Capítulo 4A montanha-russa que não tem motor

Energia potencial gravitacional e conservação

Um cabo puxa o trem até 94 metros e solta: daí em diante não há motor, e dois quilômetros de trilho a 150 km/h são pagos por uma subida só.

O caso: noventa e quatro metros, e depois nada

Num parque às margens de um grande lago, no norte dos Estados Unidos, uma montanha-russa inaugurada em 2000 foi a primeira do mundo a passar dos 300 pés de altura. Um cabo de aço engata no meio do trem e o puxa, numa rampa de 45°, até o topo: 94 metros, em pouco mais de 20 segundos. Lá em cima, o cabo solta.

A partir daí não há motor nenhum. O trem despenca 91 metros numa descida de 80°, chega ao vale a 150 km/h, sobe morros, faz curvas, percorre ao todo 2.010 metros de trilho e volta à estação 2 minutos e 20 segundos depois de ter saído. Tudo isso sem um único empurrão depois do topo.

Quem pagou a viagem? A resposta é a subida. O cabo realizou trabalho contra o peso do trem, e esse trabalho ficou guardado na altura. Na descida, a altura devolve o que recebeu, na forma de velocidade. Este capítulo dá nome a essa energia guardada — a energia potencial gravitacional —, mostra que, sem atrito, a soma da energia de altura com a de velocidade não muda, e fecha uma conta que a série anterior deixou em aberto: a altura mínima para um carrinho completar um loop.

Energia potencial gravitacional

O capítulo 1 mostrou que, quando uma caixa de 20 kg sobe 3 m, o peso realiza −600 J; quando ela desce os mesmos 3 m, o peso devolve +600 J. Subir guarda; descer devolve. O que fica guardado entre uma coisa e outra é a energia potencial gravitacional.

Um carrinho de 500 kg no alto do trilho, a 90 m do vale: Ep = 500 × 10 × 90 = 450.000 J. Parado, ele não tem energia cinética nenhuma. Mas não está sem energia: tem 450 mil joules prontos para virar velocidade, bastando que o trilho desça.

O zero é você quem escolhe

Altura em relação a quê? Ao chão, à mesa, ao nível do mar, ao fundo de um poço? A energia potencial depende dessa escolha — e a física aceita qualquer uma, desde que ela seja declarada antes da conta e mantida até o fim.

Uma pedra de 2 kg está a 3 m do chão, na borda de um poço de 5 m de profundidade. Com o zero no chão, Ep = 2 × 10 × 3 = 60 J. Com o zero no fundo do poço, a altura é 8 m e Ep = 2 × 10 × 8 = 160 J. Qual está certo? Os dois. O valor da energia potencial não tem significado sozinho; o que a física usa é a diferença entre dois pontos. Se a pedra cai até o chão, ela perde 60 J nas duas escolhas: de 60 para 0, ou de 160 para 100.

Energia mecânica: o extrato de duas contas

Some a energia de velocidade com a de altura e você tem a energia mecânica: Em = Ec + Ep. Quando só o peso realiza trabalho, ela não muda: o que a altura perde, a velocidade ganha, e vice-versa. É como um extrato bancário com duas contas, em que o dinheiro só troca de conta e o saldo total fica igual.

Toda conta de conservação começa, neste livro, com duas declarações — o equivalente do "referencial declarado" da série anterior: qual é o sistema (o trem e a Terra) e quais são os dois instantes comparados (antes: o topo; depois: o vale). Sem as duas frases, a conta não começa.

A velocidade no vale depende só da altura

Com o zero no vale, o carrinho parte do topo, a uma altura h, com velocidade praticamente zero. No vale, toda a energia potencial virou cinética:

m × g × h = m × v² ÷ 2, e então v = √(2 × g × h).

A massa cancela: um trem vazio e um trem lotado chegam ao vale com a mesma velocidade. O formato do trilho também não entra: uma descida íngreme, uma suave ou uma cheia de curvas levam à mesma velocidade no fim, se a altura for a mesma. Só muda o tempo que se leva para chegar.

Na montanha-russa do caso, a queda é de 91 m: v = √(2 × 10 × 91) = √1.820 ≈ 42,7 m/s, isto é, cerca de 154 km/h. A velocidade medida no vale é 150 km/h. A diferença de 4 km/h não é erro da conta: é o atrito das rodas e a resistência do ar, que tiram um pouco de energia mecânica ao longo da queda e a transformam em calor. Essa diferença tem um capítulo próprio, o dos freios.

O preço do loop

A série anterior terminou com um globo da morte e uma pergunta: qual é a altura mínima para um carrinho completar um loop sem cair? A resposta tem duas peças, uma de cada série.

A peça da série anterior. No topo do loop, na velocidade mínima, o trilho quase não empurra; só o peso faz o papel de força centrípeta: m × g = m × v² ÷ R. Então, no topo, v² = g × R. Para um loop de 10 m de raio, v = √(10 × 10) = 10 m/s. Menos que isso, o carrinho descola do trilho.

A peça deste capítulo. O carrinho parte do repouso a uma altura h e chega ao topo do loop, que fica a 2R do chão, com v² = g × R. Conservação, com o zero no chão: m × g × h = m × g × 2R + m × g × R ÷ 2. A massa e o g cancelam, e sobra h = 2,5 × R.

Para R = 10 m, a altura mínima é 25 m. Esse é o preço que o globo da morte da série anterior cobrava para existir: uma altura de largada de duas vezes e meia o raio, paga antes do loop.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos de conservação há duas frases antes dos três tempos: o sistema e o zero ("o carrinho e a Terra; o zero é o vale") e os dois instantes ("antes: o topo; depois: o vale").

Radar ENEM

O ENEM cobra conservação da energia em cenas de parque, esporte e cotidiano: a montanha-russa, o skate na pista em U, o pêndulo, o salto com vara. A pergunta favorita é a velocidade no ponto mais baixo, ou a altura que um corpo alcança com certa velocidade.

Um skatista parte do repouso da borda de uma pista em U, a 5 m de altura. Sem atrito, no fundo: v = √(2 × 10 × 5) = √100 = 10 m/s. O distrator é 100 m/s, de quem esqueceu a raiz. Outros formatos frequentes: a altura máxima de um corpo lançado para cima, que é a mesma conta ao contrário (h = v² ÷ 2g); o pêndulo, que troca altura por velocidade a cada oscilação; e o salto com vara, em que a velocidade da corrida vira altura.

Resumo em cinco peças

1. Energia potencial gravitacional é Ep = m × g × h — do sistema corpo + Terra, com o zero declarado antes da conta.
2. Energia mecânica é a soma: Em = Ec + Ep.
3. Se só o peso realiza trabalho, a energia mecânica se conserva: a altura vira velocidade e volta a ser altura.
4. Partindo do repouso, a velocidade depois de descer h é √(2 × g × h) — sem depender da massa nem do caminho.
5. O preço do loop: para completar uma volta de raio R, o carrinho precisa partir de 2,5 × R.

Se for guardar uma frase só, guarde o cabo: ele pagou a viagem inteira em vinte segundos de subida, e a altura devolveu tudo.

Lista de exercícios no app