sistema isolado; energia cinética, nem sempre.
- Impulso e colisão: o tempo da força e o coeficiente e decidem o estrago.
Se for guardar uma frase só, guarde a sonda: 580 kg a 6 km/s moveram uma montanha por 2,7 mm/s — e a gravidade fez o resto.
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