Capítulo 3A conta que liga Plutão a Mercúrio

A 3ª lei de Kepler

De pé no gelo de Plutão, o Sol é uma estrela um pouco mais brilhante. Uma volta leva duzentos e quarenta e oito anos; em Mercúrio, oitenta e oito dias. Entre os dois há uma conta só — e ela também mediu os trinta e dois minutos que uma sonda tirou de um asteroide.

O caso: duzentos e quarenta e oito anos e oitenta e oito dias

Imagine estar de pé na superfície gelada de Plutão. O céu é negro mesmo de dia, e o Sol é só uma estrela um pouco mais brilhante que as outras: está quarenta vezes mais longe do que da Terra. Dali, uma volta completa em torno dele leva 247,94 anos — Plutão foi descoberto em 1930 e ainda não completou uma volta desde então. Plutão, que desde 2006 os astrônomos chamam de planeta anão, obedece às mesmas leis que qualquer outro corpo em órbita do Sol; a lei que vem neste capítulo não pergunta o nome do corpo, só quem está no centro.

Agora vá ao outro extremo. Mercúrio, o mais próximo do Sol, dá a volta em 87,97 dias: em um ano da Terra, ele completa mais de quatro. Mercúrio está a 0,387 UA do Sol; Plutão, a 39,48 UA — cem vezes mais longe. E leva, em dias, mil vezes mais tempo: 248 anos são mais de 90 000 dias, e 248 × 365 ÷ 88 = 1 029. Cem vezes mais longe, mil vezes mais tempo. Não é coincidência, e não vale só para esses dois.

Kepler encontrou a regra que liga os dois em 1618, quase dez anos depois das duas primeiras leis, e a publicou em 1619 — a 3ª lei. Ela vale para os oito planetas, para Plutão, para as luas de Júpiter, para um satélite em volta da Terra e para uma pedra de 160 metros que gira em torno de outra pedra a onze milhões de quilômetros daqui. Em setembro de 2022, uma sonda bateu de propósito nessa pedra e a órbita dela encolheu 3%. O período caiu trinta e dois minutos, e a conta de Kepler, feita quatrocentos anos antes, disse exatamente quantos. É o assunto deste capítulo.

O que a 2ª lei não diz

O capítulo 2 terminou com um relógio dentro da elipse: o segmento Sol–planeta varre áreas iguais em tempos iguais, e por isso o planeta anda depressa perto do Sol e devagar longe dele. Esse relógio marca o ritmo de cada volta — mas não diz quanto tempo a volta inteira leva. Por que a Terra leva um ano, Júpiter doze e Plutão duzentos e quarenta e oito? A 2ª lei não responde; ela só diz como a velocidade varia dentro de uma órbita já dada.

Kepler tinha os dados. Para os seis planetas conhecidos no tempo dele, de Mercúrio a Saturno, sabia o período de cada um (basta contar quanto tempo o planeta leva para voltar à mesma posição entre as estrelas) e a distância média ao Sol em relação à da Terra (a unidade astronômica, UA, do capítulo 2). Ordenando os planetas pela distância, o período cresce junto: mais longe, mais tempo. Mas não na mesma proporção — Saturno está 9,6 vezes mais longe que a Terra e leva 29,5 anos, não 9,6. Kepler passou anos procurando a proporção certa, e a achou em 1618.

A 3ª lei de Kepler: T² ÷ a³ é o mesmo para todos

A proporção que Kepler achou não é entre o período e a distância, mas entre o quadrado de um e o cubo da outra. Chame de T o período da órbita (o tempo de uma volta) e de a o semieixo maior da elipse (para as órbitas quase circulares dos planetas, é a distância média ao Sol). A 3ª lei diz: o quociente T² ÷ a³ tem o mesmo valor para todos os corpos que orbitam o mesmo centro. Mercúrio, a Terra, Júpiter e Plutão têm períodos e distâncias completamente diferentes, mas, para os quatro, T² dividido por a³ dá o mesmo número.

O que a lei afirma é forte. A distância de Plutão ao Sol é cem vezes a de Mercúrio; o período é mil vezes maior. Se você eleva a distância ao cubo, cem vezes vira um milhão de vezes; se eleva o período ao quadrado, mil vezes vira um milhão de vezes. As duas contas crescem juntas: por isso o quociente não muda. Kepler não sabia por que era assim — a causa é a gravitação, e o capítulo 6 vai deduzir a lei inteira a partir de Newton. Mas ele viu, nos números, que a regra fechava para todos os planetas de uma vez.

Em anos e UA, para o Sol: T² = a³

Se a constante é a mesma para todos os corpos que orbitam o Sol, basta calculá-la para um deles — e a Terra é o mais cômodo. O período da Terra é 1 ano; a distância média ao Sol é 1 UA, por definição. Logo T² ÷ a³ = 1 ÷ 1 = 1. Como o quociente é o mesmo para todos, para qualquer corpo em órbita do Sol, com T em anos e a em UA, T² = a³. A Terra funciona como a régua: mede-se o resto com ela.

A conta fica curta com essa escolha de unidades. Júpiter está a 5,2 UA: a³ = 5,2 × 5,2 × 5,2 = 141, e T = √141 = 11,9 anos — o valor medido é 11,86. Saturno, a 9,6 UA: a³ = 885, T = √885 = 29,7 anos, contra 29,5 medidos. Ao contrário: Urano leva 84 anos, então a³ = 84² = 7 056 e a = 19,2 UA. Uma régua, uma conta, todo o sistema solar.

Cem vezes mais longe, mil vezes mais tempo

O jeito mais útil de usar a lei numa prova é comparar duas órbitas em torno do mesmo centro, sem precisar da constante. Se T1² ÷ a1³ = T2² ÷ a2³, então (T2 ÷ T1)² = (a2 ÷ a1)³. Ou seja: a razão entre os períodos, ao quadrado, é a razão entre as distâncias, ao cubo. Tirando a raiz quadrada: T2 ÷ T1 = (a2 ÷ a1) elevado a 1,5. O expoente 1,5 é a assinatura da lei: o período cresce com a distância elevada a um e meio.

É a tabela de preços do universo: o tempo de uma volta custa a distância elevada a um e meio, e a tabela é a mesma para tudo que orbita o mesmo centro. Os três preços que mais aparecem na prova estão na tabela abaixo. Plutão e Mercúrio são a última linha: 39,5 ÷ 0,387 = 102 vezes mais longe, e 102 elevado a 1,5 dá 1 030 — o valor medido, 248 anos contra 88 dias, é 1 029 vezes. Cem vezes mais longe, mil vezes mais tempo: 100 elevado a 1,5 é 1 000, porque 100³ = 1 000 000 = 1 000².

A lei vale para luas e satélites, com outra constante

Kepler escreveu a lei para os planetas em torno do Sol, mas ela vale para qualquer conjunto de corpos em torno do mesmo centro — com a constante daquele centro. Tome a Terra como centro e dois corpos que a orbitam: a Estação Espacial Internacional, a 400 km de altura (no livro da Mecânica I, ela é a pedra que cai e erra o chão, a 7,7 km/s), e a Lua. A estação está a 6 800 km do centro da Terra (6 400 km de raio mais 400 km de altura) e dá uma volta a cada 93 minutos; a Lua está a 384 000 km e leva 27,3 dias, cerca de 39 300 minutos.

Faça a conferência: (384 000 ÷ 6 800)³ = 56,5³ = 180 000; (39 300 ÷ 93)² = 423² = 179 000. A razão das distâncias ao cubo bate com a razão dos períodos ao quadrado, com 1% de diferença — a lei fecha para a Lua e para a estação exatamente como fecha para Plutão e Mercúrio. Só que a constante T² ÷ a³ aqui é outra: com a Terra no centro, em ano e UA, ela não vale 1. A Lua está a 0,00257 UA e leva 0,0748 ano; T² = 0,0056 e a³ = 0,000 000 017 — nem parecidos. A lei não quebrou; o centro é que é outro.

Os trinta e dois minutos que a sonda tirou do asteroide

O livro da Mecânica II terminou com uma sonda de 580 kg batendo, a seis quilômetros por segundo, num asteroide de 160 metros chamado Dimorphos — a lua de um asteroide maior, Didymos, a onze milhões de quilômetros da Terra. Foi em 26 de setembro de 2022, e o objetivo era testar se a humanidade consegue desviar uma pedra que venha na nossa direção. O empurrão mudou a velocidade de Dimorphos em poucos milímetros por segundo. E, mesmo assim, o período da órbita dele em torno de Didymos caiu de 11 h 55 min para 11 h 22 min. Aquele livro fechou com uma promessa: quem transformou um empurrão minúsculo em meia hora de órbita foi a gravidade. A conta é a 3ª lei.

Antes do impacto, Dimorphos girava a uma distância média de 1 189 m do centro de Didymos; depois, a 1 152 m — a órbita encolheu 3,1%. O centro é o mesmo, Didymos, então a razão dos períodos é a razão das distâncias elevada a 1,5: (1 152 ÷ 1 189) elevado a 1,5 = 0,969 elevado a 1,5 = 0,954. O período antigo era 11 h 55 min = 715 min; o novo, 715 × 0,954 = 682 min = 11 h 22 min. A conta de Kepler devolve o número que os telescópios mediram: uma órbita 3% menor tem um período 4,6% menor, e 4,6% de doze horas são os trinta e dois minutos do caso. Ninguém precisou saber a massa de Didymos: na razão entre as duas órbitas, a constante do centro se cancela.

E de onde vem a constante? Por que ela é uma para o Sol, outra para a Terra, outra para Didymos? Kepler não tinha como saber; ele mediu a lei, não a explicou — como fez com a elipse e com as áreas. A resposta é de Newton: a constante é fixada pela massa do corpo central, e a 3ª lei inteira, com a constante escrita por extenso, sai da lei da gravitação em três linhas. É o capítulo 6. Antes dele, o capítulo 4 mostra a lei que Newton escreveu — e a maçã e a Lua caindo pela mesma conta.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números e o resultado com a unidade. Neste capítulo o centro é declarado antes de cada conta. Os valores são os da série: Mercúrio com 88 dias e 0,387 UA; Plutão com 248 anos e 39,5 UA; o DART com 1 189 m e 1 152 m, 11 h 55 min; a estação espacial a 6 800 km do centro da Terra, 93 min.

Radar ENEM

A 3ª lei é o item de gravitação mais recorrente do ENEM, e aparece de três formas. A conceitual: "o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio médio da órbita", com distratores que trocam o quadrado pelo cubo, tiram o "mesmo centro" ou põem a massa do satélite na lei. A numérica direta, quase sempre em anos e UA: dada a distância, o período (ou o inverso). E a razão entre órbitas: dois satélites, dois planetas, uma órbita que encolheu — "se a distância dobra, o período fica quantas vezes maior?" (2,8); "um satélite quatro vezes mais longe leva quantas vezes mais tempo?" (8).

Veja a versão que mais aparece: a prova dá uma tabela com os planetas, as distâncias em UA e os períodos em anos, e pergunta qual relação os dados obedecem — a resposta é T² proporcional a a³, e a conferência mais rápida é a Terra (1 e 1) contra Júpiter (5,2 e 11,9: 5,2³ = 141 = 11,9²). Outra versão dá um satélite artificial e pede o período de um segundo satélite num raio maior; a armadilha é usar a altitude no lugar do raio, ou multiplicar o período pela razão dos raios sem o expoente 1,5.

Uma conferência rápida resolve as questões de conta: elevar a razão das distâncias ao cubo tem de dar a razão dos períodos ao quadrado. Para Plutão e Mercúrio, 102³ = 1 060 000 e 1 029² = 1 060 000; para o DART, 0,969³ = 0,910 e 0,954² = 0,910. Se a alternativa escolhida não fechar essa conta, ela está errada. E, nas questões conceituais, a frase completa é: o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior, para corpos que orbitam o mesmo centro — nem "proporcional à distância", nem "à massa", nem "para qualquer centro".

Resumo em cinco peças

1. 3ª lei de Kepler: T² ÷ a³ é constante para todos os corpos que orbitam o mesmo centro — T é o período, a é o semieixo maior.
2. Para o Sol, com T em anos e a em UA: T² = a³. A régua é a Terra (1 ano, 1 UA); só nesse par de unidades, só para esse centro.
3. Cem vezes mais longe, mil vezes mais tempo: T2 ÷ T1 = (a2 ÷ a1) elevado a 1,5. Dobrar a distância custa 2,8 vezes o período; quadruplicar, 8 vezes.
4. Órbita menor, período menor: o DART encolheu a órbita de Dimorphos em 3% e o período caiu 4,6% — de 11 h 55 min para 11 h 22 min, os trinta e dois minutos. A conta de Kepler mediu o sucesso da missão.
5. A constante depende do centro — uma para o Sol, outra para a Terra, outra para Didymos — e não da massa do que orbita. De onde ela vem é o capítulo 6.

Se for guardar uma frase só, guarde a do caso: Plutão e Mercúrio estão presos pela mesma conta, e a mesma conta devolveu os trinta e dois minutos que uma sonda tirou de um asteroide. Kepler mediu as três leis sem saber a causa. A causa começa com uma maçã caindo num pomar da Inglaterra e alguém perguntando se a mesma força que a puxou segura a Lua no céu. A conta fecha — por sessenta ao quadrado. É o capítulo 4.

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