Capítulo 1O círculo que errou por oito minutos de arco

A 1ª lei de Kepler

Vinte anos medindo Marte a olho nu, com dois minutos de arco de precisão. O melhor círculo errava por oito. Kepler confiou nos dados, jogou fora dois mil anos de círculos e escreveu a forma da órbita: uma elipse — com o Sol num foco, não no centro.

O caso: vinte anos olhando Marte a olho nu

O livro da Mecânica II terminou com uma promessa. Uma sonda bateu num asteroide, mudou a velocidade dele em dois milímetros e sete por segundo, e a órbita encurtou trinta e dois minutos. Quem transformou um empurrão minúsculo em meia hora de órbita não foi a sonda: foi a gravidade. Este livro é sobre ela. Mas antes de alguém medir a gravidade, alguém teve de medir uma órbita — e essa história começa numa ilha do mar Báltico, numa sala de pedra, com um instrumento de latão do tamanho de uma parede.

De 1576 a 1597, por cerca de vinte anos, o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe observou o céu da ilha de Hven com instrumentos que ele mesmo mandou construir. Não havia telescópio: o telescópio só seria apontado para o céu em 1609. Tycho media com o olho, através de miras, lendo a posição dos planetas em réguas circulares enormes — quanto maior o arco, mais fino o traço da graduação, e melhor a medida. Ele chegou a uma precisão de um a dois minutos de arco, a melhor que alguém já tinha conseguido, e anotou noite após noite, durante duas décadas, onde Marte estava no céu.

Em 1600, já velho, contratou como assistente um matemático alemão de 28 anos, Johannes Kepler. Morreu no ano seguinte, e Kepler herdou os cadernos. A tarefa parecia clara: dois mil anos de astronomia, de Platão a Copérnico, diziam que os corpos celestes andam em círculos — a forma perfeita. Bastava achar o círculo que passasse pelas posições de Marte. Kepler tentou por anos; ele mesmo chamou esse trabalho de "a guerra com Marte". O melhor círculo que conseguiu errava, em alguns pontos, por oito minutos de arco.

Oito minutos de arco é muito pouco: pouco mais de um quarto da largura da Lua cheia. Qualquer astrônomo antes dele teria aceitado. Kepler não aceitou, porque sabia quem tinha feito as medidas: Tycho media a dois minutos, e o erro era quatro vezes a régua. Ou os dados estavam errados, ou o círculo estava. Ele apostou nos dados. Em 1609, no livro Astronomia Nova, publicou a resposta: a órbita de Marte não é um círculo, é uma elipse — e o Sol não está no centro dela. Dois mil anos de círculos caíram por oito minutos de arco. Este capítulo é sobre essa forma, a elipse, e sobre a primeira das três leis que Kepler tirou dos cadernos de Tycho.

O que Tycho media: ângulos no céu

Tycho não media distâncias. Ninguém sabia, na época, a quantos quilômetros Marte estava. O que se mede no céu, com o olho ou com um quadrante, é direção: o ângulo entre o astro e o horizonte, ou entre dois astros. A régua do astrônomo é a régua dos ângulos: o grau, que o livro da Mecânica I já usou para dizer para onde um vetor aponta, e as suas frações.

Um grau é pouco no céu: a Lua cheia ocupa só meio grau, uns 30 minutos de arco. Para medir a posição de um planeta com cuidado, o grau é grosso demais, e por isso ele se divide em sessenta partes: o minuto de arco. Não tem nada a ver com tempo — o nome é de divisão, "a primeira parte pequena" do grau, como o minuto é a parte pequena da hora. Oito minutos de arco são 8 ÷ 60 = 0,13 de grau; sobre a Lua cheia, 8 ÷ 30 ≈ 0,27: pouco mais de um quarto do disco. Era esse o tamanho da discordância entre o círculo de Kepler e o Marte de Tycho.

A elipse: um círculo com dois centros

Um círculo tem um centro: todos os pontos dele estão à mesma distância desse ponto. A elipse tem dois pontos especiais, os focos, e a regra é outra: para qualquer ponto da curva, a soma das distâncias aos dois focos é sempre a mesma. É a figura que se desenha com dois pregos e um barbante frouxo: encoste o lápis no barbante, mantenha-o esticado e dê a volta — o barbante tem comprimento fixo, então a soma das duas distâncias não muda.

Duas medidas descrevem a elipse. A primeira é o semieixo maior, a: a distância do centro até a ponta mais afastada, o "raio" da elipse na direção comprida. A segunda é a distância do centro a cada foco, c. Quanto mais os focos se afastam do centro, mais achatada a figura; quando os dois focos caem juntos no centro, c = 0 e a elipse vira um círculo de raio a. A razão entre as duas distâncias é o número que mede o achatamento: a excentricidade, e = c ÷ a.

A excentricidade é a única coisa que precisa de cuidado aqui. Ela não é uma distância: é a distância do foco dividida pelo tamanho da elipse, uma fração. Uma elipse de 1 cm e outra de 1 bilhão de km podem ter a mesma excentricidade, e nesse caso têm a mesma forma — uma é a outra ampliada. Conhecendo a e e, todas as outras medidas saem por multiplicação: c = e × a, e as distâncias das pontas aos focos, que são as que a prova cobra, vêm na seção sobre periélio e afélio.

A 1ª lei de Kepler: o Sol num foco, não no centro

O que Kepler encontrou nos cadernos de Tycho, depois de abandonar o círculo, cabe numa frase — e a frase tem duas partes, as duas importantes. Cada planeta descreve uma elipse; o Sol ocupa um dos focos dela. A primeira parte diz a forma; a segunda diz onde está o Sol. E ele não está no centro: está deslocado, em um dos dois focos. O outro foco é um ponto vazio no espaço, sem nada dentro.

Volte à analogia do barbante: a elipse é um círculo com dois centros. Kepler descobriu que o Sol senta num deles e o outro fica vazio. O erro de oito minutos de arco era exatamente a cadeira vazia aparecendo nos dados: se o Sol estivesse no centro de um círculo, Marte estaria sempre à mesma distância dele e as posições fechariam; como o Sol está fora do centro, Marte ora se aproxima, ora se afasta, e nenhum círculo dá conta disso.

Periélio e afélio: a distância mais curta e a mais longa

Se o Sol está fora do centro, a distância do planeta ao Sol muda ao longo da volta. Ela é menor num ponto e maior no ponto oposto, e os dois ficam nas pontas do eixo maior. O ponto mais próximo do Sol se chama periélio; o mais distante, afélio. As duas palavras vêm do grego: peri é "perto", apo é "longe", e hélios é o Sol.

As contas saem do desenho. Da ponta mais próxima até o centro há a; do centro até o Sol há c, na mesma direção. Então a distância do periélio ao Sol é a − c, e a do afélio, do outro lado, é a + c. Como c = e × a, dá para escrever tudo com a e e:

A soma e a diferença servem para o caminho inverso, que a prova também gosta: dados o periélio e o afélio, o semieixo maior é a média dos dois, a = (periélio + afélio) ÷ 2, e a distância do foco ao centro é metade da diferença, c = (afélio − periélio) ÷ 2. Dividindo c por a, sai a excentricidade — é o Exemplo 5. A tabela abaixo mostra como a excentricidade separa as órbitas quase redondas das muito alongadas; o cometa entra aqui só para dar escala, porque é o caso do capítulo seguinte.

As órbitas dos planetas são quase círculos

Há uma armadilha nas figuras deste capítulo, e é bom nomeá-la: para o foco aparecer, a elipse foi desenhada com excentricidade 0,5, bem achatada. Nenhum planeta tem uma órbita assim. A da Terra tem e = 0,017; a de Marte, a mais excêntrica entre os planetas próximos, tem e = 0,093. Desenhadas em escala, as duas são círculos para o olho — e a única coisa que denuncia a elipse é que o Sol não está no centro.

Os números dizem o quanto. Para a Terra, com a = 150 milhões de km, o Sol está a c = 0,017 × 150 ≈ 2,5 milhões de km do centro; o periélio fica a 147 milhões de km e o afélio a 152 — três por cento de diferença entre o ponto mais perto e o mais longe. Para Marte, com a = 228 milhões de km, c = 21 milhões de km, periélio 207 e afélio 249: uma diferença de 20%, que ainda assim não achata a figura a ponto de o olho notar. O achatamento de uma elipse depende de e ao quadrado, e 0,093 ao quadrado é menos de 1%.

Foi por isso que o círculo enganou todo mundo por dois mil anos. Ele erra pouco. Errava, no caso de Marte, oito minutos de arco — e era preciso um observador como Tycho para o erro aparecer. Com a Terra, cuja excentricidade é cinco vezes menor, nem Tycho teria notado.

Kepler mediu a forma; a causa vem depois

É importante dizer o que a 1ª lei não diz. Ela não explica por que a órbita é uma elipse, nem o que puxa o planeta. Kepler achou a forma nos dados, como quem descobre o desenho de uma estrada num mapa sem saber por que a estrada faz aquelas curvas. A causa — uma força que puxa o planeta para o Sol, e que cai com o quadrado da distância — só seria escrita por Newton, quase oitenta anos depois, e é o assunto do capítulo 4. Este capítulo termina, portanto, com uma descoberta pela metade, e está tudo bem: foi a metade que abriu o caminho.

Vale guardar a divisão de trabalho, porque ela cai na prova como pegadinha. Kepler mediu a forma das órbitas e escreveu três leis a partir de vinte anos de observação; ele não sabia de gravidade nem escreveu uma força. Newton explicou a causa: mostrou que uma única força, a gravitação, produz exatamente as elipses de Kepler — e também as quedas na Terra. O livro da Mecânica I terminou com um satélite que cai e nunca chega ao chão; a órbita elíptica de Marte é a mesma queda, vista de longe. Quem fecha essa conta é Newton, no capítulo 4. Antes dele, ainda há duas leis de Kepler para ler nos mesmos cadernos.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo as distâncias ficam em milhões de quilômetros, porque é assim que a prova as dá; a excentricidade não tem unidade. Os valores usados são os da série: a de Marte = 228 milhões de km e e = 0,093; a da Terra = 150 milhões de km e e = 0,017.

Radar ENEM

O ENEM cobra a 1ª lei quase sempre de forma conceitual, e o distrator é sempre o mesmo: "o Sol está no centro". A questão traz uma elipse desenhada com exagero, marca o Sol e pede a frase certa — ou descreve um planeta se aproximando e se afastando do Sol e pergunta por quê. Em segundo lugar vêm as contas curtas: dados a e e, calcular periélio e afélio; dados periélio e afélio, calcular a excentricidade. E, de vez em quando, a pegadinha de história: quem descobriu o quê, Kepler ou Newton.

Veja a versão que mais aparece: a prova diz que um planeta descreve uma órbita elíptica e pergunta o que se pode afirmar sobre a distância dele ao Sol. A resposta certa é que ela varia, entre a × (1 − e) no periélio e a × (1 + e) no afélio, porque o Sol está num foco. Entre as alternativas estão "é constante, porque o Sol está no centro", "é maior no periélio" (as palavras trocadas) e "é constante, porque a órbita é um círculo".

Uma conferência rápida resolve metade das questões de conta: periélio + afélio = 2 × a, sempre. Se a alternativa escolhida não fecha essa soma, está errada — 207 + 249 = 456 = 2 × 228 para Marte. E a excentricidade nunca passa de 1 nem é negativa: uma alternativa com e = 1,2 ou com e em quilômetros pode ser descartada sem conta. Nas questões conceituais, procure a frase completa, "elipse com o Sol num dos focos"; qualquer versão que ponha o Sol no centro, ou que faça a distância ao Sol ficar constante, contradiz o que Tycho mediu.

Resumo em cinco peças

1. 1ª lei de Kepler: a órbita de cada planeta é uma elipse, e o Sol está em um dos focos — não no centro. O outro foco é vazio.
2. A elipse se mede por dois números: o semieixo maior, a, e a excentricidade, e = c ÷ a, sem unidade, entre 0 e 1. O círculo é a elipse com e = 0.
3. Periélio = a × (1 − e) é a menor distância ao Sol; afélio = a × (1 + e) é a maior. A soma dos dois é 2 × a; a diferença é 2 × c.
4. As órbitas dos planetas são quase círculos (Terra e = 0,017; Marte e = 0,093). O desenho exagera o achatamento para o foco aparecer.
5. Kepler mediu a forma das órbitas em vinte anos de dados de Tycho; a causa — a gravitação — é de Newton, e chega no capítulo 4.

Se for guardar uma frase só, guarde a do título: um círculo que errava por oito minutos de arco foi o bastante para trocar a forma do céu. E a elipse ainda guarda mais um segredo, que Kepler leu nos mesmos cadernos. Se o Sol está fora do centro, o planeta ora está perto dele, ora longe — e, quando está perto, anda mais depressa. A elipse tem um relógio dentro. É o assunto do capítulo 2, com um cometa que some por setenta e cinco anos e volta no ano marcado.

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