Capítulo 5Onde a balança marca duas vezes e meia mais

A gravidade g com a altitude e em outros mundos

Uma balança de banheiro marca 70 no chão. No topo do Everest, marca 69,8 — e a pessoa não emagreceu um grama. A quatrocentos quilômetros de altura, onde o astronauta flutua, a gravidade ainda é quase noventa por cento desta. E em Júpiter a balança marcaria 175. A mesma lei, três lugares.

Neste capítulo você vai

Ver que g = G × M ÷ r² é a força por quilo em cada ponto — 9,8 m/s² no chão da Terra — e que ela cai com o quadrado da distância ao centro: g(h) = g0 × (R ÷ (R + h))², com a altura somada ao raio
Fazer as contas do Everest (0,28% a menos: a balança marca 69,8) e da estação a 400 km (88%) — e entender por que o astronauta flutua: porque cai, com a normal zero e o peso quase inteiro
Calcular g em outros mundos com a mesma fórmula — a Lua dá um sexto; Júpiter, duas vezes e meia — e separar o que a balança mede (o peso) do que não muda de lugar (a massa)

Assista ao episódio 5

Este capítulo acompanha o episódio 5 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.

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O caso: uma balança em três lugares

Uma balança de banheiro, dessas de ponteiro, sobre um chão de pedra. Uma pessoa sobe, e o ponteiro para em 70. Agora leve a mesma balança e a mesma pessoa ao topo do Everest, 8 849 m acima do nível do mar, a maior altura que se pode alcançar a pé: o ponteiro para em 69,8 — duzentos gramas a menos, e a pessoa não emagreceu um grama. Leve as duas a 400 km de altura, onde a Estação Espacial Internacional dá uma volta na Terra a cada 93 minutos: lá a gravidade ainda vale 88% da do chão — quase noventa por cento, como o livro da Mecânica I já tinha dito ao explicar por que o astronauta flutua. E leve as duas a Júpiter, o maior planeta do Sistema Solar: o ponteiro pararia perto de 175, duas vezes e meia o valor do chão da Terra, e a pessoa continuaria com os mesmos 70 kg de sempre.

Uma balança de ponteiro em três cartões, lado a lado: no chão, 70; no topo do Everest, 69,8; em Júpiter, 175. Acima de cada balança, uma seta azul para baixo, do tamanho proporcional à gravidade do lugar: 9,8; 9,77; 24,8 m/s². Um quarto cartão, menor, diz: a 400 km de altura, g igual a 8,7 m/s², 88% do chão — e a balança marcaria zero, porque cai junto. Um cartão diz: a mesma pessoa, a mesma balança, a mesma lei — g igual a G M sobre r ao quadrado. — **Figura 5.1** — A mesma pessoa e a mesma balança em três lugares: no chão, 70; no Everest, 69,8; em Júpiter, cerca de 175. As setas são a gravidade de cada lugar, desenhadas na mesma escala. A 400 km, g ainda é 88% do chão — e a balança marcaria zero, mas por outro motivo, que a seção da estação explica.

O capítulo 4 terminou com a lei da gravitação universal e com uma consequência escrita em uma linha: se o peso é a lei, então g = G × M ÷ r², e g não é o mesmo em todo lugar. Sobe, e g cai, porque r cresce; muda de planeta, e g muda, porque M e R são outros. Este capítulo faz as três contas do caso — o Everest, a estação e Júpiter — com uma fórmula só, e responde a duas perguntas que se atropelam no caminho: se a 400 km a gravidade é quase a mesma do chão, por que o astronauta flutua? E se a balança marca 175 em Júpiter, o que exatamente mudou — a pessoa ou o lugar?

g é a força por quilo: g = G × M ÷ r²

A lei do capítulo 4 diz que a Terra puxa um corpo de massa m com F = G × M × m ÷ r². Divida os dois lados por m e sobra uma coisa que não depende do corpo: G × M ÷ r². É a força por quilo que a Terra exerce num ponto a uma distância r do centro dela — e é isso que a letra g significa. Um corpo de 1 kg sente g newtons; um de 70 kg, 70 × g. Como força por quilo tem a mesma unidade de aceleração (N/kg = m/s²), g é também a aceleração com que qualquer corpo cai naquele ponto, se nada mais o segurar: a pena e o martelo do livro da Mecânica I caem juntos porque a força por quilo é a mesma para os dois.

A Terra ao centro, como um disco, e em volta dela seis setas azuis apontando para o centro, todas do mesmo tamanho, a uma mesma distância da superfície; mais longe, num anel externo, quatro setas menores, também para o centro. Uma cota do centro até uma das setas de perto diz r; até uma das de longe, 2r, com o rótulo g sobre 4. Um cartão diz: g é a força por quilo em cada ponto: aponta para o centro, vale G M sobre r ao quadrado, e não depende do corpo que está lá. — **Figura 5.2** — O campo g em volta da Terra. Em cada ponto, uma seta para o centro; a seta encolhe com o quadrado da distância ao centro: a 2r, um quarto. No chão da Terra, g = 4,0 × 10¹⁴ ÷ (6,4 × 10⁶)² = 9,8 m/s².

Faça a conta no chão. O produto G × M da Terra, com os números da série, é 6,67 × 10⁻¹¹ × 6,0 × 10²⁴ = 4,0 × 10¹⁴ m³/s² — o capítulo 4 já o usou, e ele vai servir em todas as contas de órbita da série. O raio da Terra é 6,4 × 10⁶ m, e o quadrado dele, 4,1 × 10¹³ m². Então g = 4,0 × 10¹⁴ ÷ 4,1 × 10¹³ = 9,8 m/s². É o valor medido no chão, e é dele que sai o 10 que esta coleção usa desde o primeiro livro: um arredondamento de 2%, feito para as contas caberem na cabeça. A partir daqui, "g = 10" quer dizer "o valor no chão da Terra, arredondado" — porque g deixou de ser uma constante e virou uma função do lugar.

Definição

O campo g

g = G × M ÷ r² é a força gravitacional por quilo num ponto a uma distância r do centro do corpo de massa M. Unidade: N/kg, que é o mesmo que m/s².
É um vetor: aponta para o centro do corpo que atrai. Não depende do corpo que está no ponto — uma pena, um martelo e uma estação sentem o mesmo g.
No chão da Terra: g = 4,0 × 10¹⁴ ÷ (6,4 × 10⁶)² = 9,8 m/s², arredondado para 10 nas contas da coleção.
O peso de um corpo é P = m × g, com o g do lugar onde ele está.

A fórmula tem duas alavancas, e o capítulo puxa uma de cada vez. A primeira é o r: para a mesma Terra, subir aumenta a distância ao centro e g cai — é o caso do Everest e da estação. A segunda é o par M e R: em outro mundo, a massa e o raio são outros, e g sai diferente no chão de lá — é o caso de Júpiter e da Lua. Nos dois casos a fórmula é a mesma; o que muda é o que se põe nela.

Sobe, cai com o quadrado: g(h) = g0 × (R ÷ (R + h))²

Um corpo a uma altura h acima do chão está a r = R + h do centro da Terra, e não a h. Isso é a armadilha número um do capítulo, herdada do capítulo 4: a distância da lei é sempre do centro. Substituindo na fórmula, g(h) = G × M ÷ (R + h)². E como no chão g0 = G × M ÷ R², dividir uma pela outra cancela o G × M e deixa só uma fração de distâncias:

g(h) = g0 × (R ÷ (R + h))²

Aqui g0 é o valor no chão. A fração R ÷ (R + h) é sempre menor que 1, e está ao quadrado: quem sobe perde gravidade com o quadrado da distância ao centro. É o arco que o capítulo 4 plantou — o r² no denominador — colhido pela primeira vez.

Um gráfico com a altura h no eixo horizontal, de 0 a 13 000 km, e g no eixo vertical, de 0 a 10 m/s². Uma curva azul desce do valor 9,8 em h igual a zero, cada vez mais devagar, passando por pontos marcados: o Everest, quase colado ao eixo, 9,77; a estação, a 400 km, 8,7; a altura de 2 650 km, onde g é a metade, 4,9; a altura de 6 400 km, um raio, onde g é um quarto, 2,45; e 12 800 km, dois raios, um nono, 1,1. Um cartão diz: g de h igual a g zero vezes R sobre R mais h, ao quadrado; a altura entra somada ao raio. — **Figura 5.3** — A gravidade com a altura, calculada com g(h) = g0 × (R ÷ (R + h))² e R = 6 400 km. O Everest quase não sai do chão da curva; a estação, a 400 km, perde 12%; é preciso subir 2 650 km para g cair à metade, e um raio inteiro, 6 400 km, para cair a um quarto.

A tabela põe os números na mesma linha. Com R = 6 400 km:

altura h	R ÷ (R + h)	g ÷ g0
8,85 km (Everest)	0,9986	0,9972 (−0,28%)
400 km (estação)	0,941	0,886 (88%)
2 650 km (0,41 R)	0,707	0,50 (metade)
6 400 km (1 R)	0,50	0,25 (um quarto)
12 800 km (2 R)	0,333	0,11 (um nono)

Duas coisas saltam da tabela. A primeira: a Terra é grande, e as alturas humanas são pequenas diante dela — nem a estação, a 400 km, sai da faixa dos 88%. A segunda: os números redondos aparecem quando h é um múltiplo do raio. Uma altura igual ao raio (r = 2R) dá um quarto; duas vezes o raio (r = 3R) dá um nono; a Lua, a 60 raios do centro, tem o 1 ÷ 3 600 do capítulo 4. E a metade não vem numa altura redonda: g cai à metade quando (R + h)² = 2R², ou seja, R + h = 1,41 R, h = 0,41 R ≈ 2 650 km.

Dica ENEM

Dica ENEM: "a que altura g cai à metade?"

É a versão preferida da prova. A conta: g ÷ g0 = (R ÷ (R + h))² = ½ pede R + h = √2 × R = 1,41 R, logo h = 0,41 R — uns 2 650 km para a Terra. O distrator é h = R ("subir um raio") — mas a um raio de altura r = 2R e g é um quarto, não a metade. Regra rápida: g cai a 1 ÷ n² quando r = n × R, e a altura é h = (n − 1) × R. Metade não é potência inteira de nada; por isso aparece o 0,41.

Atenção

A altura entra somada ao raio

"A 6 400 km de altura g cai à metade" é o erro mais repetido do capítulo. A 6 400 km de altura o corpo está a 12 800 km do centro — dois raios —, e g cai a um quarto. Antes de qualquer conta com altitude, some o raio da Terra: r = R + h. O Everest está a 6 408,85 km do centro, a estação a 6 800 km, e é com esses números que a fração é feita.

O Everest: três décimos por cento

O cume do Everest está a 8 848,86 m acima do nível do mar, pela medição mais recente, de 2020. Para a fórmula, h = 8,85 km e r = 6 408,85 km. A fração é R ÷ (R + h) = 6 400 ÷ 6 408,85 = 0,99862, e ao quadrado, 0,99724: g cai 0,28% — menos de três décimos por cento. A montanha mais alta do planeta é, para a gravidade, quase nada: 8,85 km diante de 6 400 km de raio é uma pele de tinta sobre uma bola de futebol.

O perfil de uma montanha em azul-escuro sobre uma linha horizontal, o nível do mar, com a cota da altura à esquerda: 8 849 m. Bem abaixo, um arco largo é a superfície da Terra, e uma cota vai do arco até um ponto marcado como o centro, fora da figura: 6 400 km, fora de escala. No cume, uma balança pequena com o número 69,8; ao pé da montanha, outra, com 70. Um cartão diz: 6 400 sobre 6 408,85, ao quadrado, igual a 0,9972 — g cai 0,28%; a balança marca 200 gramas a menos e a massa não mudou. — **Figura 5.4** — O Everest visto pela fórmula: 8,85 km acima de um raio de 6 400 km. A fração ao quadrado dá 0,9972, e a balança de mola do cume marca 0,28% a menos que a do sopé: 69,8 em vez de 70. A montanha está exagerada; o raio da Terra não cabe na página.

O que a balança faz com isso? Uma balança de banheiro comum é uma balança de mola: ela mede a força com que precisa empurrar você para cima para segurá-lo parado, e o mostrador foi calibrado para escrever essa força dividida pelo g do chão. No sopé, a força é 70 × 9,8 = 686 N, e o ponteiro para em 70. No cume, a força é 0,9972 vezes menor: 684 N, e o ponteiro para em 70 × 0,9972 = 69,8. Duzentos gramas a menos no mostrador — e nenhum grama a menos na pessoa. A conta deste capítulo isola só o efeito da altura; a rotação da Terra e a massa da própria montanha mexem na terceira casa decimal e ficam fora dela, como a série faz em toda conta declarada.

Definição

O que a balança de mola mede

A balança de mola mede a força normal: quanto ela empurra você para cima. Parado sobre ela, a normal iguala o peso, P = m × g, e o mostrador escreve P ÷ g0 — o número que, no chão, coincide com a massa.
Em outro lugar, o mostrador escreve m × g ÷ g0 = m × (g ÷ g0): no Everest, 70 × 0,9972 = 69,8; em Júpiter, 70 × 2,5 ≈ 175.
A massa não muda de lugar: são os mesmos 70 kg no sopé, no cume, em Júpiter e na estação. O que muda é o peso — e a normal que a balança sente.

A estação: 88% — e o astronauta flutua porque cai

A Estação Espacial Internacional orbita entre 413 e 422 km de altura — a série arredonda para 400 km. Com h = 400 km, r = 6 800 km, e a fração é 6 400 ÷ 6 800 = 0,941; ao quadrado, 0,886. A gravidade lá é 88,6% da do chão, ou 10 × 0,886 = 8,9 m/s² com o g redondo, 9,8 × 0,886 = 8,7 m/s² com o medido — o mesmo 8,7 que o livro da Mecânica I usou para calcular a velocidade da estação, 7,7 km/s, e o período dela, 92 minutos. Com os números exatos da órbita, 88,5%; a Mecânica I disse "cerca de 90%", e é isso: quase noventa por cento. A 400 km de altura não existe "espaço sem gravidade": a Terra puxa quase tanto quanto no chão.

A Terra desenhada como um disco grande, de raio 6 400 km na escala da figura, e a órbita da estação como um arco fino colado à superfície, a 400 km — 6% do raio, na mesma escala. A estação, em esquema, sobre o arco, com uma seta azul para o centro da Terra: 8,7 m/s². Uma cota do centro à órbita diz 6 800 km. Um cartão diz: em escala: 400 km é 6% do raio; g na órbita é 88% do chão; a estação cai o tempo todo, e a velocidade de lado faz a queda errar o chão. — **Figura 5.5** — A estação em escala, sem exagero: a órbita, a 400 km, fica a 6% do raio da Terra, colada à superfície. A gravidade lá é 88% da do chão. A estação — e quem está dentro dela — cai o tempo todo; o que a impede de chegar ao chão é a velocidade de lado, o assunto do capítulo 6.

Então por que o astronauta flutua? A resposta é a do livro da Mecânica I, e ela não mudou: porque está caindo. A estação inteira cai, o tempo todo, em direção ao centro da Terra, com os 8,7 m/s² que a fórmula acabou de dar — e ao mesmo tempo anda de lado tão depressa que a curva da queda acompanha a curva do planeta, e ela nunca chega ao chão. O astronauta cai junto, com a mesma aceleração, porque g é a força por quilo e não depende de quem cai. Como os dois caem igual, o piso da estação nunca precisa empurrá-lo: a normal é zero. E uma balança de mola, que mede a normal, marcaria zero — não porque g sumiu, mas porque não há nada segurando a balança contra o astronauta. Massa de sempre, peso de quase sempre (88%), normal nenhuma: isso é flutuar.

Atenção

"No espaço não há gravidade" — não

A 400 km de altura g é 88% do valor do chão; a 6 400 km, ainda é um quarto; a 60 raios, na Lua, é 1 ÷ 3 600 — a gravidade nunca acaba, só encolhe com o quadrado da distância. O astronauta flutua porque ele e a estação estão em queda livre juntos: a normal é zero, e é a normal que a gente sente como "peso" no dia a dia. O nome certo da cena é queda livre, não "gravidade zero". Se a estação parasse de andar de lado, ela cairia como uma pedra — a partir de 8,7 m/s².

Há uma outra armadilha, visual. Quase todo desenho da estação a mostra longe da Terra, como se estivesse a meio caminho da Lua. Não está: 400 km é 6% do raio da Terra — numa Terra do tamanho de uma bola de futebol, com 22 cm de diâmetro, a órbita da estação passaria a 7 mm da superfície. A figura desta seção é feita em escala de propósito, e toda órbita desenhada nesta série declara a escala: quando o desenho exagera, o texto diz que exagera. É a distância minúscula que explica os 88%: a estação está, para a gravidade, praticamente no chão.

Outros mundos: a mesma fórmula, outro M e outro R

A segunda alavanca da fórmula é o par M e R. No chão de qualquer mundo, g = G × M ÷ R², com a massa e o raio daquele mundo. Tome Júpiter: massa 1,9 × 10²⁷ kg (mais de trezentas vezes a da Terra), raio 7,15 × 10⁷ m (onze vezes o da Terra). O numerador, G × M, dá 6,67 × 10⁻¹¹ × 1,9 × 10²⁷ = 1,27 × 10¹⁷; o denominador, (7,15 × 10⁷)² = 5,1 × 10¹⁵; a divisão dá 24,8 m/s². Dividido pelos 9,8 da Terra: 2,5 vezes — o "duas vezes e meia" do título. A pessoa de 70 kg pesaria 70 × 24,8 = 1 700 N, e a balança de mola calibrada na Terra escreveria 70 × 2,5 ≈ 175. (Júpiter não tem chão sólido; a conta é no nível das nuvens, que é o "raio" do planeta nas tabelas — e é o número que as tabelas chamam de gravidade de Júpiter.)

Três setas azuis para baixo, lado a lado, na mesma escala, cada uma sobre o nome de um mundo e o valor de g: a Lua, uma seta curta, 1,6 m/s², um sexto; a Terra, uma seta média, 9,8; Júpiter, uma seta duas vezes e meia maior que a da Terra, 24,8. Sob cada seta, dois cartões pequenos com a massa e o raio em relação à Terra: Lua, M igual a 1 sobre 81 e R igual a 0,27; Terra, 1 e 1; Júpiter, M igual a 318 e R igual a 11. Um cartão diz: mesma fórmula, g igual a G M sobre R ao quadrado; a massa manda no numerador, o raio, ao quadrado, no denominador. — **Figura 5.6** — Três mundos, uma fórmula. As setas estão na mesma escala: a da Lua é um sexto da Terra; a de Júpiter, duas vezes e meia. Júpiter tem 318 vezes a massa da Terra, mas o raio 11 vezes maior, ao quadrado, come quase tudo: sobra 2,5.

A Lua é o caso que mais engana. A massa dela é 1 ÷ 81 da massa da Terra, e mesmo assim a gravidade lá não é 1 ÷ 81: é um sexto. O que salva a Lua é o raio: 1,74 × 10⁶ m, 0,27 do raio da Terra, e o raio entra ao quadrado no denominador. A conta em frações: g_Lua ÷ g_Terra = (1 ÷ 81) ÷ 0,27² = (1 ÷ 81) ÷ 0,073 = 0,17 ≈ 1 ÷ 6. E a conta direta, com os números: g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 7,3 × 10²² ÷ (1,74 × 10⁶)² = 4,9 × 10¹² ÷ 3,0 × 10¹² = 1,6 m/s². Um sexto de 9,8 é 1,63; bateu. Marte, com 3,72 m/s², tem 38% da gravidade da Terra: uma pessoa de 70 kg pesa lá o que uma criança de 27 kg pesa aqui.

Atenção

"A gravidade da Lua é 1/6 porque a massa é 1/6" — não

A massa da Lua é 1 ÷ 81 da massa da Terra, não 1 ÷ 6. A gravidade sai um sexto porque a fórmula tem duas entradas, e a segunda, o raio, entra ao quadrado: (1 ÷ 81) ÷ 0,27² ≈ 1 ÷ 6. É o mesmo mecanismo que faz Júpiter, com 318 vezes a massa da Terra, ter só 2,5 vezes a gravidade: o raio, 11 vezes maior, entra como 11² = 121 no denominador, e 318 ÷ 121 = 2,6. Nas questões, "dobro da massa e dobro do raio" dá metade de g: 2 ÷ 2² = ½. A massa manda no numerador; o raio, ao quadrado, no denominador.

Dica ENEM

Dica ENEM: g de um planeta a partir de M e R

A pergunta vem em proporção: "um planeta tem o dobro da massa da Terra e o dobro do raio; a gravidade na superfície dele é…". A regra: g se multiplica pelo fator da massa e se divide pelo quadrado do fator do raio. Dobro da massa, dobro do raio: 2 ÷ 4 = metade. Mesma massa, metade do raio: 1 ÷ (½)² = quatro vezes. Triplo da massa, raio igual: três vezes. E "peso em outro planeta" é só m × g com o g de lá: 70 kg em Marte, 70 × 3,7 = 260 N; na Lua, 70 × 1,6 = 112 N; em Júpiter, 70 × 24,8 = 1 700 N. A massa é 70 kg em todos.

A balança mede peso; a massa não muda de lugar

O capítulo termina onde o caso começou: na balança. Há dois tipos, e eles respondem de jeitos diferentes a uma viagem. A balança de mola (a de banheiro, a de gancho do açougue, a de plataforma da farmácia) mede uma força — a normal que ela faz para segurar o que está sobre ela — e o mostrador traduz essa força em quilos dividindo pelo g da Terra. Ela marca 70 no chão, 69,8 no Everest, cerca de 175 em Júpiter, uns 12 na Lua e zero na estação — e em nenhum desses lugares a pessoa deixou de ter 70 kg. A balança de pratos compara a massa de um lado com massas conhecidas do outro: os dois pratos são puxados pelo mesmo g, o g cancela, e ela marca 70 em qualquer lugar que tenha gravidade — no Everest, na Lua, em Júpiter. Só na estação ela não funciona: os dois pratos caem juntos, e nada pende.

Duas balanças lado a lado, numa linha que passa por quatro lugares: Terra, Lua, Júpiter, estação. Em cima, a balança de mola, com o mostrador em cada lugar: 70, 12, 175, 0. Embaixo, a balança de pratos, com dois pratos equilibrados e o mesmo 70 nos três primeiros lugares; na estação, os pratos flutuando, sem leitura. Um cartão diz: a de mola mede a normal, que muda com g; a de pratos compara massas, e a massa é a mesma em todo lugar. — **Figura 5.7** — Duas balanças em viagem. A de mola mede uma força e muda com o lugar: 70, 12, 175, 0. A de pratos compara massas e marca 70 onde houver gravidade — e não marca nada na estação, porque os dois pratos caem juntos. Os 70 kg não mudaram em nenhum dos quatro.

O livro da Mecânica I separou massa de peso no capítulo 10, e este capítulo é a prova de campo: a massa é a quantidade de matéria, medida em quilos, e é a mesma em todo lugar; o peso é a força com que o lugar puxa essa massa, P = m × g, e muda com g. A frase "em Júpiter você pesaria 175 kg" mistura as duas: em Júpiter uma pessoa de 70 kg pesa 1 700 N, e a balança de mola, calibrada para a Terra, escreveria 175 no mostrador. Os 70 kg continuam sendo 70 kg — para acelerar a pessoa, para parar a pessoa, para o tanto de comida que ela precisa. A balança de mola é um medidor de força com o mostrador escrito em quilos, e a confusão de todo dia vem daí.

Dica ENEM

Dica ENEM: peso, massa e a balança

Massa (kg) não muda de lugar; peso (N) é m × g e muda com o g do lugar.
A balança de mola mede a normal; parado sobre ela, normal = peso, e o mostrador escreve peso ÷ g0. Em outro mundo, marca m × (g ÷ g0). Em queda livre, marca zero — com g bem diferente de zero.
A balança de pratos compara massas: marca o mesmo em qualquer lugar com gravidade.
Enunciado clássico: "um astronauta de 70 kg na Lua" — a massa é 70 kg; o peso lá é 70 × 1,6 = 112 N; na Terra era 700 N. A alternativa que diz "a massa dele na Lua é 12 kg" está errada.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números e o resultado com a unidade. Neste capítulo as constantes são as da série: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², massa da Terra 6,0 × 10²⁴ kg, raio da Terra 6,4 × 10⁶ m (6 400 km), G × M da Terra = 4,0 × 10¹⁴ m³/s², g0 = 9,8 m/s² no chão (10 arredondado); Lua com massa 7,3 × 10²² kg e raio 1,74 × 10⁶ m; Júpiter com massa 1,9 × 10²⁷ kg e raio 7,15 × 10⁷ m.

Cinco cartões pequenos, um por exemplo, cada um com um lugar e o g dele: o chão da Terra, 9,8 m/s²; a estação a 400 km, 8,7; o cume do Everest, 0,9972 do chão e a balança em 69,8; Júpiter, 24,8, duas vezes e meia; a Lua, 1,6, um sexto. Um aviso: a mesma fórmula nos cinco. — **Figura 5.8** — Os números dos cinco exemplos: g no chão, na estação, no Everest, em Júpiter e na Lua. A mesma fórmula nos cinco; o que muda é r, ou M e R.

Exemplo 1 — g no chão da Terra

Calcule g na superfície da Terra a partir de G, da massa e do raio do planeta, e compare com o 10 m/s² que a coleção usa.

Fórmula. g = G × M ÷ R²

Substituição. g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 6,0 × 10²⁴ ÷ (6,4 × 10⁶)² = 4,0 × 10¹⁴ ÷ 4,1 × 10¹³

Resultado. g ≈ 9,8 m/s² — o valor medido; o 10 das contas é este número arredondado

Conferência. o produto G × M vale 4,0 × 10¹⁴ m³/s² (6,67 × 6,0 = 40), e (6,4 × 10⁶)² = 4,1 × 10¹³ m²; a divisão dá 9,77, que se escreve 9,8. A diferença para o 10 é de 2% — o arredondamento que a coleção declarou desde o primeiro livro e que, nas contas de comparação entre lugares, cancela: a fração (R ÷ (R + h))² não sabe se g0 é 9,8 ou 10.

Exemplo 2 — A estação a 400 km

A Estação Espacial Internacional orbita a cerca de 400 km de altura. Calcule g nessa altura e a fração do valor do chão.

Fórmula. g(h) = g0 × (R ÷ (R + h))²

Substituição. g = 9,8 × (6 400 ÷ 6 800)² = 9,8 × (0,941)² = 9,8 × 0,886

Resultado. g ≈ 8,7 m/s² — 88% do valor do chão: quase noventa por cento

Conferência. com g0 = 10 sai 8,9 m/s², a mesma fração de 0,886. A altura foi somada ao raio: 6 400 + 400 = 6 800 km do centro. Com os números exatos da órbita, a fração é 0,885; o livro da Mecânica I disse "cerca de 90%" e usou o mesmo 8,7 m/s² para achar os 7,7 km/s da estação. Um astronauta de 80 kg pesa lá 80 × 8,7 = 696 N, quase os 700 N do chão — e flutua porque cai junto com a estação, não porque o peso sumiu.

Exemplo 3 — O Everest e a balança de mola

Uma pessoa de 70 kg sobe numa balança de mola no cume do Everest, a 8,85 km de altura. Que fração de g0 há lá em cima, e o que a balança marca?

Fórmula. g ÷ g0 = (R ÷ (R + h))² ; leitura da balança = m × (g ÷ g0)

Substituição. g ÷ g0 = (6 400 ÷ 6 408,85)² = (0,99862)² ; leitura = 70 × 0,9972

Resultado. g ÷ g0 = 0,9972 — g cai 0,28% ; a balança marca 69,8, duzentos gramas a menos

Conferência. a fração ao quadrado tira 0,28%, e 0,28% de 70 kg são 0,196 kg — os "duzentos gramas". Em newtons: no sopé a normal é 70 × 9,8 = 686 N; no cume, 686 × 0,9972 = 684 N; a balança escreve a normal dividida por 9,8, e por isso 69,8. A massa não mudou um grama — o que mudou foi o r da fórmula, de 6 400 para 6 408,85 km, e, com ele, o peso e a normal.

Exemplo 4 — Júpiter: duas vezes e meia

Júpiter tem massa 1,9 × 10²⁷ kg e raio 7,15 × 10⁷ m. Calcule g no "chão" de Júpiter (o nível das nuvens), compare com o da Terra e diga o que uma balança de mola calibrada na Terra marcaria para uma pessoa de 70 kg.

Fórmula. g = G × M ÷ R² ; leitura = m × (g ÷ g0)

Substituição. g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 1,9 × 10²⁷ ÷ (7,15 × 10⁷)² = 1,27 × 10¹⁷ ÷ 5,1 × 10¹⁵ ; razão = 24,8 ÷ 9,8

Resultado. g ≈ 24,8 m/s² — 2,5 vezes o da Terra ; a balança marcaria 70 × 2,5 ≈ 175

Conferência. Júpiter tem 318 vezes a massa da Terra, mas o raio 11 vezes maior entra ao quadrado, 121, e 318 ÷ 121 = 2,6 — o mesmo "duas vezes e meia" pelo caminho das proporções, com os fatores arredondados. O peso da pessoa lá seria 70 × 24,8 = 1 700 N, contra 700 N na Terra; a massa, 70 kg nos dois. O valor tabelado para Júpiter é 24,79 m/s², 2,53 vezes o da Terra: "duas vezes e meia".

Exemplo 5 — A Lua: um sexto, e não 1/81

A massa da Lua é 7,3 × 10²² kg (1 ÷ 81 da massa da Terra) e o raio é 1,74 × 10⁶ m (0,27 do raio da Terra). Calcule g na superfície da Lua pelos dois caminhos: pela fórmula e pelas proporções.

Fórmula. g = G × M ÷ R² ; g_Lua ÷ g_Terra = (M_Lua ÷ M_Terra) ÷ (R_Lua ÷ R_Terra)²

Substituição. g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 7,3 × 10²² ÷ (1,74 × 10⁶)² = 4,9 × 10¹² ÷ 3,0 × 10¹² ; razão = (1 ÷ 81) ÷ 0,27² = (1 ÷ 81) ÷ 0,073

Resultado. g ≈ 1,6 m/s² ; razão ≈ 0,17 ≈ 1 ÷ 6 — um sexto da Terra, com um oitenta e um avos da massa

Conferência. 9,8 ÷ 6 = 1,63, e a fórmula deu 1,61: bateu. A massa sozinha daria 1 ÷ 81; o raio, 0,27, ao quadrado no denominador, multiplica por 1 ÷ 0,073 = 13,7, e 13,7 ÷ 81 = 0,17. Uma pessoa de 70 kg pesa na Lua 70 × 1,6 = 112 N, e uma balança de mola calibrada na Terra escreveria 70 ÷ 6 ≈ 12; a balança de pratos escreveria 70. O valor tabelado é 1,62 m/s².

Radar ENEM

A gravidade com o lugar aparece no ENEM de quatro formas. A altitude: "a que altura g cai à metade" (h = 0,41 R), ou "a um raio de altura, g vale…" (um quarto) — sempre com o distrator que esquece de somar o raio. A proporção entre planetas: "dobro da massa e dobro do raio" (metade), "mesma massa e metade do raio" (quatro vezes), ou a massa de um planeta a partir do g e do raio, M = g × R² ÷ G. O peso em outro mundo: 70 kg na Lua pesam 112 N, e a massa continua 70 kg — a alternativa "a massa na Lua é 12 kg" está sempre lá. E a imponderabilidade: por que o astronauta flutua — a resposta que a prova quer é "queda livre", nunca "ausência de gravidade".

Uma Terra pequena com uma seta g no chão e outra, menor, a 400 km. Ao lado, um cartão correto: g igual a G M sobre r ao quadrado, r do centro; a 400 km, 88%; h igual a 0,41 R para a metade; dobro de M e dobro de R, metade; a massa não muda. Riscado com um X, o cartão errado: no espaço não há gravidade; a 6 400 km de altura g cai à metade; a massa na Lua é 12 kg; a Lua tem 1 sexto porque a massa é 1 sexto. Abaixo: a gravidade nunca acaba, só encolhe com o quadrado da distância ao centro. — **Figura 5.9** — Os quatro distratores favoritos: 'no espaço não há gravidade' (a 400 km é 88%), 'a 6 400 km g cai à metade' (cai a um quarto: r = 2R), 'a massa na Lua é 12 kg' (é 70 kg; o que muda é o peso) e 'um sexto porque a massa é um sexto' (a massa é 1/81; o raio ao quadrado faz o resto).

Veja a versão que mais aparece: "um satélite está a uma altura igual ao raio da Terra; a aceleração da gravidade nessa altura é…" — r = 2R, g ÷ 4, uns 2,5 m/s². Outra versão dá o planeta em proporção: "massa três vezes a da Terra e raio igual" — g três vezes maior, 30 m/s². E a versão conceitual pede a frase certa sobre a estação: os astronautas flutuam porque estão em queda livre junto com a estação, sob uma gravidade que é quase 90% da do chão.

Dica ENEM

Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas

"No espaço não há gravidade" / "na estação g é zero" — a 400 km, g = 8,7 m/s², 88% do chão; o que é zero é a normal, porque tudo cai junto.
"A 6 400 km de altura g cai à metade" — a um raio de altura r = 2R, e g cai a um quarto; a metade é a 0,41 R.
"A altura h substitui o r" — r = R + h, do centro; a altura entra somada ao raio.
"A massa na Lua é um sexto" — a massa é a mesma; o peso é um sexto. A balança de mola marca 12; a de pratos, 70.
"g da Lua é 1/6 porque a massa é 1/6" — a massa é 1/81; o raio, 0,27, ao quadrado no denominador, leva a 1/6.
"Dobro da massa, dobro do raio, dobro de g" — 2 ÷ 2² = metade.

Uma conferência rápida resolve as questões de conta: g se multiplica pelo fator da massa e se divide pelo quadrado do fator da distância ao centro — e a distância é R + h, nunca h sozinho. Se a alternativa escolhida não fechar essa conta, ela está errada. E, nas conceituais, a frase completa é: g = G × M ÷ r² é a força por quilo num ponto, aponta para o centro, não depende do corpo que está lá e nunca chega a zero; o astronauta flutua porque cai.

Resumo em cinco peças

Cinco peças: g igual a G M sobre r ao quadrado, força por quilo, aponta para o centro; sobe, cai com o quadrado, g de h igual a g zero vezes R sobre R mais h ao quadrado; a 400 km, 88%, o astronauta flutua porque cai; outro mundo, mesma fórmula, outro M e R, Lua um sexto, Júpiter duas vezes e meia; a balança mede peso, e a massa não muda. — **Figura 5.10** — O capítulo em cinco peças.

g é a força por quilo: g = G × M ÷ r², aponta para o centro e não depende do corpo que está no ponto. No chão da Terra, 9,8 m/s² — o 10 da coleção é este número arredondado.
Sobe, cai com o quadrado: g(h) = g0 × (R ÷ (R + h))², com a altura somada ao raio. O Everest tira 0,28%; a metade só a 0,41 R, uns 2 650 km; um quarto a um raio de altura.
A 400 km, 88%: a gravidade na estação é quase a do chão. O astronauta flutua porque cai junto com ela — a normal é zero, o peso não.
Outro mundo, a mesma fórmula: com o M e o R de lá. A Lua tem 1 ÷ 81 da massa e 0,27 do raio: um sexto. Júpiter, 318 vezes a massa e 11 vezes o raio: duas vezes e meia.
A balança mede peso; a massa não muda: a de mola mede a normal e marca 70, 69,8, 175 e zero; a de pratos marca 70 onde houver gravidade. Os 70 kg são os mesmos em todo lugar.

Se for guardar uma frase só, guarde a do título: onde a balança marca duas vezes e meia mais, o que mudou foi o lugar, não a pessoa. E o capítulo deixou uma frase pela metade: a estação cai o tempo todo e anda de lado depressa o bastante para errar o chão. Quanto é "depressa o bastante"? Em 4 de outubro de 1957, uma esfera polida de oitenta e três quilos deu a volta na Terra em noventa e seis minutos, bipando. Ela estava caindo o tempo todo — uns quatro metros a cada segundo — e errava o chão a cada volta. É o capítulo 6.

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