Capítulo 2O cometa que volta no ano marcado

A 2ª lei de Kepler

Em 1705, Halley marcou o ano: o cometa de 1682 voltaria por volta de 1758. Morreu antes. Na noite de Natal de 1758 ele voltou — a cinquenta e quatro quilômetros por segundo perto do Sol, a menos de um lá longe, onde passa setenta e cinco anos. A elipse tem um relógio dentro.

O caso: um homem marca o ano e não vive para ver

Em 1705, um astrônomo inglês chamado Edmond Halley publicou uma lista de 24 cometas registrados ao longo dos séculos, com a órbita de cada um calculada pela lei da gravitação que o amigo dele, Newton, tinha escrito poucos anos antes. Três daqueles cometas — os de 1531, 1607 e 1682 — tinham a mesma órbita: o mesmo caminho, o mesmo plano, e um intervalo parecido entre uma aparição e a seguinte. Halley concluiu que não eram três cometas, e sim um só, que dava a volta em torno do Sol e voltava. E fez uma previsão: ele volta por volta de 1758.

Halley morreu em 1742, sem ver. Na noite de Natal de 1758, um fazendeiro alemão e astrônomo amador, Johann Palitzsch, apontou o telescópio para o céu e encontrou o cometa voltando. Três matemáticos franceses — Clairaut, Lalande e Lepaute — tinham refinado a conta meses antes, levando em conta os puxões de Júpiter e Saturno, e previsto a passagem mais próxima do Sol para 13 de abril de 1759, "com um mês de erro". Ela aconteceu em 13 de março. Pela primeira vez, algo que não era um planeta tinha provado obedecer às mesmas leis que os planetas: o cometa voltou no ano marcado.

A órbita desse cometa é o oposto das órbitas do capítulo 1. No ponto mais próximo do Sol, ele passa a 0,59 UA — mais perto do Sol do que a Terra. No mais distante, está a 35,1 UA, além de Netuno: cinquenta e nove vezes mais longe. E a velocidade acompanha: perto do Sol, o cometa anda a 54 quilômetros por segundo; lá longe, a menos de um. Ele passa setenta e cinco anos quase parado e algumas semanas correndo. Nada disso é acaso. Kepler leu, nos mesmos cadernos de Tycho, a regra que manda no ritmo — e ela é o assunto deste capítulo.

O cometa é a elipse levada ao extremo

O capítulo 1 terminou com a 1ª lei de Kepler: a órbita é uma elipse, e o Sol está num dos focos. O cometa de Halley obedece à mesma lei, mas com uma excentricidade que nenhum planeta tem: e = 0,967, quase 1. Lembre o que a excentricidade mede: a distância do foco ao centro, dividida pelo semieixo maior. Com e tão perto de 1, o foco fica quase encostado na ponta da elipse — e o Sol, que está nesse foco, fica quase na ponta.

Os números dizem isso com clareza. O periélio é a × (1 − e) e o afélio é a × (1 + e), como no capítulo 1; com e = 0,967, o fator do periélio é 0,033 e o do afélio é 1,967 — um é sessenta vezes o outro. É por isso que o cometa chega a 0,59 UA do Sol num extremo e se afasta a 35,1 UA no outro. As unidades aqui são as do sistema solar: 1 UA, uma unidade astronômica, é a distância média da Terra ao Sol, 150 milhões de km. Então o periélio do cometa fica dentro da órbita da Terra, e o afélio, além da órbita de Netuno, a trinta UA.

A 2ª lei de Kepler: áreas iguais em tempos iguais

Kepler publicou a lei da elipse e a lei que vem agora no mesmo livro, em 1609. A segunda diz respeito ao ritmo, e é enunciada com uma figura em mente. Ligue o Sol ao planeta por um segmento de reta: é o raio-vetor. Conforme o planeta anda, esse segmento gira e varre uma região do plano, como o ponteiro de um relógio varre o mostrador. A 2ª lei diz: o raio-vetor varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Olhe os dois setores da figura. Perto do Sol, o raio-vetor é curto, então, para varrer a mesma área, o planeta precisa percorrer um arco longo: anda muito no mesmo tempo. Longe do Sol, o raio-vetor é comprido, e uma fatia fina já tem a área pedida: o planeta percorre um arco curto no mesmo tempo. É a mesma coisa que um limpador de para-brisa que varresse sempre a mesma área por segundo: perto do eixo, o braço curto tem de girar depressa; longe, o braço longo vai devagar.

Rápido perto do Sol, devagar longe dele

A consequência da lei das áreas cabe numa frase, e é ela que a prova mais cobra: o planeta anda mais depressa quando está mais perto do Sol e mais devagar quando está mais longe. A velocidade é máxima no periélio e mínima no afélio. Entre um e outro, ela cresce enquanto o planeta se aproxima e diminui enquanto ele se afasta.

Há um jeito de sentir por que isso acontece, e ele vai ser escrito com todas as letras no capítulo 4. O que puxa o planeta é a gravidade do Sol. Do afélio ao periélio, o planeta está caindo em direção ao Sol, e, como uma pedra que cai, ganha velocidade; do periélio ao afélio, está subindo contra a gravidade, e perde. O cometa de Halley faz isso na escala mais extrema do sistema solar: cai durante quase trinta e oito anos, dos 35 UA até os 0,59 UA, e leva outros tantos subindo de volta. Kepler não sabia da gravidade; ele só viu, nos dados, que a área varrida por dia era sempre a mesma.

A versão de conta: rp × vp = ra × va

O ENEM não pede que você calcule áreas de setores de elipse. Pede a versão simples da lei, que vale nos dois pontos extremos da órbita. Chame de rp e vp a distância ao Sol e a velocidade no periélio, e de ra e va as mesmas grandezas no afélio. Nesses dois pontos, e só neles, a velocidade é perpendicular ao raio-vetor. Num intervalo curto de tempo t, o planeta percorre um trecho de comprimento v × t, e a área varrida é a de um triângulo fino de base v × t e altura r: A = ½ × r × v × t.

Pela 2ª lei, no mesmo tempo t as duas áreas são iguais: ½ × rp × vp × t = ½ × ra × va × t. Cortando o que se repete:

A tabela mostra os dois casos deste capítulo, o cometa e a Terra, com os números que os Exemplos 2 e 3 vão conferir. Repare que o produto r × v fecha nas duas linhas de cada corpo: 0,59 × 54 = 32 e 35,1 × 0,9 = 32 para o cometa; 147 × 30,3 = 4 454 e 152 × 29,3 = 4 454 para a Terra.

Setenta e cinco anos quase parado

Junte a 2ª lei à forma extrema da órbita e o resultado é o que Halley viu nos registros: o cometa some por décadas. A figura mostra a órbita em escala com um ponto a cada cinco anos, quinze pontos para os 75 anos da volta inteira. Perto do Sol, dois pontos vizinhos ficam longe um do outro: em cinco anos o cometa vai do periélio a 14 UA. Longe do Sol, os pontos se amontoam: oito dos quinze ficam na ponta mais afastada, a mais de 29 UA do Sol, onde o cometa rasteja a menos de um quilômetro por segundo.

Dá para levar a conta até o fim. Com a 2ª lei aplicada à órbita inteira, o tempo que o cometa passa dentro da órbita da Terra — a menos de 1 UA do Sol, na parte em que é visível a olho nu — é de cerca de 78 dias em cada volta de 75 anos: dois meses e meio em setenta e cinco anos. É por isso que ele "some": não está parado, está longe, andando devagar, e o raio-vetor comprido varre a área do mês com um arco minúsculo.

A Terra também tem relógio

A 2ª lei não é privilégio de cometas. A Terra, com a elipse quase circular do capítulo 1, obedece do mesmo jeito — só que a diferença é pequena. No periélio, no começo de janeiro, a Terra está a 147 milhões de km do Sol; no afélio, no começo de julho, a 152 milhões. A razão entre as distâncias é 152 ÷ 147 = 1,034, e a mesma razão vale para as velocidades: em janeiro a Terra anda cerca de 1 km/s mais depressa do que em julho, 30,3 contra 29,3 km/s. Ninguém sente; a diferença de 3% só aparece nas tabelas astronômicas e no comprimento das estações — o verão do hemisfério sul, do lado do periélio, é uns dias mais curto que o do hemisfério norte.

Vale repetir o que o capítulo 1 disse sobre a 1ª lei: Kepler mediu o ritmo, não o explicou. A lei das áreas saiu dos cadernos de Tycho, das posições de Marte noite após noite, e Kepler a escreveu sem saber que força puxava o planeta. A causa — a gravitação, e o fato de que a área varrida por tempo se conserva porque a força aponta sempre para o Sol — é de Newton, no capítulo 4. E foi com a lei de Newton que Halley calculou a órbita do cometa e marcou o ano da volta: a primeira vez que a física previu o futuro do céu com décadas de antecedência.

Falta uma pergunta, e ela fecha as três leis. A 2ª lei diz como a velocidade varia dentro de uma órbita; não diz quanto tempo a volta inteira leva. Por que o cometa demora 75 anos, e não 7, nem 700? A resposta depende do tamanho da elipse — do semieixo maior — e é a 3ª lei de Kepler, a conta que liga Plutão a Mercúrio no capítulo 3.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números e o resultado com a unidade. Neste capítulo as distâncias do cometa ficam em UA e as da Terra em milhões de km, como a prova costuma dá-las; as velocidades, em km/s. Os valores usados são os da série: cometa de Halley com periélio 0,59 UA, afélio 35,1 UA e velocidade no periélio de 54 km/s; Terra com 147 e 152 milhões de km e velocidade no afélio de 29,3 km/s.

Radar ENEM

O ENEM cobra a 2ª lei de duas formas. A conceitual, mais frequente: um desenho de órbita elíptica com pontos marcados, e a pergunta "em qual ponto a velocidade é maior?" ou "o que se pode afirmar sobre o movimento?". A resposta certa fala em áreas iguais em tempos iguais, ou em velocidade maior no ponto mais próximo do Sol; os distratores dizem que a velocidade é constante, que ela é maior no ponto mais distante, ou trocam a área pelo ângulo. A forma numérica é a relação rp × vp = ra × va: dada a velocidade num extremo e as duas distâncias, achar a velocidade no outro.

Veja a versão que mais aparece: a prova desenha uma elipse com quatro pontos, um no periélio, um no afélio e dois no meio, e pergunta qual afirmação está certa. A certa diz que a velocidade no periélio é a maior, ou que o raio-vetor varre áreas iguais em tempos iguais entre quaisquer dois pares de pontos separados pelo mesmo intervalo. A versão de conta dá, por exemplo, uma sonda com distâncias 7 000 km e 21 000 km ao centro da Terra e a velocidade no ponto mais próximo, e pede a do mais distante — mesma lei, outro corpo central.

Uma conferência rápida resolve as questões de conta: o produto r × v tem de dar o mesmo número nos dois extremos. Para o cometa, 0,59 × 54 = 32 e 35,1 × 0,9 = 32; para a Terra, 147 × 30,3 = 4 454 e 152 × 29,3 = 4 454. Se a alternativa escolhida der um produto diferente, ela está errada. E, nas questões conceituais, a frase completa é: o raio-vetor varre áreas iguais em tempos iguais — nem "distâncias iguais", nem "ângulos iguais", nem "velocidade constante".

Resumo em cinco peças

1. 2ª lei de Kepler: o segmento que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Constante é a área por tempo — não a velocidade.
2. Perto do Sol, rápido; longe, devagar. A velocidade é máxima no periélio e mínima no afélio; cresce na aproximação, cai no afastamento.
3. Nos dois extremos, rp × vp = ra × va: a velocidade cai na mesma proporção em que a distância cresce.
4. O cometa de Halley: 0,59 UA e 54 km/s no periélio; 35,1 UA e 0,9 km/s no afélio — 59 vezes mais longe, 59 vezes mais devagar; 75 anos de volta, dois meses e meio dentro da órbita da Terra.
5. Halley marcou o ano da volta em 1705 e o cometa voltou em 1758: a prova de que as leis de Kepler valem para tudo que orbita, não só para os planetas.

Se for guardar uma frase só, guarde a do caso: a elipse tem um relógio dentro, e o relógio é a área varrida. Mas ele marca só o ritmo de cada volta, não a duração dela. Plutão leva 248 anos para dar uma volta; Mercúrio, 88 dias. Uma conta só liga os dois — e a mesma conta devolve os trinta e dois minutos que uma sonda tirou de um asteroide. É o capítulo 3.

Lista de exercícios no app