Capítulo 4A maçã e a Lua caem pela mesma conta
A lei da gravitação universal
Uma maçã se solta do galho e cai — sempre para baixo, sempre reto. Em 1666 alguém perguntou se a mesma coisa que puxa a maçã puxa a Lua, sessenta vezes mais longe. Sessenta ao quadrado é três mil e seiscentos. A conta fechou — e, mais de um século depois, um homem pesou a Terra numa sala fechada.
Neste capítulo você vai
- Enunciar a lei da gravitação universal — F = G × M × m ÷ r², na reta dos centros, com a força caindo com o quadrado da distância — e ver que, no chão, ela devolve o peso: 1 N para uma maçã de 0,1 kg
- Fazer o teste da Lua: pela órbita, a Lua acelera para a Terra com 2,7 × 10−3 m/s²; pela lei, g ÷ 60² dá o mesmo — a Lua cai, e erra o chão
- Ver que a maçã puxa a Terra com a mesma força, que duas pessoas se atraem com um terço de milionésimo de newton e que Cavendish, medindo G numa balança de torção, pesou a Terra: 6 × 1024 kg
Assista ao episódio 4
Este capítulo acompanha o episódio 4 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: uma maçã, a Lua e sessenta ao quadrado
Uma maçã se solta do galho e cai. Sempre para baixo, sempre reto, sempre com a mesma aceleração — o livro da Mecânica I mediu essa queda com uma pena e um martelo: 10 m/s², número redondo, e 9,8 quando a conta pede o valor medido. Por volta de 1666, num pomar de Woolsthorpe, na Inglaterra, um jovem de vinte e poucos anos viu uma maçã cair e fez uma pergunta que ninguém tinha feito daquele jeito: e se a mesma coisa que puxa a maçã puxar a Lua? A história é dele mesmo — Newton a contou a um amigo, William Stukeley, em 1726, sessenta anos depois. E a maçã não caiu na cabeça dele: essa parte é lenda. O que existiu foi a pergunta, e a conta que veio atrás.
A conta é curta. A Lua está a 60 raios terrestres do centro da Terra. Se a força que puxa cai com o quadrado da distância, lá na Lua ela é 60 × 60 = 3 600 vezes mais fraca, por quilo, do que aqui no chão — e a Lua deve "cair" com 10 ÷ 3 600, quase 3 milésimos de metro por segundo ao quadrado (com o valor medido de g, 9,8, são 2,7 milésimos). Newton sabia a distância da Lua e o tempo que ela leva para dar a volta, 27,3 dias; disso sai, pela conta do movimento circular, quanto a Lua se desvia da linha reta a cada segundo. Deu 2,7 milésimos. A conta fechou por sessenta ao quadrado, e a força que segura a Lua no céu passou a ter o mesmo nome da força que derruba a maçã. Newton publicou tudo em 1687, no livro que os físicos chamam só de Principia.
Faltava uma coisa: o número. A lei diz que a força depende de uma constante, G, e Newton nunca a mediu. Mais de um século depois, em 1797 e 1798, Henry Cavendish pendurou duas bolinhas de chumbo num fio dentro de uma sala fechada, aproximou delas duas bolas grandes e mediu, pelo giro do fio, a atração entre os pedaços de chumbo. Com isso ele "pesou a Terra": achou a massa do planeta, 6 × 1024 kg, sem sair da sala. Este capítulo faz as duas contas — a de Newton e a de Cavendish — e a de um terceiro: quanto duas pessoas sentadas lado a lado se atraem.
A constante de Kepler tem dono
O capítulo 3 terminou com uma pergunta aberta: por que a constante da 3ª lei, T² ÷ a³, é uma para tudo que orbita o Sol, outra para tudo que orbita a Terra, outra para o que orbita Didymos? Kepler mediu que a constante muda com o centro, mas não sabia o que, no centro, a fixa. A resposta é a massa do corpo central: quanto mais massa no centro, menor a constante, e mais depressa se orbita a uma dada distância. Isso já diz o essencial da lei deste capítulo — a força que prende um corpo ao centro vem da massa do centro.
O passo de Newton foi juntar duas coisas que pareciam de mundos diferentes. No chão, corpos caem: a maçã, a pedra, a pena e o martelo no vácuo, todos com a mesma aceleração g — o livro da Mecânica I mostrou que g é uma aceleração, 10 m/s² no chão, e que o peso é m × g. No céu, a Lua dá voltas na Terra, e os planetas dão voltas no Sol, obedecendo às três regras de Kepler. Newton perguntou se o céu e o chão obedecem a uma regra só: se a Lua está, ela também, caindo — e se a força que a faz cair é a mesma que faz cair a maçã, só que mais fraca, por estar mais longe. A lei que responde a isso vale para a maçã, para a Lua, para os planetas e para duas pessoas numa sala: por isso se chama universal.
Atenção
Kepler mediu a forma; Newton explicou a causa
Não foi Newton quem descobriu que as órbitas são elipses, nem foi Kepler quem descobriu a gravidade. Kepler, com os dados de Tycho, mediu como os planetas se movem: elipse, áreas iguais, T² ÷ a³. Newton, oitenta anos depois, explicou por quê: uma força vinda do centro, que cai com o quadrado da distância, produz exatamente aquelas três regras. Uma lei de Kepler é uma descrição; a lei de Newton é a causa. Nas questões, os dois nomes aparecem trocados de propósito.
A lei da gravitação universal: F = G × M × m ÷ r²
A lei diz o seguinte: dois corpos quaisquer se atraem com uma força que aponta ao longo da reta que une os seus centros, é proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros. Em símbolos, com M e m as duas massas e r a distância entre os centros:
F = G × M × m ÷ r²
A constante G é a constante da gravitação universal: G = 6,67 × 10−11 N·m²/kg². É um número minúsculo, e é o mesmo em todo o universo — para a Terra, para o Sol, para Didymos e para duas pessoas. A força é um vetor: tem direção (a reta entre os centros) e sentido (cada corpo é puxado para o outro). E r é a distância entre os centros: para um corpo na superfície da Terra, r é o raio da Terra, 6,4 × 106 m, porque a Terra puxa como se toda a massa dela estivesse no centro — Newton provou isso para uma esfera, e o resultado é o que permite usar "a distância ao centro" em toda a série.
Definição
Lei da gravitação universal
- F = G × M × m ÷ r² — M e m são as duas massas; r é a distância entre os centros; G = 6,67 × 10−11 N·m²/kg² é a mesma para qualquer par de corpos.
- A força é atrativa e está na reta que une os centros; cada corpo puxa o outro com a mesma força (a 3ª lei de Newton).
- Direta no produto das massas: dobrou uma massa, dobrou a força. Inversa no quadrado da distância: dobrou r, a força caiu a um quarto.
- Para um corpo na superfície da Terra, r = raio da Terra: a lei devolve o peso, m × g, com g = G × M ÷ R².
Atenção
G não é g
São duas letras parecidas para duas coisas diferentes. G é uma constante universal, 6,67 × 10−11 N·m²/kg², a mesma em qualquer lugar e para qualquer corpo — Cavendish a mediu numa sala. g é uma aceleração, 10 m/s² no chão da Terra, e muda com o lugar: é menor no alto de uma montanha, menor na Lua, maior em Júpiter, porque g = G × M ÷ r² depende da massa do corpo central e da distância ao centro dele. G fixa a lei; g é o que a lei devolve num lugar específico. Trocar um pelo outro é o erro mais comum do capítulo.
Faça a conta para uma maçã de 0,1 kg no chão: F = 6,67 × 10−11 × 6,0 × 1024 × 0,1 ÷ (6,4 × 106)² = 4,0 × 1013 ÷ 4,1 × 1013 ≈ 1 N. É o peso da maçã, m × g = 0,1 × 10 = 1 N. A lei da gravitação não é uma força nova ao lado do peso: ela é o peso. Pela primeira vez o peso ganha uma fórmula que diz de onde ele vem — da massa da Terra e do raio da Terra — e não só quanto vale.
O quadrado da distância
A parte da lei que decide tudo no resto da série é o r² no denominador. A força não cai em proporção à distância: cai com o quadrado dela. Dobre a distância entre os centros, e a força cai a um quarto; triplique, e cai a um nono; multiplique por sessenta, e cai a um 3 600 avos. É por isso que a Lua, a 60 raios, sente por quilo uma força 3 600 vezes menor que a maçã — e não 60 vezes menor.
| distância entre os centros | força | a conta |
|---|---|---|
| r × 2 | F ÷ 4 | 2² = 4 |
| r × 3 | F ÷ 9 | 3² = 9 |
| r × 60 | F ÷ 3 600 | 60² = 3 600 |
Vale também no outro sentido: aproxime os centros à metade da distância, e a força fica quatro vezes maior. E as massas entram sem quadrado: dobrar uma massa dobra a força; dobrar as duas quadruplica. Nas questões, quase sempre as duas mudanças vêm juntas — "as massas dobram e a distância dobra" — e a força fica igual: 2 × 2 ÷ 2² = 1.
Dica ENEM
Dica ENEM: "a distância dobra e a força cai a um quarto"
É a pergunta mais frequente sobre a lei. A regra: a força se multiplica pelo produto dos fatores das massas e se divide pelo quadrado do fator da distância. Massas dobradas, distância dobrada: 2 × 2 ÷ 4 = 1, mesma força. Uma massa triplicada, distância triplicada: 3 ÷ 9 = 1 ÷ 3. Distância reduzida à metade: 1 ÷ (½)² = 4 vezes a força. O distrator "dobra a distância, força cai à metade" está sempre entre as alternativas.
Há uma segunda armadilha, mais escondida: a distância é medida do centro, não da superfície. Um satélite a 6 400 km de altura não está a "6 400 km" da Terra: está a 12 800 km do centro, duas vezes o raio — e a força sobre ele é um quarto da que teria no chão. A altitude só entra depois de somada ao raio da Terra. É a mesma regra do capítulo 3, e ela volta no capítulo 5, onde a lei vai dizer quanto uma balança marca no alto do Everest e a 400 km de altura.
O teste da Lua: a Lua cai
Agora a conta que Newton fez. A Lua descreve uma órbita quase circular de raio r = 3,84 × 108 m, e dá a volta em T = 27,3 dias = 2,36 × 106 s. Um corpo que dá voltas num círculo tem aceleração para o centro — o livro da Mecânica I chamou de centrípeta —, e ela vale v² ÷ r; com v = 2πr ÷ T, isso é a = 4π² × r ÷ T². Essa aceleração é medida só com a régua e o relógio: a distância da Lua e o período. Nenhuma força entrou ainda.
Substitua: a = 4π² × 3,84 × 108 ÷ (2,36 × 106)² = 39,5 × 3,84 × 108 ÷ 5,57 × 1012 = 1,52 × 1010 ÷ 5,57 × 1012 = 2,7 × 10−3 m/s². Agora a previsão da lei: a Lua está a d = 384 000 km do centro da Terra, e o raio da Terra é 6 400 km; d ÷ R = 60. Se a força cai com o quadrado, a aceleração lá é g ÷ 60² = g ÷ 3 600. Com o valor medido de g no chão, 9,8 m/s² (aqui a série usa o 9,8 uma vez, e não o 10 redondo, porque a comparação pede o número medido): 9,8 ÷ 3 600 = 2,7 × 10−3 m/s². Os dois caminhos — a órbita medida e a lei — dão o mesmo número. É a conta que fechou por sessenta ao quadrado.
Definição
O teste da Lua
- Pela órbita: a = 4π² × r ÷ T² = 39,5 × 3,84 × 108 ÷ (2,36 × 106)² = 2,7 × 10−3 m/s² (só régua e relógio).
- Pela lei: a Lua está a 60 raios, então a = g ÷ 60² = 9,8 ÷ 3 600 = 2,7 × 10−3 m/s².
- Os dois batem: a força que faz a maçã cair é a que faz a Lua cair — 3 600 vezes mais fraca por quilo, porque 60 vezes mais longe.
Atenção
A Lua cai — e erra o chão
"A Lua não cai porque está em órbita" é um dos erros clássicos, e o teste diz o contrário: a Lua cai o tempo todo, com 2,7 mm/s² de aceleração para a Terra. A cada segundo ela se afasta 1,4 mm da reta que seguiria se a Terra sumisse (½ × 2,7 mm/s² × 1 s²), e nesse mesmo segundo anda 1 km de lado, a 1 km/s; a curva da queda acompanha a curva da órbita, e ela nunca chega ao chão. É a mesma cena do livro da Mecânica I, em que o astronauta flutua porque está caindo junto com a estação — só que a 60 raios de distância. Não existe força "para fora" segurando a Lua: a única força nela é a da Terra, para dentro, e é ela que a faz curvar.
O teste também explica por que a Lua não vem ao chão: não é porque a força é fraca, é porque a Lua tem velocidade de lado. A força só curva o caminho. Com a mesma força e sem velocidade, a Lua cairia reto, como a maçã, e levaria menos de cinco dias para chegar. Com a velocidade que tem, ela cai e erra o chão para sempre, e o capítulo 6 vai dizer exatamente qual velocidade produz uma órbita circular a cada distância.
A maçã puxa a Terra — e duas pessoas se puxam
A fórmula F = G × M × m ÷ r² é simétrica: trocar M por m não muda nada. Isso é a 3ª lei de Newton, do livro da Mecânica I, escrita para a gravidade: a Terra puxa a maçã com 1 N, e a maçã puxa a Terra com 1 N — a mesma força, em corpos diferentes, na mesma reta, em sentidos opostos. A gravidade é uma conta de restaurante que os dois pagam meio a meio e da qual ninguém escapa. O que muda entre os dois é o efeito: a maçã, de 0,1 kg, ganha 1 ÷ 0,1 = 10 m/s²; a Terra, de 6,0 × 1024 kg, ganha 1 ÷ 6 × 1024 = 1,7 × 10−25 m/s² — a Terra "sobe" ao encontro da maçã, mas com uma aceleração que nenhum instrumento do mundo mede. Foi por isso que, durante dois mil anos, pareceu que a maçã cai e a Terra fica.
Atenção
"A maçã puxa a Terra com menos força" — não
O distrator diz que a Terra, por ser maior, puxa mais. A lei tem um produto M × m só, e o produto é o mesmo visto de qualquer um dos dois lados: as forças são iguais. O que é diferente é o que cada corpo faz com a mesma força — a = F ÷ m, e a Terra tem 6 × 1025 vezes a massa da maçã. Igual na força, desigual no efeito. A mesma coisa vale para a Terra e a Lua: a Terra puxa a Lua com 2 × 1020 N, e a Lua puxa a Terra com os mesmos 2 × 1020 N — é com essa força que a Lua levanta as marés do capítulo 9.
Se a lei vale para qualquer par de corpos, então duas pessoas também se atraem. Faça a conta: 70 kg cada uma, centros a 1 m: F = 6,67 × 10−11 × 70 × 70 ÷ 1² = 3,3 × 10−7 N — um terço de milionésimo de newton, dois bilhões de vezes menos que os 700 N do peso de uma delas. Ninguém sente, e nenhuma balança comum registra. Esse é o tamanho de G: a gravidade só vira uma força grande quando uma das massas é um planeta. É também o motivo pelo qual medir G foi tão difícil — e por que Cavendish precisou de uma sala fechada, um fio finíssimo e bolas de chumbo de 158 kg.
Cavendish pesa a Terra — e Newton explica Kepler
Em 1797 e 1798, Henry Cavendish montou, numa sala fechada para que nem o vento de uma porta o atrapalhasse, uma balança de torção: uma haste de madeira de quase dois metros pendurada por um fio, com uma bolinha de chumbo de 0,73 kg em cada ponta. Perto de cada bolinha ele trazia uma bola grande, também de chumbo, de 158 kg. A atração entre as bolas girava a haste um pouquinho, torcendo o fio; do ângulo de torção saía a força — da ordem de um décimo de milionésimo de newton. Cavendish observava pelo lado de fora, com uma luneta, para que nem o calor do próprio corpo mexesse no ar da sala.
Conhecida a força entre massas conhecidas a uma distância conhecida, a lei dá G. E com G, a Terra fica pesável sem sair da sala: no chão, g = G × M ÷ R², então M = g × R² ÷ G = 10 × (6,4 × 106)² ÷ 6,67 × 10−11 = 4,1 × 1014 ÷ 6,67 × 10−11 = 6,1 × 1024 kg (com o g medido, 9,8, dá 6,0 × 1024; o valor de hoje é 5,97 × 1024 kg). Cavendish, na verdade, escreveu o resultado de outro jeito, como se fazia na época: a densidade média da Terra, 5,45 vezes a da água — o que dá na mesma, porque densidade vezes volume é massa. Ele descobriu que a Terra, por dentro, é muito mais densa que as rochas da superfície: é o primeiro sinal do núcleo de ferro. Por isso se diz que Cavendish "pesou a Terra". O valor de G que sai do experimento dele, 6,74 × 10−11, difere do atual, 6,67 × 10−11, em 1%.
Definição
Pesar a Terra
- Na superfície, o peso é a lei: m × g = G × M × m ÷ R², logo g = G × M ÷ R² e M = g × R² ÷ G.
- Com g = 10 m/s², R = 6,4 × 106 m e G = 6,67 × 10−11: M = 6,1 × 1024 kg (medido: 5,97 × 1024; a diferença é o g arredondado).
- Cavendish mediu G numa balança de torção (bolas de chumbo de 158 kg e 0,73 kg, 1797–1798) e obteve a densidade da Terra, 5,45 vezes a da água — "pesou a Terra" sem sair da sala.
E Kepler? Com a lei em mãos, Newton explicou as três regras de uma vez, e cada uma cabe numa frase. A 1ª: uma força que aponta sempre para o mesmo centro e cai com o quadrado da distância produz órbitas que são elipses com o centro num foco — ou círculos, ou, para quem vai rápido demais, curvas que não fecham (a hipérbole da Voyager, no capítulo 10). A 2ª: como a força está sempre na reta que une os centros, ela não tem componente "de lado" para acelerar ou frear o giro, e o raio varre áreas iguais em tempos iguais. A 3ª: para uma órbita circular, a força da lei é a centrípeta, G × M × m ÷ r² = m × 4π² × r ÷ T², e daí T² ÷ r³ = 4π² ÷ (G × M) — a constante de Kepler, escrita por extenso, com a massa do centro no denominador. É a dedução do capítulo 6, em três linhas. O Sol, com 2,0 × 1030 kg, puxa a Terra com 3,6 × 1022 N; a Terra, com 6,0 × 1024 kg, puxa a Lua com 2,0 × 1020 N; a mesma lei, dois centros, duas constantes.
Dica ENEM
Dica ENEM: os cinco usos da lei
- Direto: F = G × M × m ÷ r², com r de centro a centro — para a maçã no chão, r é o raio da Terra.
- Proporção: dobrou a distância, a força caiu a um quarto; dobrou uma massa, a força dobrou.
- Par de forças: a Terra puxa a maçã e a maçã puxa a Terra com a mesma força.
- G × g: G é constante universal; g é aceleração e muda com o lugar: g = G × M ÷ r².
- Massa da Terra: M = g × R² ÷ G — o que Cavendish tornou possível ao medir G.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números e o resultado com a unidade. Neste capítulo as constantes são as da série: G = 6,67 × 10−11 N·m²/kg², massa da Terra 6,0 × 1024 kg, raio da Terra 6,4 × 106 m, g = 10 m/s² no chão (9,8 no teste da Lua), Lua a 3,84 × 108 m com massa 7,3 × 1022 kg e período de 27,3 dias.
Exemplo 1 — A lei devolve o peso da maçã
Uma maçã de 0,1 kg está no chão. Calcule a força com que a Terra a atrai pela lei da gravitação e compare com o peso m × g.
Fórmula. F = G × M × m ÷ R²
Substituição. F = 6,67 × 10−11 × 6,0 × 1024 × 0,1 ÷ (6,4 × 106)² = 4,0 × 1013 ÷ 4,1 × 1013
Resultado. F ≈ 0,98 N ≈ 1 N — o peso da maçã: m × g = 0,1 × 10 = 1 N
Conferência. o produto G × M vale 4,0 × 1014 (6,67 × 6,0 = 40), e (6,4 × 106)² = 4,1 × 1013; dividir 4,0 × 1014 por 4,1 × 1013 dá 9,8 — que é g = G × M ÷ R², o valor medido no chão. A lei não é uma força a mais: é o peso, com uma fórmula que diz de onde ele vem. O r usado foi o raio da Terra, de centro a centro, e não a altura da maçã.
Exemplo 2 — O teste da Lua
A Lua orbita a 3,84 × 108 m do centro da Terra, com período de 27,3 dias (2,36 × 106 s). Calcule a aceleração dela pela órbita e compare com a previsão da lei, g ÷ 60², usando g = 9,8 m/s².
Fórmula. a = 4π² × r ÷ T² ; previsão: a = g ÷ (d ÷ R)²
Substituição. a = 39,5 × 3,84 × 108 ÷ (2,36 × 106)² = 1,52 × 1010 ÷ 5,57 × 1012 ; previsão: 9,8 ÷ 60² = 9,8 ÷ 3 600
Resultado. a = 2,7 × 10−3 m/s² pela órbita ; 2,7 × 10−3 m/s² pela lei — iguais
Conferência. d ÷ R = 384 000 ÷ 6 400 = 60, e 60² = 3 600. A aceleração da órbita foi medida só com a distância e o período; a da lei, só com g e o quadrado da distância. As duas batem: a Lua cai com a mesma força que a maçã, 3 600 vezes mais fraca por quilo. Com g = 10 a razão sairia 3 700, e por isso a comparação usa o 9,8 medido — uma vez, declarada.
Exemplo 3 — Duas pessoas se atraem
Duas pessoas de 70 kg estão sentadas com os centros a 1 m um do outro. Qual é a força gravitacional entre elas?
Fórmula. F = G × M × m ÷ r²
Substituição. F = 6,67 × 10−11 × 70 × 70 ÷ 1² = 6,67 × 10−11 × 4 900
Resultado. F ≈ 3,3 × 10−7 N — um terço de milionésimo de newton
Conferência. o peso de cada pessoa é 700 N; 700 ÷ 3,3 × 10−7 = 2,1 × 109 — a atração entre as duas é dois bilhões de vezes menor que o peso de uma delas. É o tamanho de G: a gravidade só é grande quando uma das massas é um planeta. A força é a mesma nas duas pessoas, cada uma puxada para a outra.
Exemplo 4 — Cavendish pesa a Terra
Com G medido, a massa da Terra sai de g e do raio. Calcule M com g = 10 m/s², R = 6,4 × 106 m e G = 6,67 × 10−11 N·m²/kg².
Fórmula. g = G × M ÷ R², logo M = g × R² ÷ G
Substituição. M = 10 × (6,4 × 106)² ÷ 6,67 × 10−11 = 4,1 × 1014 ÷ 6,67 × 10−11
Resultado. M ≈ 6,1 × 1024 kg — um seis seguido de vinte e quatro zeros, em quilos; o valor medido hoje é 5,97 × 1024 kg
Conferência. com g = 9,8 sai 6,0 × 1024 kg — a diferença de 2% é o g arredondado. Cavendish publicou a densidade média da Terra, 5,45 vezes a da água (5 450 kg/m³); o volume de uma esfera de 6,4 × 106 m de raio é 4 ÷ 3 × π × R³ = 1,1 × 1021 m³, e 5 450 × 1,1 × 1021 = 6,0 × 1024 kg: a mesma Terra, pesada por dois caminhos.
Exemplo 5 — A força entre a Terra e a Lua
Calcule a força com que a Terra atrai a Lua (massa 7,3 × 1022 kg, a 3,84 × 108 m do centro da Terra) e, a partir dela, a aceleração da Lua.
Fórmula. F = G × M × m ÷ r² ; a = F ÷ m
Substituição. F = 4,0 × 1014 × 7,3 × 1022 ÷ (3,84 × 108)² = 2,9 × 1037 ÷ 1,47 × 1017 ; a = 2,0 × 1020 ÷ 7,3 × 1022
Resultado. F ≈ 2,0 × 1020 N ; a ≈ 2,7 × 10−3 m/s² — o mesmo valor do teste da Lua
Conferência. o produto G × M da Terra, 4,0 × 1014, dispensa multiplicar G pela massa toda vez. A aceleração saiu igual à do Exemplo 2 por um terceiro caminho, e a massa da Lua se cancelou: a = G × M ÷ r² não depende de quem cai — a Lua, uma pedra ou uma sonda na mesma distância caem com a mesma aceleração. E a Lua puxa a Terra com os mesmos 2,0 × 1020 N: é com essa força que ela levanta as marés.
Radar ENEM
A lei da gravitação aparece no ENEM de quatro formas. A proporção: "se a distância entre os centros dobrar, a força…" (cai a um quarto), às vezes com as massas mudando junto. A conceitual: o enunciado da lei, com distratores que trocam "quadrado" por "proporcional", "produto" por "soma" ou "centros" por "superfícies". A 3ª lei: "a força da Terra sobre o satélite é maior que a do satélite sobre a Terra" — não, são iguais. E a G × g: "G varia de planeta para planeta" — não, G é universal; g é que muda, e a questão às vezes pede a massa de um planeta a partir do g e do raio dele.
Veja a versão que mais aparece: dois corpos se atraem com força F; a distância entre eles é reduzida à metade e uma das massas dobra — a nova força é F × 2 ÷ (½)² = 8F. Outra versão dá o raio e o g de um planeta e pede a massa, M = g × R² ÷ G — com o R² no numerador. E a versão conceitual pede o que a lei afirma: força atrativa, na reta dos centros, proporcional ao produto das massas, inversa ao quadrado da distância entre os centros.
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- "Dobrou a distância, a força caiu à metade" — caiu a um quarto: o r está ao quadrado.
- "A Terra puxa a maçã com mais força do que a maçã puxa a Terra" — a mesma força; o que difere é a aceleração de cada uma.
- "G é a aceleração da gravidade" / "G muda de planeta para planeta" — G é a constante universal; g é a aceleração, e é g que muda: g = G × M ÷ r².
- "A Lua não cai porque está em órbita" — a Lua cai com 2,7 mm/s²; a velocidade de lado faz a queda errar o chão.
- "A distância é da superfície" — é de centro a centro: altitude mais raio.
- "A força é proporcional à soma das massas" — ao produto: dobrar uma massa dobra a força.
Uma conferência rápida resolve as questões de conta: a força nova é a força velha vezes o produto dos fatores das massas, dividida pelo quadrado do fator da distância. Se a alternativa escolhida não fechar essa conta, ela está errada. E, nas conceituais, a frase completa é: dois corpos se atraem com uma força na reta que une seus centros, proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros — nem "à distância", nem "à soma", nem "da superfície".
Resumo em cinco peças
- A lei: F = G × M × m ÷ r², na reta que une os centros, com r de centro a centro; G é a constante universal, a mesma para qualquer par de corpos. No chão, a lei devolve o peso: g = G × M ÷ R².
- Cai com o quadrado da distância: dobrou r, a força caiu a um quarto; a 60 raios, um 3 600 avos.
- A mesma força para a maçã e para a Lua: pela órbita, a Lua acelera com 2,7 mm/s²; pela lei, g ÷ 3 600 dá o mesmo. A Lua cai — e erra o chão.
- Ação e reação: a Terra puxa a maçã com 1 N e a maçã puxa a Terra com 1 N; iguais na força, desiguais no efeito. Duas pessoas a 1 m: um terço de milionésimo de newton.
- G foi medido em laboratório — a balança de torção de Cavendish, 1797–1798 — e com ele a Terra foi pesada: M = g × R² ÷ G, um seis seguido de vinte e quatro zeros, em quilos.
Se for guardar uma frase só, guarde a do título: a maçã e a Lua caem pela mesma conta. A lei tem uma consequência imediata, e é ela que vem a seguir: se g = G × M ÷ r², então g não é o mesmo em todo lugar. Uma balança marca um pouco menos no topo do Everest, quase o mesmo a quatrocentos quilômetros de altura — onde o astronauta flutua — e duas vezes e meia mais em Júpiter. A mesma lei, três lugares. É o capítulo 5.
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