Capítulo 6A pedra que cai e erra o chão a cada volta

Órbita circular e velocidade orbital

Quatro de outubro de 1957. Uma esfera polida de 83,6 kg dá a volta na Terra em 96 minutos, bipando. Ela não está flutuando: está caindo, uns quatro metros a cada segundo — e a cada segundo o chão foge quatro metros. A pedra que Newton imaginou, 230 anos depois.

Neste capítulo você vai

Ver que sobre o satélite há uma força só, a gravitacional, e que ela é a resultante centrípeta: G × M × m ÷ r² = m × v² ÷ r — sem nada a equilibrar
Tirar daí a velocidade da órbita, v = √(G × M ÷ r), que não depende da massa do satélite e cai quando a órbita sobe: 7,6 km/s a 600 km, 1,0 km/s na Lua
Calcular o período, T = 2π × √(r³ ÷ (G × M)), e ver a terceira lei de Kepler sair de Newton — com a constante do centro, e a órbita que dura um dia

Assista ao episódio 6

Este capítulo acompanha o episódio 6 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.

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O caso: uma esfera polida que caía o tempo todo

Quatro de outubro de 1957, fim da tarde no horário universal. Uma esfera de metal polido, com 58 cm de diâmetro, 83,6 kg e quatro antenas compridas, entra em órbita da Terra — o primeiro satélite artificial da história, o Sputnik 1. Ele dava uma volta inteira no planeta a cada 96 minutos, entre 215 e 939 km de altura, a quase oito quilômetros por segundo, e transmitia um bipe que qualquer radioamador podia ouvir. O bipe durou 22 dias; a órbita, três meses. E em nenhum instante desses três meses a esfera "flutuou": ela caía, o tempo inteiro, uns quatro metros a cada segundo — e a cada segundo o chão, curvo, fugia quatro metros de baixo dela. Ela caía e errava o chão, volta após volta, 1 440 vezes.

A Terra desenhada como um disco, de raio 6 400 km na escala da figura, e a órbita do Sputnik como um círculo salmão colado à superfície, a 600 km — 9% do raio, na mesma escala. Sobre a órbita, a esfera com as quatro antenas; dela saem duas setas: a velocidade, salmão, tangente à órbita, 7,6 km/s; e a força gravitacional, azul, para o centro da Terra. Uma cota do centro à órbita diz 7 000 km. Um cartão diz: em escala, 600 km é 9% do raio; 4 de outubro de 1957; 83,6 kg; uma volta a cada 96 minutos; cai 4 m a cada segundo, e o chão foge 4 m. — **Figura 6.1** — O Sputnik em escala: a 600 km de altura, a órbita fica a 9% do raio da Terra, colada à superfície. Duas setas e nada mais — a velocidade, na tangente, e a força gravitacional, para o centro. É essa força que curva a queda; é essa velocidade que faz a queda errar o chão.

O capítulo 5 terminou com uma frase pela metade: a estação cai o tempo todo e anda de lado depressa o bastante para errar o chão — e quanto é "depressa o bastante"? Este capítulo responde com uma conta só. O satélite em órbita circular tem uma força sobre ele, a gravitacional do capítulo 4, e ela faz o papel que o livro da Mecânica I chamou de centrípeta. Dessa igualdade sai a velocidade da órbita, v = √(G × M ÷ r), que não depende da massa do satélite e diminui quando a órbita sobe; dela sai o período de cada volta; e do período sai, escrita com todas as letras, a terceira lei de Kepler — a constante do capítulo 3, que finalmente ganha nome. No caminho, a pedra que Newton imaginou em 1728 e a esfera de 1957 fazem exatamente a mesma coisa: caem quatro metros e erram o chão por quatro metros.

Uma força só: a gravitacional é a centrípeta

Antes de qualquer conta, o sistema e o centro: o sistema é o satélite, sozinho; o centro da órbita é a Terra, e a distância r é medida do centro dela, como em todo capítulo desta série. Agora o diagrama de corpo livre. Sobre um satélite em órbita, fora da atmosfera, não há chão, não há parede, não há cabo, não há motor ligado. Há uma força, e uma só: a gravitacional, F = G × M × m ÷ r², apontando para o centro da Terra. O diagrama tem uma seta.

A Terra ao centro, um satélite pequeno sobre uma órbita tracejada, e sobre ele uma única seta azul, grossa, para o centro: F igual a G M m sobre r ao quadrado, a única força; na tangente, uma seta salmão mais fina, a velocidade v. Embaixo, sistema: o satélite; centro: a Terra. À direita, um cartão correto: DCL com uma seta só; a gravitacional é a resultante e aponta para o centro; G M m sobre r ao quadrado igual a m v ao quadrado sobre r. Riscado com um X, o cartão errado: a centrífuga equilibra a gravidade e a resultante é zero. Abaixo: resultante zero seria linha reta; a curva exige resultante para o centro. — **Figura 6.2** — O diagrama de corpo livre do satélite: uma força, a gravitacional, e ela é a resultante. Não há o que equilibrar — se a resultante fosse zero, o satélite seguiria em linha reta, pela primeira lei. A curva existe porque a força existe.

O livro da Mecânica I, no capítulo do astronauta, deixou o método pronto: um corpo que descreve uma curva de raio r com velocidade v precisa de uma resultante para o centro de módulo m × v² ÷ r — e a "centrípeta" não é uma força a mais, é o papel que alguma força real faz. Aqui a força real é uma só, então ela é a resultante inteira:

G × M × m ÷ r² = m × v² ÷ r

Repare no que essa linha diz antes de qualquer número. A resultante sobre o satélite não é zero: é a gravitacional, com todo o seu tamanho — 84% do peso que o Sputnik teria no chão, para uma órbita a 600 km. Ela não está "equilibrada" por nada, e é bom que não esteja: uma resultante zero manteria a esfera em linha reta, pela primeira lei, e ela iria embora pela tangente. É a força para o centro que dobra a trajetória, a cada instante, na medida exata da curva da Terra. O satélite está acelerado o tempo todo — para o centro, com a = v² ÷ r —, e é isso que uma órbita é.

Definição

O satélite em órbita circular

Sistema: o satélite. Centro: o corpo que atrai (a Terra), e r é medido do centro dele.
Uma força só: a gravitacional, F = G × M × m ÷ r², para o centro. Ela é a resultante, e a resultante de uma curva é m × v² ÷ r: G × M × m ÷ r² = m × v² ÷ r.
Nada de "força centrífuga" na conta: ela não entra no diagrama, não tem par de ação e reação e é só a sensação de quem gira junto, como o livro da Mecânica I explicou. A resultante em órbita não é zero — se fosse, não haveria curva.
Em órbita não há motor ligado e não há ar: a velocidade de lado é a mesma desde a decolagem, e só a direção dela muda, por causa da força.

Atenção

"A centrífuga equilibra a gravidade" — não

É o erro mais repetido sobre satélites, e ele quebra na primeira lei: se as forças se equilibrassem, a resultante seria zero e o satélite andaria em linha reta, não em círculo. O que existe é uma força só, a gravitacional, e ela não está equilibrada: ela é a resultante, aponta para o centro e vale m × v² ÷ r. O astronauta flutua não porque a gravidade foi cancelada, mas porque ele e a estação caem juntos — a normal é zero, o peso não. "Centrífuga" é o nome de uma sensação, e nesta série ela nunca entra numa conta.

A velocidade da órbita: v = √(G × M ÷ r)

A igualdade da seção anterior tem o m dos dois lados — o m do satélite, que a força puxa e que a curva exige. Ele cancela. Sobra G × M ÷ r² = v² ÷ r, e multiplicando os dois lados por r:

v = √(G × M ÷ r)

Três coisas estão escritas aí, e as três caem no ENEM. Primeira: a velocidade da órbita não depende da massa do satélite. Uma esfera de 83,6 kg, uma estação de centenas de toneladas e um parafuso solto ao lado dela, na mesma órbita, andam à mesma velocidade — pela mesma razão que a pena e o martelo caem juntos: a força é proporcional à massa, e a massa cancela. Segunda: v depende só de G × M, que é do centro (a Terra manda, 4,0 × 10¹⁴ m³/s² nesta série), e de r, a distância ao centro. Terceira: r está no denominador, dentro da raiz. Quanto mais longe, mais devagar. Uma órbita alta não é "mais rápida" — é mais lenta, e muito: a raiz suaviza, mas não inverte.

Um gráfico com a distância ao centro r no eixo horizontal, de 1 a 7 raios da Terra, e a velocidade da órbita no eixo vertical, de 0 a 8 km/s. Uma curva salmão desce de 7,9 km/s, rente ao chão, cada vez mais devagar, com pontos marcados: o Sputnik a 600 km, 7,6; a dois raios, 5,6; a quatro raios, 4,0; a 6,6 raios, onde a volta dura um dia, 3,1. Um cartão diz: v igual à raiz de G M sobre r; mais longe, mais devagar; e a massa do satélite não aparece. — **Figura 6.3** — A velocidade de órbita contra a distância ao centro, calculada com v = √(G × M ÷ r) e G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s². Rente ao chão (sem ar), 7,9 km/s; a 600 km, 7,6; a quatro raios do centro, a metade dos 7,9; a 42 200 km, onde uma volta leva um dia, 3,1 km/s.

Faça a conta do Sputnik. A altura média dele, entre os 215 e os 939 km, era de 577 km — a série arredonda para 600 km, e r = 6 400 + 600 = 7 000 km = 7,0 × 10⁶ m. Então v = √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 7,0 × 10⁶) = √(5,7 × 10⁷) = 7,6 × 10³ m/s: sete quilômetros e seiscentos metros a cada segundo, uns 27 000 km/h. No ponto mais baixo da órbita real, a 215 km, a conta dá 7,8 km/s — por isso o caso diz "quase oito". E a estação do capítulo 5, a 400 km: r = 6 800 km, v = √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 6,8 × 10⁶) = 7,7 km/s — o mesmo número que o livro da Mecânica I achou por outro caminho, com v = √(g × r) e o g de 8,7 m/s² da altura da órbita. Os dois caminhos são o mesmo: como g = G × M ÷ r², a raiz de g × r é a raiz de G × M ÷ r.

Definição

A velocidade orbital

Órbita circular de raio r (do centro) em volta de um corpo de massa M: v = √(G × M ÷ r). Equivalente: v = √(g × r), com o g da altura da órbita (é a forma do livro da Mecânica I).
Não depende da massa do satélite: o m cancelou. Depende do centro (G × M) e da distância a ele.
Mais longe, mais devagar: v cai com a raiz de r. Quatro vezes mais longe do centro, metade da velocidade; nove vezes, um terço.
Rente ao chão da Terra, sem ar: √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 6,4 × 10⁶) = 7,9 km/s (com g = 10, √(g × R) dá 8,0 — a diferença é o g arredondado). A 600 km, 7,6; a 42 200 km, 3,1; na distância da Lua, 1,0 km/s.

Atenção

"Órbita alta é mais rápida" — não

A intuição vem dos foguetes: subir mais custa mais combustível, então "lá em cima deve estar mais rápido". Mas a velocidade da órbita é √(G × M ÷ r), e r está no denominador: a Lua, a 384 000 km, anda a 1,0 km/s; o Sputnik, a 7 000 km, a 7,6. O que a órbita alta custa mais é energia para chegar lá — assunto do capítulo 8 —, não velocidade para ficar. E a versão em conta do mesmo erro é "satélite mais pesado precisa de mais velocidade": não precisa; o m cancelou.

Dica ENEM

Dica ENEM: a raiz e a massa que some

A questão dá G × M (ou g e R) e o raio da órbita, e pede v: é √(G × M ÷ r), com r do centro — some o raio do planeta à altura antes de dividir. Os distratores fixos: a alternativa sem a raiz (4,0 × 10⁷ em vez de 6,3 × 10³), a que usa a altura no lugar de r, e a que diz que v depende da massa do satélite. Na proporção: "o raio da órbita quadruplica; a velocidade…" — cai à metade, porque √4 = 2. E a colheita do capítulo 3 fecha: a sonda que empurrou o asteroide para uma órbita 3% menor deixou a lua dele 1,5% mais rápida — mais perto, mais depressa.

A pedra de Newton: cai quatro metros, o chão foge quatro metros

Newton desenhou a cena num livro publicado em 1728, quase 230 anos antes do Sputnik: uma montanha altíssima, sem ar em volta, e uma pedra atirada de lado do topo. Jogada devagar, a pedra cai numa curva e bate no chão logo ali. Jogada mais forte, vai mais longe antes de bater. Mais forte ainda, mais longe — e a curva da queda vai ficando cada vez mais aberta. Há uma velocidade em que a curva da queda fica igual à curva da Terra: a pedra cai, cai, e o chão vai se afastando embaixo dela na mesma medida. Ela nunca chega. Isso é uma órbita, e a esfera de 1957 foi a primeira pedra a fazê-lo de verdade.

Uma montanha exagerada no alto de uma Terra desenhada como um disco. Do topo saem três trajetórias: duas, tracejadas, caem e batem no chão cada vez mais longe; a terceira, um círculo salmão, dá a volta inteira no planeta e fecha. Um quadro de aproximação embaixo mostra, em 1 segundo, a tangente de 7,6 km, o chão que desce 4,1 m abaixo dela e a pedra que cai os mesmos 4,1 m, sobre o mesmo arco. Um cartão diz: no primeiro segundo, meio g t ao quadrado é 4,1 m e x ao quadrado sobre 2 r é 4,1 m — iguais: erra para sempre. — **Figura 6.4** — A pedra de Newton: cada trajetória é uma queda. Na velocidade certa, a queda de um segundo — 4,1 m — é exatamente o quanto o chão curvo desce no mesmo segundo, ao longo dos 7,6 km andados na tangente. A pedra cai o tempo todo e erra o chão o tempo todo.

A conta do "erra o chão" cabe em duas linhas, e vale a pena fazê-la, porque ela é o capítulo inteiro. Em 1 segundo o Sputnik anda 7,6 km na direção da tangente. Se a Terra fosse plana, ele estaria 7,6 km adiante, na mesma altura. Mas a Terra é redonda, e ao longo de 7,6 km de tangente a superfície "desce" x² ÷ 2r = (7 600)² ÷ (2 × 7,0 × 10⁶) = 4,1 m — é o tanto que um círculo de raio 7 000 km se afasta da sua tangente depois de 7,6 km. Agora a queda: a gravidade a 600 km vale g = G × M ÷ r² = 8,2 m/s² (o capítulo 5 daria o mesmo: 9,8 × (6 400 ÷ 7 000)² = 8,2), e em 1 segundo um corpo cai ½ × g × t² = ½ × 8,2 × 1² = 4,1 m. Os dois números são iguais — e não por coincidência: substitua x = v × t e g = v² ÷ r na primeira conta, e ela vira a segunda. A pedra cai exatamente o que o chão foge. Errou o chão neste segundo, vai errar no próximo, e no outro, para sempre.

A Lua faz a mesma coisa, só que devagar. A 384 000 km, ela anda 1,0 km a cada segundo e, nesse quilômetro, o chão da órbita "desce" 1,4 mm — e a Lua cai os mesmos 1,4 mm, com a aceleração de 2,7 mm/s² que o capítulo 4 mediu no teste da maçã. "A Lua não cai" é falso: ela cai o tempo todo, um milímetro e pouco por segundo, e erra a Terra há bilhões de anos.

Definição

Cair e errar o chão

Um satélite em órbita circular está em queda livre: a única força é a gravitacional, e ele acelera para o centro com g = v² ÷ r — o g daquela altura.
Em cada segundo ele cai ½ × g × 1² e, no mesmo segundo, anda v na tangente — e o chão curvo se afasta da tangente por v² ÷ 2r. As duas distâncias são iguais: a queda acompanha a curva do planeta.
Para o Sputnik: 7,6 km de lado, 4,1 m de queda, 4,1 m de chão que foge. Para a Lua: 1,0 km de lado, 1,4 mm de queda, 1,4 mm de chão que foge.
A pedra de Newton rente ao chão precisaria de 7,9 km/s (sem ar). Atirada a 30 m/s, cai uns 5 m no primeiro segundo e para a 30 m dali: o chão só desceu 0,07 mm nesse trecho — não dá para errar.

O período: uma volta é 2πr

Se a velocidade é constante em módulo e o caminho é um círculo, o tempo de uma volta é o perímetro dividido pela velocidade — o mesmo T = 2πr ÷ v que o livro da Mecânica I usou no movimento circular. Para o Sputnik: uma volta são 2π × 7 000 km = 44 000 km, e 44 000 km ÷ 7,6 km/s = 5 800 s = 97 minutos — o valor medido foi 96,2. Para a estação a 6 800 km, 93 minutos; o capítulo 5 arredondou para 93, e o livro da Mecânica I, com um raio um pouco menor, achou 92.

A Terra ao centro e a órbita do Sputnik, salmão; sobre ela, a esfera, com a velocidade tangente, 7,6 km/s. Uma cota do centro à órbita diz r igual a 7 000 km, e uma seta curva ao longo da órbita diz: uma volta, 2 π r igual a 44 000 km. Um cartão faz a conta: T igual a 2 π r sobre v, 44 000 km sobre 7,6 km por segundo, igual a 5 800 s, 97 minutos; medido, 96,2. Outro cartão diz: estação, 6 800 km, 93 minutos; a Lua, 384 000 km, 27 dias; a volta cresce com r, e v ainda cai: T cresce com r elevado a três meios. — **Figura 6.5** — O período é o perímetro dividido pela velocidade: para o Sputnik, 44 000 km a 7,6 km/s, 5 800 s, 97 minutos. Órbita maior demora mais por dois motivos ao mesmo tempo: o caminho é mais longo e a velocidade é menor.

Junte o período com a velocidade e a fórmula ganha uma forma que só tem r e G × M. Substitua v = √(G × M ÷ r) em T = 2πr ÷ v: T = 2πr ÷ √(G × M ÷ r) = 2π × √(r³ ÷ (G × M)):

T = 2π × √(r³ ÷ (G × M))

A órbita maior demora mais por duas razões que se somam: o caminho cresce com r, e a velocidade cai com √r; o resultado é T crescendo com r elevado a três meios. Quatro vezes mais longe do centro: quatro vezes o caminho, metade da velocidade, oito vezes o tempo. A tabela põe as órbitas deste capítulo numa linha só, todas com o mesmo centro, a Terra, e o mesmo G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s²:

órbita (r do centro)	velocidade	período
estação, 6 800 km	7,7 km/s	93 min
Sputnik, 7 000 km	7,6 km/s	97 min
42 200 km	3,1 km/s	24 h
a Lua, 384 000 km	1,0 km/s	27 dias

A última linha é o teste da Lua do capítulo 4 visto pelo outro lado: lá, o período medido da Lua (27,3 dias) e a distância dela deram uma aceleração que bateu com g ÷ 3 600; aqui, a fórmula da órbita, com G × M da Terra e a distância, devolve o período, 27,4 dias. A mesma lei, nos dois sentidos.

Dica ENEM

Dica ENEM: período e raio

Três formas da mesma pergunta. (1) "Dado r e v, o período": T = 2πr ÷ v — o distrator esquece o 2π ou usa r². (2) "Dado r, o período": T = 2π × √(r³ ÷ (G × M)); a prova costuma dar G × M ou g e R. (3) "O raio quadruplica; o período…": multiplica por 4 elevado a três meios, oito; o raio dobra, o período fica 2,8 vezes maior (2 × √2). Regra de bolso: v cai com √r; T cresce com r × √r. E o centro decide o G × M: a mesma fórmula, com o G × M do Sol, serve para os planetas.

Kepler sai de Newton: T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³

Eleve ao quadrado a fórmula do período. T² = 4π² × r³ ÷ (G × M), ou, separando o que é constante do que é variável:

T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³

Leia com calma: T ao quadrado é proporcional a r ao cubo, e o fator de proporção é 4π² dividido por G × M. É a terceira lei de Kepler do capítulo 3 — "T² ÷ a³ é o mesmo para todo corpo que orbita o mesmo centro" — saindo, linha por linha, da lei da gravitação e da segunda lei de Newton. Kepler mediu a proporção em 1619 nas órbitas dos planetas e não sabia de onde ela vinha; o capítulo 3 avisou que a constante tinha dono; o capítulo 4 disse quem era o dono. Agora está escrito: a constante é 4π² ÷ (G × M), e o M é o do centro. Para o Sol, um valor; para a Terra, outro; para Júpiter, outro. É por isso que "T² = a³" só vale em anos e UA e só para o Sol — para a Terra como centro, a constante é 4π² ÷ (4,0 × 10¹⁴) = 9,9 × 10⁻¹⁴ s²/m³, e a estação, o Sputnik e a Lua obedecem a ela: (384 000 ÷ 6 800)³ e (27,3 dias ÷ 93 min)² dão ambos 1,8 × 10⁵.

Três órbitas concêntricas em volta de uma Terra pequena, de raios r, 2r e 4r, com um ponto azul em cada uma e linhas de chamada para os valores: r, 7,9 km/s, 85 minutos; 2r, 5,6 km/s, 4,0 horas; 4r, 4,0 km/s, 11,3 horas. Embaixo: r é o raio da Terra, rente ao chão, sem ar; quatro vezes mais longe, metade da velocidade, oito vezes o tempo. Um cartão diz: T ao quadrado igual a 4 π ao quadrado sobre G M, vezes r ao cubo — a constante de Kepler tem dono: G M do centro. — **Figura 6.6** — Três órbitas em volta do mesmo centro: r, 2r e 4r. A velocidade cai com a raiz de r e o período cresce com r elevado a três meios — quatro vezes o raio, oito vezes o tempo. T² ÷ r³ é o mesmo nas três: 4π² ÷ (G × M), com o M da Terra.

A fórmula também funciona de trás para a frente: dado um período, ela devolve o raio. Há um período que interessa a todo telhado do Brasil: um dia — não o dia de 24 h do relógio, mas o dia das estrelas, 86 164 s, o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno de si mesma. Um satélite cuja volta dure exatamente isso acompanha a rotação da Terra e parece parado no céu. Qual r? r³ = G × M × T² ÷ 4π² = 4,0 × 10¹⁴ × (86 164)² ÷ 39,5 = 4,0 × 10¹⁴ × 7,42 × 10⁹ ÷ 39,5 = 7,5 × 10²² m³, e a raiz cúbica dá r = 4,22 × 10⁷ m = 42 200 km do centro — ou 35 800 km de altura. Nessa órbita a velocidade é 2πr ÷ T = 3,1 km/s: menos da metade da do Sputnik, porque é uma órbita alta. Esse número tem dono, e é o capítulo 7.

Atenção

A constante é do centro, não do satélite

"T² ÷ r³ = constante" não quer dizer "a mesma constante para tudo". A constante é 4π² ÷ (G × M) com o M do corpo no centro: para satélites da Terra, uma; para os planetas em volta do Sol, outra, 330 000 vezes menor, porque o Sol tem 330 000 vezes a massa da Terra; para as luas de Júpiter, outra. Comparar a Lua com um planeta pela terceira lei é comparar centros diferentes — e a conta não fecha. E a massa do satélite não aparece em lugar nenhum: nem em v, nem em T, nem na constante.

Por que o Sputnik caiu: o ar rarefeito

Se a única força é a gravitacional, e ela só dobra a trajetória sem nunca frear a esfera, uma órbita deveria durar para sempre. E dura — desde que não haja ar. Esta série faz toda conta sem resistência do ar, como as anteriores, e o Sputnik é a exceção nomeada: a 215 km, no ponto mais baixo da órbita, ainda há um resto de atmosfera, rarefeito ao extremo, mas a 7,8 km/s até um resto freia. A cada passagem a esfera perdia um pouco de energia, a órbita descia um pouco, o ar ficava um pouco mais denso, e a descida acelerava. Em 4 de janeiro de 1958, depois de 1 440 voltas, ela entrou na atmosfera densa e queimou. Três meses de órbita, para uma esfera sem motor: nenhuma força a empurrou nesse tempo — só a gravidade, que dobra, e o ar, que freia.

A Terra ao centro e, em volta, uma espiral salmão que vai se fechando sobre ela, exagerada; no começo da espiral, a esfera com as antenas. Ao lado, as datas: 4 de outubro de 1957, entre 215 e 939 km; o ar rarefeito freia, a órbita desce, exagero, são 1 440 voltas; 4 de janeiro de 1958, reentra e queima. Um cartão diz: sem ar, a órbita dura para sempre, nenhum motor ligado; com ar rarefeito, o satélite perde altura — o Sputnik durou três meses. — **Figura 6.7** — A exceção nomeada da série: com um resto de ar no ponto mais baixo da órbita, o Sputnik perdeu altura a cada volta e reentrou em três meses. A espiral está exagerada — foram 1 440 voltas quase iguais. Sem ar, e sem motor, a órbita duraria para sempre.

Há um detalhe que parece contradizer o capítulo, e não contradiz. Freado pelo ar, o satélite desce — e uma órbita mais baixa é mais rápida: a 215 km a velocidade de órbita é 7,8 km/s; a 939 km, 7,4. O ar tira energia, não velocidade; a gravidade converte a altura perdida em velocidade, e a esfera acaba mais baixa e mais veloz. A conta dessa troca é a do capítulo 8, com a energia no campo. Aqui basta o resultado: quem está mais perto do centro anda mais depressa, mesmo tendo sido freado para chegar lá.

Dica ENEM

Dica ENEM: o que segura um satélite

A questão conceitual pergunta "o que mantém o satélite em órbita" e oferece: o motor (não — está desligado), a ausência de gravidade (não — a gravidade é a única força e vale 84% da do chão a 600 km), a centrífuga que equilibra (não — a resultante não é zero), o vácuo (o vácuo não segura nada; ele só não freia). A resposta: a velocidade tangencial, que o satélite tem desde a decolagem e mantém pela primeira lei, mais a força gravitacional, que a cada instante dobra a trajetória para o centro. Tire a velocidade e ele cai reto; tire a força e ele vai embora pela tangente. E se a prova perguntar por que satélites baixos caem com o tempo: o ar rarefeito.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo, antes dos três tempos, vêm o sistema e o centro: o satélite, e a Terra, com r medido do centro dela. As constantes são as da série: G × M da Terra = 4,0 × 10¹⁴ m³/s², raio da Terra 6,4 × 10⁶ m (6 400 km), distância da Lua 3,84 × 10⁸ m, dia das estrelas 86 164 s. Em toda órbita circular a única força é a gravitacional, e ela é a resultante: G × M × m ÷ r² = m × v² ÷ r.

Cinco cartões pequenos, um por exemplo: o Sputnik a 7 000 km, v igual a 7,6 km/s; o período, T igual a 5 800 s, 97 minutos; cai e erra, 4,1 m e 4,1 m em 1 s; um dia de volta, r igual a 42 200 km; a Lua, v igual a 1,0 km/s, T igual a 27 dias. Um aviso: uma força só nos cinco. — **Figura 6.8** — Os números dos cinco exemplos: a velocidade e o período do Sputnik, a queda que erra o chão, o raio da órbita de um dia e a Lua. Uma força só nos cinco, e o m cancelado em todos.

Exemplo 1 — A velocidade do Sputnik

O Sputnik 1 orbitava a uma altura média de cerca de 600 km. Calcule a velocidade de uma órbita circular nessa altura, com G × M da Terra = 4,0 × 10¹⁴ m³/s² e raio da Terra 6 400 km.

Fórmula. sistema: o satélite; centro: a Terra; a única força é a resultante: G × M × m ÷ r² = m × v² ÷ r → v = √(G × M ÷ r)

Substituição. r = 6 400 + 600 = 7 000 km = 7,0 × 10⁶ m ; v = √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 7,0 × 10⁶) = √(5,7 × 10⁷)

Resultado. v ≈ 7,6 × 10³ m/s = 7,6 km/s — uns 27 000 km/h

Conferência. 7 600² = 5,8 × 10⁷, perto dos 5,7 × 10⁷ da raiz. A massa da esfera, 83,6 kg, não entrou: um parafuso na mesma órbita teria a mesma velocidade. No ponto mais baixo da órbita real, a 215 km (r = 6 615 km), a mesma fórmula dá 7,8 km/s — por isso as fontes dizem "cerca de 8 km/s". A altura foi somada ao raio antes de dividir.

Exemplo 2 — O período do Sputnik

Com a velocidade do Exemplo 1, calcule o tempo de uma volta do Sputnik e compare com os 96,2 minutos medidos.

Fórmula. uma volta é o perímetro: T = 2πr ÷ v ; ou, direto do raio, T = 2π × √(r³ ÷ (G × M))

Substituição. T = 2 × 3,14 × 7,0 × 10⁶ ÷ 7,6 × 10³ = 4,4 × 10⁷ ÷ 7,6 × 10³

Resultado. T ≈ 5 800 s ≈ 97 min — o medido, 96,2 min, está a 1% disso

Conferência. o perímetro da órbita é 44 000 km, e a 7,6 km/s ele leva 5 800 s; 5 800 ÷ 60 = 97. A diferença para o medido vem do arredondamento do raio (a órbita real não era um círculo: ia de 215 a 939 km, e com a altura média exata, 577 km, sai 96,1 min). A estação, a 6 800 km, dá 93 min pela mesma conta: mais baixa, um pouco mais rápida, um caminho um pouco mais curto.

Exemplo 3 — Cai quatro metros, o chão foge quatro metros

Mostre que, em 1 segundo, o Sputnik (r = 7,0 × 10⁶ m, v = 7,6 km/s) cai exatamente o quanto a superfície curva da Terra "desce" ao longo da tangente.

Fórmula. queda em t = 1 s: ½ × g × t², com g = G × M ÷ r² ; descida do chão ao longo de x = v × t na tangente: x² ÷ 2r

Substituição. g = 4,0 × 10¹⁴ ÷ (7,0 × 10⁶)² = 8,2 m/s² → queda = ½ × 8,2 × 1² ; x = 7 600 m → descida = (7 600)² ÷ (2 × 7,0 × 10⁶)

Resultado. queda = 4,1 m ; descida do chão = 4,1 m — iguais: a pedra erra o chão

Conferência. as duas contas são a mesma. Com x = v × t e g = v² ÷ r, a descida x² ÷ 2r vira v² × t² ÷ 2r = ½ × (v² ÷ r) × t² = ½ × g × t². A igualdade não é sorte: é a definição de órbita circular, g = v² ÷ r. O g de 8,2 m/s² a 600 km é o que o capítulo 5 daria: 9,8 × (6 400 ÷ 7 000)² = 8,2. E os "quatro metros por segundo" do caso são esses 4,1 m no primeiro segundo — no segundo seguinte a pedra cai mais, e o chão foge mais, sempre iguais.

Exemplo 4 — A órbita que dura um dia

Qual é o raio da órbita circular em que um satélite dá uma volta em exatamente um dia das estrelas, 86 164 s? A que altura fica?

Fórmula. T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³ → r³ = G × M × T² ÷ 4π² ; h = r − R

Substituição. r³ = 4,0 × 10¹⁴ × (86 164)² ÷ 39,5 = 4,0 × 10¹⁴ × 7,42 × 10⁹ ÷ 39,5 = 7,5 × 10²² m³ → r = raiz cúbica de 7,5 × 10²² m³

Resultado. r ≈ 4,22 × 10⁷ m = 42 200 km do centro ; h = 42 200 − 6 400 ≈ 35 800 km de altura

Conferência. 4,22³ = 75,2, e 75,2 × 10²¹ = 7,5 × 10²²; bateu. A velocidade nessa órbita é 2πr ÷ T = 2 × 3,14 × 4,22 × 10⁷ ÷ 86 164 = 3,1 km/s — menos da metade da do Sputnik, porque a órbita é seis vezes mais alta do centro. Com as constantes exatas, r = 42 164 km e h = 35 793 km; as tabelas arredondam para 35 786. É a órbita do capítulo 7.

Exemplo 5 — A Lua pela fórmula da órbita

A Lua está a 3,84 × 10⁸ m do centro da Terra. Calcule a velocidade dela e o período da órbita, e compare com os 27,3 dias medidos.

Fórmula. v = √(G × M ÷ r) ; T = 2πr ÷ v

Substituição. v = √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 3,84 × 10⁸) = √(1,04 × 10⁶) ; T = 2 × 3,14 × 3,84 × 10⁸ ÷ 1,02 × 10³

Resultado. v ≈ 1,0 × 10³ m/s = 1,0 km/s ; T ≈ 2,4 × 10⁶ s ≈ 27 dias — o medido é 27,3

Conferência. 1 020² = 1,04 × 10⁶; e 2,4 × 10⁶ s ÷ 86 400 s/dia = 27,4 dias. A Lua anda a um quilômetro por segundo — sete vezes e meia mais devagar que o Sputnik, porque está 55 vezes mais longe do centro (√55 = 7,4). E a aceleração dela, v² ÷ r = (1 020)² ÷ 3,84 × 10⁸ = 2,7 × 10⁻³ m/s², é o g ÷ 3 600 do teste da Lua do capítulo 4: a mesma conta, agora de trás para a frente.

Radar ENEM

A órbita circular aparece no ENEM de quatro formas. A conta de v: dado G × M (ou g e R) e o raio, v = √(G × M ÷ r), com r do centro — e o distrator sem a raiz. A massa que some: "dois satélites de massas diferentes na mesma órbita" têm a mesma velocidade e o mesmo período. A proporção: raio quadruplicado, velocidade pela metade, período oito vezes maior; "satélite mais alto é mais lento" e demora mais. E a conceitual: o que mantém o satélite em órbita é a força gravitacional, que faz o papel de centrípeta — a resultante não é zero, e não existe "centrífuga" equilibrando nada.

Uma Terra pequena com um satélite sobre a órbita, uma seta azul para o centro e uma seta salmão na tangente: uma força, uma curva. Ao lado, um cartão correto: gravitacional igual a centrípeta; v igual à raiz de G M sobre r, sem a massa do satélite; mais alto, mais devagar, volta mais longa; T ao quadrado igual a 4 π ao quadrado sobre G M vezes r ao cubo; o satélite cai e erra o chão. Riscado com um X, o cartão errado: a centrífuga equilibra a gravidade; satélite pesado anda mais devagar; órbita alta é mais rápida; em órbita não há gravidade. Abaixo: a resultante não é zero — é a gravitacional, e é ela que faz a curva. — **Figura 6.9** — Os quatro distratores favoritos: 'a centrífuga equilibra a gravidade' (a resultante é a gravitacional, e ela não é zero), 'satélite pesado anda mais devagar' (o m cancelou), 'órbita alta é mais rápida' (v cai com a raiz de r) e 'em órbita não há gravidade' (a 600 km ela é 84% da do chão — e é ela que faz a curva).

Veja a versão que mais aparece: "um satélite descreve órbita circular de raio 1,0 × 10⁷ m em torno da Terra (G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s²); a velocidade dele é…" — √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 1,0 × 10⁷) = √(4,0 × 10⁷) = 6,3 × 10³ m/s. A alternativa "4,0 × 10⁷ m/s" é a sem raiz. Outra versão, em proporção: "o satélite B tem órbita com o quádruplo do raio da órbita de A; o período de B é…" — quatro elevado a três meios, oito vezes o de A. E a conceitual pede a frase certa: o satélite está em queda livre, com a gravitacional como única força, e não cai no chão porque a velocidade tangencial faz a curva da queda acompanhar a curva da Terra.

Dica ENEM

Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas

"A força centrífuga equilibra a gravitacional" — não há força centrífuga no diagrama; a resultante é a gravitacional, e ela não é zero: vale m × v² ÷ r.
"Satélite mais pesado precisa de mais velocidade" — v = √(G × M ÷ r) não tem a massa do satélite; o M é o do centro.
"Órbita mais alta, mais rápida" — mais alta é mais lenta: v cai com √r, e T cresce com r × √r.
"v = √(G × M ÷ h)" — o r é do centro: h + R.
"A raiz some" — √(4,0 × 10⁷) é 6,3 × 10³, não 4,0 × 10⁷.
"T² = r³ para qualquer centro" — a constante é 4π² ÷ (G × M) com o M do centro; "T² = a³" é só em anos e UA e só para o Sol.
"Em órbita não há gravidade" — a gravidade é a única força que existe lá; o que é zero é a normal.

Uma conferência rápida resolve as questões de conta: v² × r = G × M e T² ÷ r³ = 4π² ÷ (G × M) — se a alternativa escolhida não fechar uma dessas duas com o G × M do centro, ela está errada. E, nas conceituais, a frase completa é: em órbita circular a única força é a gravitacional, ela é a resultante centrípeta, a velocidade é √(G × M ÷ r), não depende da massa do satélite e diminui com a distância; o satélite cai o tempo todo e erra o chão o tempo todo.

Resumo em cinco peças

Cinco peças: uma força só, a gravitacional é a centrípeta; v igual à raiz de G M sobre r, mais longe, mais devagar, sem a massa do satélite; o satélite cai 4 m e o chão foge 4 m, erra para sempre; T ao quadrado igual a 4 π ao quadrado sobre G M vezes r ao cubo, Kepler sai de Newton, e a constante tem dono; sem ar, para sempre, com ar rarefeito, cai, o Sputnik durou 3 meses. — **Figura 6.10** — O capítulo em cinco peças.

Uma força só: sobre o satélite em órbita circular há apenas a gravitacional, G × M × m ÷ r², e ela é a resultante centrípeta: G × M × m ÷ r² = m × v² ÷ r. Nada a equilibra; a resultante não é zero.
v = √(G × M ÷ r): a massa do satélite cancelou; o que manda é o centro (G × M) e a distância a ele. Mais longe, mais devagar — 7,6 km/s a 600 km; 3,1 a 42 200 km; 1,0 na Lua.
Cai e erra o chão: em cada segundo o satélite cai ½ × g × t² e o chão curvo foge v² ÷ 2r — 4,1 m e 4,1 m para o Sputnik. A queda acompanha a curva da Terra, para sempre.
Kepler sai de Newton: T = 2πr ÷ v = 2π × √(r³ ÷ (G × M)), e ao quadrado, T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³ — a constante do capítulo 3, com o M do centro. Um dia de volta: 42 200 km do centro.
Sem ar, para sempre; com ar rarefeito, cai: nenhum motor mantém a órbita, e nada a freia — exceto o ar. O Sputnik durou três meses.

Se for guardar uma frase só, guarde a do título: o satélite é uma pedra que cai e erra o chão a cada volta — e a velocidade que faz a queda errar o chão é √(G × M ÷ r). O Exemplo 4 deixou um número no ar: 42 200 km do centro, 35 800 de altura, uma volta a cada dia das estrelas. Lá em cima, a quase trinta e seis mil quilômetros, um satélite dá exatamente uma volta por dia — e por isso a antena parabólica no telhado aponta sempre para o mesmo ponto do céu, e não se mexe nunca. Mais de vinte milhões de antenas no Brasil apontam para ele. É o capítulo 7.

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