Capítulo 5A flecha que estava guardada no arco

Energia potencial elástica

O arqueiro olímpico puxa cerca de 22 quilogramas-força até o queixo e solta: a flecha cruza 70 metros em pouco mais de um segundo, com uma energia que estava guardada no arco dobrado.

O caso: vinte e dois quilos até o queixo

No tiro com arco olímpico, o alvo fica a 70 metros e o centro dele, o dez, tem 12,2 cm de diâmetro. O arqueiro levanta o arco recurvo, puxa a corda até encostar a mão no queixo, segura, mira e solta. A flecha cruza os 70 metros em pouco mais de um segundo.

Quanta força isso exige? A federação internacional do esporte conta que os arqueiros de elite usam arcos de 48 a 50 libras de "peso de tração" — a força que precisam fazer com a corda puxada até o fim. Isso é cerca de 22 quilogramas-força, ou 220 newtons: segurar, com três dedos, o peso de uma criança de seis anos. A faixa vai longe: um campeão mundial treinava com 53 libras; a campeã olímpica de 2016 venceu com um arco de 39. Numa rodada de qualificação, com 72 flechas, o arqueiro puxa essa força 72 vezes: somadas, cerca de 1.600 quilogramas-força.

E de onde vem a energia da flecha? Não vem do braço na hora do disparo: quando a corda solta, o braço já está parado. Ela vem do arco dobrado. O braço fez trabalho enquanto puxava a corda; o arco, deformado, guardou esse trabalho como energia potencial elástica e a devolveu à flecha em centésimos de segundo. Este capítulo mede essa energia — e ela tem a mesma regra estranha da energia cinética: guardar o dobro custa quatro vezes mais.

A força que cresce: a lei de Hooke

A série anterior apresentou a mola: quanto mais você estica, mais ela puxa de volta. Para molas comuns, dentro de um limite, a força é proporcional à deformação. É a lei de Hooke.

Uma mola de k = 200 N/m esticada 0,1 m puxa com 200 × 0,1 = 20 N; esticada 0,2 m, com 40 N. No gráfico da força contra a deformação, isso é uma reta que sai da origem, e a inclinação dela é o k.

O trabalho de uma força que cresce: o triângulo

O capítulo 1 avisou: quando a força muda ao longo do caminho, F × d deixa de valer, mas a área sob o gráfico continua valendo. Na mola, a força começa em zero e cresce em linha reta até k × x. A área sob essa reta não é um retângulo: é um triângulo.

A área do triângulo é base × altura ÷ 2 = x × (k × x) ÷ 2 = k × x² ÷ 2. É metade do que daria se a força máxima tivesse agido desde o começo. Quem estica uma mola não faz a força máxima o tempo todo: começa quase sem força e só chega ao máximo no fim.

Energia potencial elástica

O trabalho feito para deformar a mola não se perde: fica guardado nela e volta quando ela é solta. Essa energia guardada é a energia potencial elástica.

A mola de 200 N/m esticada 0,1 m guarda 200 × 0,01 ÷ 2 = 1 J. Esticada 0,2 m, guarda 200 × 0,04 ÷ 2 = 4 J. Dobrou a deformação, quadruplicou a energia — a mesma regra do quadrado da velocidade do capítulo 3. A mola é um cofre com uma regra estranha: guardar o dobro custa quatro vezes mais, porque a chave é a área de um triângulo.

A mola devolve: conservação com energia elástica

A conservação da energia mecânica do capítulo anterior ganha uma terceira conta. Quando só o peso e a força elástica realizam trabalho, Ec + Ep + Eel não muda. Na horizontal, sem atrito, a mola solta transforma toda a energia elástica em cinética: k × x² ÷ 2 = m × v² ÷ 2.

Uma bola de 0,5 kg é encostada numa mola de k = 400 N/m, comprimida 0,2 m. Sistema: bola e mola; antes: a mola comprimida e a bola parada; depois: a bola solta, a mola no comprimento natural. A energia elástica é 400 × 0,04 ÷ 2 = 8 J. Toda ela vira cinética: 8 = 0,5 × v² ÷ 2, v² = 32, v ≈ 5,7 m/s.

O mesmo vale na vertical, trocando a velocidade por altura. Um brinquedo de mola que guarda 8 J lança para cima uma bolinha de 0,1 kg até h = 8 ÷ (0,1 × 10) = 8 m, se não houver atrito com o ar.

O arco é uma mola (quase)

Agora o arco olímpico. Um arco real não segue a lei de Hooke à risca: a força cresce de um jeito um pouco diferente de uma reta, e cada arco tem a sua curva. Mas, como modelo para estimar, tratar o arco como uma mola é razoável — e é o que este capítulo faz, dizendo com todas as letras que é uma aproximação.

Com força máxima de 220 N e recuo da corda de 0,5 m, a energia guardada, no modelo de mola, é a área do triângulo: 220 × 0,5 ÷ 2 = 55 J. Nem tudo vai para a flecha: parte fica no movimento dos braços do arco, da corda e do ar. Supondo que 65% cheguem à flecha — um rendimento suposto, só para a estimativa —, a flecha recebe cerca de 36 J. Com uma flecha de 20 g, isto é, 0,02 kg: 36 = 0,02 × v² ÷ 2, v² = 3.600, v = 60 m/s.

Sessenta metros por segundo é a ordem de grandeza que os próprios atletas relatam — cerca de 200 pés por segundo —, embora não seja um dado oficial. A essa velocidade, os 70 metros até o alvo levam 70 ÷ 60 ≈ 1,2 s: pouco mais de um segundo, como no caso. O modelo também explica por que uma flecha mais leve sai mais rápida do mesmo arco: com a mesma energia entregue, v² é inversamente proporcional à massa — metade da massa, velocidade cerca de 1,4 vez maior.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos com mola, o cuidado antes de tudo é a deformação em metros — 20 cm são 0,2 m, e esse número entra ao quadrado.

Radar ENEM

O ENEM cobra a energia elástica em brinquedos, estilingues, amortecedores e camas elásticas, quase sempre junto com a conservação: a mola comprimida lança um corpo, e a pergunta é a velocidade ou a altura. O gráfico da força contra a deformação também aparece, pedindo a constante ou a área.

Um estilingue, tratado como mola de 500 N/m e puxado 0,2 m, guarda 500 × 0,04 ÷ 2 = 10 J. Se toda essa energia for para uma pedra de 0,04 kg lançada para cima, sem ar: 10 = 0,04 × 10 × h, h = 25 m. O distrator, 50 m, é de quem esqueceu o ÷ 2 na energia elástica. Outros formatos: a cama elástica, que troca altura por deformação e de volta; o amortecedor, que guarda a energia do choque; e o gráfico força contra deformação, com a constante na inclinação e a energia na área. Na cama elástica, a conta dá a volta completa: altura vira velocidade, velocidade vira deformação da lona, e a lona devolve tudo como altura de novo, se não houver perdas.

Resumo em cinco peças

1. A força da mola cresce com a deformação, F = k × x, e o trabalho para deformá-la é a área do triângulo — metade do retângulo.
2. A energia potencial elástica é Eel = k × x² ÷ 2, em joules.
3. Dobrou a deformação, a energia elástica quadruplicou.
4. Na soltura, sem perdas, a energia elástica vira cinética (ou altura): k × x² ÷ 2 = m × v² ÷ 2.
5. Quando há perdas, o rendimento se declara — e a conta vira estimativa, como a da flecha.

Se for guardar uma frase só, guarde o arco: a flecha não é empurrada pelo braço; é devolvida pela madeira e pelo carbono que o braço dobrou.

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