Capítulo 7A antena que aponta para um ponto parado no céu

Geoestacionário e a órbita do GPS

A antena no telhado aponta sempre para o mesmo ponto do céu. Lá em cima, a quase trinta e seis mil quilômetros, um satélite dá uma volta por dia — a mais de três quilômetros por segundo. Parado no céu, e só ali: sobre o Equador.

Neste capítulo você vai

Ver as três condições do satélite geoestacionário — dia sideral, órbita circular, plano do Equador — e o raio único que elas deixam
Medir a velocidade dele, 3,1 km/s, e entender que "parado" é uma palavra do referencial da Terra: mais longe, mais devagar
Entrar na órbita do sistema de posicionamento e ver quatro relógios virarem um endereço: d = c × t

Assista ao episódio 7

Este capítulo acompanha o episódio 7 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.

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O caso: uma antena que não se mexe há anos

Num telhado qualquer do país há uma antena parabólica apontada para cima, inclinada, e ela não se mexe há anos. Ninguém precisa ajustá-la, porque lá em cima, a 35 786 km de altura — quase trinta e seis mil —, existe um satélite que dá exatamente uma volta por dia. A Terra gira, ele gira junto, e do telhado ele fica pregado no céu. Cerca de vinte e quatro milhões de antenas neste país apontam para o mesmo ponto. O Sputnik do capítulo 6 passava em 96 minutos e sumia no horizonte, quinze vezes por dia; este nunca passa e nunca some. E ele não está parado: anda a mais de três quilômetros por segundo.

A Terra desenhada como um disco pequeno, de raio 6 400 km na escala da figura, e em volta dela, na mesma escala, a órbita geoestacionária como um círculo salmão grande, a 6,6 raios do centro; rente à Terra, um círculo fino tracejado marca a órbita da estação, a 1,06 raio. Sobre a órbita grande, um satélite com uma seta azul para o centro e uma seta salmão na tangente, 3,1 km/s. Uma cota do centro à órbita diz 42 200 km. Um cartão diz: em escala; 35 786 km de altura; uma volta por dia sideral, 23 h 56 min 4 s; 24 milhões de antenas apontam para lá. — **Figura 7.1** — O satélite da antena, em escala: a órbita fica a 6,6 raios da Terra do centro, enquanto a estação do capítulo 5 passa rente, a 1,06. É a primeira figura do livro em que a distância inteira aparece. Lá em cima, as mesmas duas setas do capítulo 6: a força, para o centro, e a velocidade, na tangente.

Enquanto isso, outros satélites fazem o contrário. A 20 200 km de altura, os do sistema de posicionamento global — o GPS do mapa do celular — dão a volta duas vezes por dia, nunca ficam no mesmo lugar do céu, e mesmo assim o aparelho no seu bolso acha a rua em que você está ouvindo o relógio deles. Um ponto parado no céu, e um relógio que vira endereço.

O capítulo 6 terminou com um número no ar: 42 200 km do centro da Terra, o raio da órbita em que uma volta dura um dia. Este capítulo dá dono a esse número e responde a duas perguntas. Por que só ali, e só sobre o Equador, um satélite fica parado no céu? E como um atraso de um milionésimo de segundo lá em cima vira trezentos metros no mapa aqui embaixo? As ferramentas são as do capítulo anterior — uma força só, v = √(G × M ÷ r), T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³ — mais uma pergunta antiga da mecânica: parado em relação a quê.

Um dia, um raio: a primeira e a segunda condição

Para um satélite ficar sobre o mesmo ponto do chão, a primeira condição é óbvia depois de dita: o período dele tem de ser igual ao tempo que a Terra leva para girar uma vez sobre si mesma. E esse tempo não é o dia de 24 horas. O dia do relógio é o dia do Sol: enquanto gira, a Terra também avança um pouco na órbita em volta dele, e precisa girar um pouco mais para o Sol voltar ao mesmo lugar do céu — quase quatro minutos a mais. As estrelas, lá longe, voltam antes: 23 h 56 min 4 s, ou 86 164 s. Esse é o dia sideral, o dia das estrelas, e é ele que o satélite tem de acompanhar. A diferença é de 236 s por dia, e não é detalhe: num ano, a Terra dá 366 voltas em torno de si mesma enquanto o Sol nasce 365 vezes.

À esquerda, o Sol; à direita, a Terra em duas posições da órbita, um dia depois da outra, com uma seta curta de avanço entre elas. Em cada posição, um traço marca o mesmo ponto do chão: na segunda, o traço já completou uma volta em relação às estrelas, mas ainda falta um pequeno ângulo, salmão, para ficar de novo de frente para o Sol. Dois relógios: dia das estrelas, 23 h 56 min 4 s, 86 164 s; dia do Sol, 24 h, 86 400 s. Um cartão diz: diferença de 236 s, quase 4 minutos; o satélite acompanha o dia das estrelas. Embaixo: fora de escala. — **Figura 7.2** — Dois dias diferentes. Uma volta completa da Terra em relação às estrelas leva 86 164 s; para o Sol voltar ao mesmo lugar do céu, ela ainda precisa girar o pequeno ângulo que avançou na órbita — mais 236 s. O satélite que fica parado no céu acompanha a rotação da Terra: o dia sideral. A figura está fora de escala.

A segunda condição: a órbita tem de ser circular. Numa elipse, a segunda lei de Kepler faz o satélite andar mais depressa perto da Terra e mais devagar longe; mesmo com o período certo, ele adiantaria numa parte do dia e atrasaria na outra, e a antena o veria ir e voltar no céu.

Agora a pergunta que importa: por que uma altitude só? Isole o satélite, como no capítulo 6: sobre ele há uma força, a gravitacional, e ela é a resultante centrípeta. Dessa igualdade saiu que o período só depende do raio e do centro — T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³. Leia de trás para a frente: escolhido o período, o raio está decidido. Um período, um raio. Para T = 86 164 s e G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s², a conta do capítulo 6 dá r³ = 4,0 × 10¹⁴ × 7,42 × 10⁹ ÷ 39,5 = 7,5 × 10²² m³, e a raiz cúbica, r = 4,22 × 10⁷ m = 42 200 km do centro. Descontado o raio da Terra, 35 800 km de altura. O valor medido é 35 786 km (raio de 42 164 km); a diferença, menor que 100 km, é o arredondamento das constantes.

A Terra em corte, pequena, com a órbita geoestacionária em escala em volta dela e duas cotas saindo do centro: R igual a 6 400 km, até a superfície, e r igual a 42 200 km, até a órbita; uma terceira cota, da superfície à órbita, diz h igual a 35 800 km. Um cartão faz a conta: r ao cubo igual a G M T ao quadrado sobre 4 π ao quadrado; 4,0 × 10¹⁴ vezes 7,42 × 10⁹ sobre 39,5, igual a 7,5 × 10²² m³; r igual a 4,22 × 10⁷ m. Outro cartão diz: medido, 35 786 km; cem quilômetros acima, a volta leva 5 minutos a mais. — **Figura 7.3** — O raio que o período escolhe, em escala: 42 200 km do centro, 35 800 km de altura. Não há margem: uma órbita 100 km mais alta demora 5 minutos a mais por volta, e o satélite ficaria para trás no céu, um pouco a cada dia.

Não há margem nesse número. Uma órbita 100 km mais alta leva 5 minutos a mais por volta: o satélite ficaria para trás, um pouco a cada dia, e em poucas semanas teria saído da mira da antena. É a única altitude em que um corpo dá uma volta por dia sem motor nenhum. A ideia foi publicada em 1945 por Arthur C. Clarke, um escritor de ficção científica, que propôs três estações nessa órbita para cobrir o planeta inteiro com comunicações; o primeiro satélite a cumprir as condições, o Syncom 3, subiu em 1964 — dezenove anos depois.

Definição

As duas primeiras condições

Período = dia sideral: T = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s — a rotação da Terra em relação às estrelas, não o dia de 24 h (86 400 s) do relógio.
Órbita circular: numa elipse a velocidade muda ao longo da volta (segunda lei de Kepler), e o satélite iria e voltaria no céu.
Um período, um raio: T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³. Para a Terra e T = 86 164 s, r = 42 200 km do centro, h = 35 800 km (medido: 35 786 km).
A massa do satélite não aparece: um satélite de uma tonelada e um de seis toneladas ficam parados na mesma altitude.

Atenção

"O geoestacionário dá uma volta a cada 24 horas" — quase

A frase aparece em muito material e, numa questão conceitual, costuma ser aceita. Mas o período certo é o dia sideral, 23 h 56 min 4 s. Com 24 h exatas (86 400 s) a conta do raio daria uns 80 km a mais, e o satélite atrasaria quase quatro minutos por dia em relação ao chão: em um mês, duas horas. Se a questão der T = 24 h, use o que ela deu; se pedir o conceito, o período é o da rotação da Terra.

Só sobre o Equador: a terceira condição

Falta a terceira condição, e ela responde à pergunta do caso. O centro de qualquer órbita é o centro da Terra: a força aponta para lá, então a órbita é um círculo num plano que passa pelo centro. Não existe órbita em volta de um paralelo — um círculo "sobre" a latitude de São Paulo teria o centro fora do centro da Terra, e a força gravitacional não aponta para esse outro centro.

Para o satélite ficar sobre o mesmo ponto do chão, o círculo dele precisa girar junto com o chão. A Terra gira em torno de um eixo, e o único plano que passa pelo centro e acompanha esse giro sem subir nem descer é o plano do Equador. Fora dele, o satélite cruza o Equador duas vezes por dia, subindo para um hemisfério e descendo para o outro: visto do chão, com o período certo, ele desenha um oito no céu. Esse satélite — período de um dia, órbita inclinada — chama-se geossíncrono. Geoestacionário é o geossíncrono circular sobre o Equador.

A Terra em corte, com o eixo de rotação na vertical e o Equador como uma linha horizontal que se prolonga para a direita até um satélite, fora de escala. Sobre a Terra, um ponto na latitude de 20 graus Sul, com um pequeno prato de antena e a linha de visada, tracejada, subindo até o satélite; o ângulo entre a linha e o chão do lugar está cotado: cerca de 60 graus acima do horizonte. Uma órbita inclinada, tracejada, cruza o Equador e está riscada com um X, com o rótulo: geossíncrono inclinado, desenha um oito. Um cartão diz: o plano da órbita passa pelo centro; só o plano do Equador gira com o chão. Embaixo: fora de escala; o ângulo é cotado. — **Figura 7.4** — A terceira condição. Toda órbita tem o centro da Terra no seu plano, e só o plano do Equador gira junto com o chão. Fora do Equador, a antena aponta inclinada: de Campo Grande, o satélite sobre o Equador fica uns 60° acima do horizonte, para o norte. A figura está fora de escala; o ângulo é cotado, não medido no desenho.

Então sobre Campo Grande, sobre São Paulo, sobre qualquer cidade fora da linha do Equador, não existe satélite parado. A antena do telhado aponta inclinada para o norte porque o satélite está sobre o Equador: de Campo Grande, uns 60° acima do horizonte. Quanto mais longe do Equador, mais baixo no céu ele aparece; a 81° de latitude ele encosta no horizonte, e perto dos polos não se vê geoestacionário nenhum.

A vaga é disputada. Uma altitude só, um plano só: todos os geoestacionários do mundo estão sobre o mesmo círculo, enfileirados, cada um na sua longitude. A posição a 70° a oeste, sobre o Equador, é a que atende este país: é para lá que os vinte e quatro milhões de pratos apontam.

Definição

O satélite geoestacionário

Três condições: período igual ao dia sideral; órbita circular; órbita no plano do Equador.
Elas deixam um raio só (42 200 km do centro; 35 786 km de altura, medidos) e um círculo só, sobre o Equador. Cada satélite ocupa uma longitude desse círculo.
Geossíncrono = período de um dia sideral. Se a órbita for inclinada, o satélite sobe e desce no céu ao longo do dia; só o geossíncrono circular e equatorial é geoestacionário.
Fora do Equador a antena aponta inclinada, na direção do Equador: para o norte, vista do hemisfério Sul.

Atenção

"Um geoestacionário parado sobre São Paulo" — não existe

É o distrator mais repetido do assunto. Um satélite só fica sobre o mesmo ponto do chão se esse ponto estiver no Equador; São Paulo, Campo Grande e toda cidade fora dele veem o satélite inclinado, nunca a pino. O motivo não é técnico, é a lei: o plano de toda órbita passa pelo centro da Terra, porque é para lá que a força aponta.

Parado é relativo: 3,1 km/s

Parado em relação a quê? É a pergunta do passageiro que olha pela janela e não sabe se é o trem dele que anda, e ela volta aqui inteira. Visto do telhado, o satélite não sai do lugar. Visto das estrelas, ele percorre um círculo de 2π × 42 200 km = 265 000 km a cada dia, e a antena, o telhado e a cidade inteira percorrem um círculo menor no mesmo tempo. Os dois giram juntos, com a mesma velocidade angular, e quem gira junto vê o outro parado.

Quanto é isso em velocidade? Uma volta em um dia sideral: v = 2πr ÷ T = 6,28 × 4,22 × 10⁷ ÷ 86 164 = 3,08 × 10³ m/s, 3,1 km/s — onze mil quilômetros por hora. A raiz do capítulo 6 confere: √(G × M ÷ r) = √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 4,22 × 10⁷) = √(9,5 × 10⁶) = 3,08 × 10³ m/s. As duas contas concordam, como tinham de concordar: uma é a definição de velocidade, a outra é a lei da órbita, e o raio foi escolhido justamente para que as duas fechassem com T = 86 164 s.

À esquerda, a Terra com duas órbitas: a do Sputnik, rente, com uma seta salmão comprida na tangente, 7,6 km/s; e a geoestacionária, grande, com uma seta salmão curta na tangente, 3,1 km/s; as duas setas estão em escala entre si, e a de cima tem quatro décimos do comprimento da de baixo. À direita, um carrossel visto de cima: o eixo no centro, um cavalo na roda de fora, uma seta azul do cavalo para o eixo e uma linha de visada do eixo ao cavalo. Um cartão diz: quem gira junto vê parado; a roda é a Terra e a volta leva um dia. Embaixo: mais longe, mais devagar; parado no céu, 3,1 km/s. — **Figura 7.5** — Duas ideias numa figura. À esquerda, as velocidades em escala: o satélite parado no céu anda a 3,1 km/s, quatro décimos dos 7,6 km/s do Sputnik — mais longe, mais devagar. À direita, o carrossel: o cavalo da roda de fora dá a volta no mesmo tempo que o eixo, e por isso quem está no eixo o vê parado. As órbitas estão fora de escala; as setas, em escala entre si.

Compare com o capítulo 6. O Sputnik, a 600 km de altura, andava a 7,6 km/s; o geoestacionário anda a quatro décimos disso, menos da metade — está seis vezes mais longe do centro, e √6 = 2,5. O Sputnik dava quinze voltas por dia; este dá uma. Era a frase do capítulo anterior, agora com o exemplo mais conhecido do mundo: mais longe, mais devagar.

A imagem para guardar é a de um carrossel. O geoestacionário é um cavalo na roda de fora: dá a volta no mesmo tempo que o eixo, então quem está no eixo o vê parado — só que a roda é a Terra e a volta leva um dia. Repare no que a imagem não diz. O cavalo não está em repouso, e não está sem força: ele acelera para o centro o tempo todo. Lá em cima, a 42 200 km, a gravidade ainda vale G × M ÷ r² = 0,22 m/s² — pouco mais de 2% da do chão, mas não zero —, e é exatamente o v² ÷ r que a curva exige. Um satélite de mil quilos é puxado com 220 N, e essa força não é equilibrada por nada: se ela sumisse, ele sairia pela tangente, em linha reta. "Parado" é uma palavra do referencial da Terra.

Definição

A velocidade do satélite parado

No referencial das estrelas: v = 2πr ÷ T = 3,1 km/s (medido: 3,07). Pela lei da órbita, √(G × M ÷ r) dá o mesmo.
Mais longe, mais devagar: 3,1 km/s contra os 7,6 km/s do Sputnik a 600 km — quatro décimos.
Parado só no referencial da Terra: satélite e antena têm o mesmo período, a mesma velocidade angular. O satélite anda 6,6 vezes mais depressa que um ponto do Equador (0,47 km/s), porque está 6,6 vezes mais longe do eixo.
A resultante sobre ele não é zero: é a gravitacional, 0,22 N por quilo, para o centro.

Dica ENEM

Dica ENEM: "parado" pede referencial

Quando a questão diz que o satélite "permanece parado", ela está falando do referencial da Terra — e as alternativas erradas trocam de referencial sem avisar: "logo a velocidade dele é nula", "logo a resultante sobre ele é nula", "logo ele não está em órbita". Nenhuma das três: em relação às estrelas ele anda a 3 km/s, a resultante é a gravitacional, e ele é um satélite como outro qualquer, numa órbita cujo período coincide com o da rotação da Terra. Para comparar velocidades por altitude, lembre: v cai com a raiz de r.

O sistema de posicionamento: 20 200 km, duas voltas por dia

Agora os satélites que fazem o contrário. O sistema de posicionamento global, o GPS, não tem nenhum satélite parado no céu. São 24 satélites nominais — hoje 31 em operação —, espalhados em seis planos inclinados, quatro por plano, a 20 200 km de altura. Cada um nasce no horizonte, cruza o céu, some e volta; os planos foram escolhidos para que, em qualquer ponto do planeta e a qualquer hora, haja sempre vários acima do horizonte ao mesmo tempo.

A que período corresponde essa altura? A órbita é circular, o centro é a Terra, e a conta é a do capítulo 6 com outro raio: r = 6 400 + 20 200 = 26 600 km = 2,66 × 10⁷ m. Então T = 2π × √(r³ ÷ (G × M)) = 6,28 × √((2,66 × 10⁷)³ ÷ 4,0 × 10¹⁴) = 6,28 × √(4,7 × 10⁷) = 6,28 × 6 860 = 43 100 s, 12 horas. O medido é 11 h 58 min: meio dia sideral, exatamente a metade do período do geoestacionário. Não é coincidência, é projeto: com duas voltas por dia sideral, cada satélite repete o mesmo caminho sobre o chão todos os dias. A velocidade, pela raiz, é √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 2,66 × 10⁷) = 3,9 km/s — mais que o parado, menos que o baixo.

A Terra ao centro e três órbitas concêntricas em escala: a da estação, tracejada e rente, a 1,06 raio do centro; a do posicionamento, a 4,2 raios; e a geoestacionária, salmão, a 6,6 raios. Em cada órbita, um ponto azul com uma linha de chamada: estação, 6 800 km, 7,7 km/s, 93 minutos; posicionamento, 26 600 km, 3,9 km/s, 12 horas; geoestacionária, 42 200 km, 3,1 km/s, um dia sideral. Um cartão diz: em escala, do centro; raio 0,63 vezes o da geoestacionária, período metade. — **Figura 7.6** — As três órbitas do capítulo em escala, do centro: 1,06 R, 4,2 R e 6,6 R. Quanto maior o raio, menor a velocidade e maior o período. A órbita do posicionamento tem 0,63 do raio da geoestacionária e exatamente a metade do período: 0,63 ao cubo é 0,25, e a raiz de 0,25 é 0,5 — a terceira lei de Kepler.

A tabela põe as três órbitas lado a lado, todas com o mesmo centro e o mesmo G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s²:

órbita (r do centro)	velocidade	período
estação, 6 800 km	7,7 km/s	93 min
posicionamento, 26 600 km	3,9 km/s	12 h
geoestacionária, 42 200 km	3,1 km/s	23 h 56 min

E a terceira lei de Kepler amarra as duas de cima sem conta nova: a razão dos raios é 26 600 ÷ 42 200 = 0,63; ao cubo, 0,25; a raiz, 0,5. Metade do período. T² ÷ r³ é o mesmo nas três linhas, porque o centro é o mesmo.

Definição

A órbita do sistema de posicionamento

Altura 20 200 km, raio 26 600 km do centro; órbita circular e inclinada (seis planos, quatro satélites nominais em cada).
Período: meio dia sideral (11 h 58 min; a conta com as constantes da série dá 12 h). Velocidade: 3,9 km/s.
Nenhum satélite fica parado no céu: cada um passa, some e volta, e repete o mesmo caminho sobre o chão a cada dia.
O receptor precisa de quatro satélites à vista — a próxima seção diz por quê.

Quatro relógios, um endereço: d = c × t

Cada satélite do sistema carrega um relógio atômico e transmite, sem parar, duas informações: a hora dele e a posição em que está. O receptor no seu bolso recebe o sinal e mede o atraso. O sinal viaja na velocidade da luz, c = 300 000 km/s, então a distância até o satélite é

d = c × t

— a velocidade da luz vezes o tempo que o sinal levou. É a conta mais simples deste livro, a do movimento uniforme do livro da Mecânica I, com a velocidade mais alta que existe.

Uma distância conhecida até um satélite põe você numa esfera em volta dele. Duas esferas se cruzam num círculo; três se cruzam em dois pontos, e um deles está no espaço, longe do chão. Bastariam três satélites, se o relógio do seu celular fosse tão bom quanto o deles. Não é. Por isso o receptor precisa de quatro satélites à vista: são quatro incógnitas — três de posição e a hora certa —, e o quarto satélite acerta o relógio do receptor.

À esquerda, quatro satélites pequenos no alto e um celular no chão, com quatro linhas finas descendo dos satélites até ele; ao lado de uma das linhas, a cota d igual a c vezes t. Três arcos de círculo, um em volta de cada um de três satélites, cruzam-se no ponto do celular; o quarto satélite tem o rótulo: acerta o relógio. À direita, dois cartões: do geoestacionário, 35 800 km sobre 300 000 km/s, 0,12 s; do posicionamento, 20 200 km, 0,067 s. E um cartão em destaque: 1 microssegundo de erro, 300 m no mapa; 1 nanossegundo, 30 cm. Embaixo: fora de escala. — **Figura 7.7** — Como quatro relógios viram um endereço. Cada atraso medido é uma distância, d = c × t, e cada distância é uma esfera em volta de um satélite; três esferas marcam o ponto, e o quarto satélite corrige o relógio do receptor. A régua é implacável: um milionésimo de segundo são trezentos metros. A figura está fora de escala.

Os tempos são curtos. Do satélite de posicionamento, a 20 200 km, o sinal leva 20 200 ÷ 300 000 = 0,067 s. Do geoestacionário, a 35 800 km, leva 35 800 ÷ 300 000 = 0,12 s — um oitavo de segundo para descer; ida e volta, um quarto de segundo, o atraso que se ouve numa transmissão ao vivo por satélite, quando o repórter demora a responder.

E aqui está o ponto. Se o tempo vira distância multiplicado por 3 × 10⁸ m/s, um erro de um milionésimo de segundo no relógio vira 3 × 10⁸ × 10⁻⁶ = 300 m no mapa. Um bilionésimo de segundo, trinta centímetros. O mapa do celular acerta a rua porque os relógios lá em cima são atômicos e porque o quarto satélite corrige o seu.

Com uma régua dessas, qualquer coisa que mexa no relógio do satélite aparece no mapa — e há duas coisas que mexem. O relógio lá em cima anda a quase quatro quilômetros por segundo, e está longe da Terra, onde a atração é menor. As duas correções têm sinais contrários e não se cancelam; somadas, dão dezenas de milionésimos de segundo por dia — quilômetros de erro acumulado —, e o sistema só funciona porque elas são corrigidas de propósito. Esse adianta e atrasa do relógio é a relatividade, outra física: fica para a Física Moderna. Aqui, só a órbita.

Definição

Distância por tempo de sinal

O sinal viaja a c = 3,0 × 10⁸ m/s (300 000 km/s): d = c × t.
Do geoestacionário ao chão: 0,12 s. Do satélite de posicionamento: 0,067 s.
1 milionésimo de segundo = 300 m. Um bilionésimo, 30 cm.
Quatro satélites: três distâncias marcam o ponto; a quarta acerta o relógio do receptor.
O relógio do satélite adianta e atrasa por efeitos da relatividade, corrigidos de propósito: só se cita; a conta é da Física Moderna.

Dica ENEM

Dica ENEM: a conta do sinal

A questão dá o tempo do sinal e pede a distância, ou dá o erro do relógio e pede o erro em metros. É sempre d = c × t, e os tropeços são de unidade: c em km/s com t em segundos dá quilômetros; c em m/s dá metros; e "milionésimo" é 10⁻⁶, "bilionésimo" é 10⁻⁹. O distrator clássico divide em vez de multiplicar (c ÷ t não tem unidade de distância — confira a unidade e ele cai sozinho). E quando o enunciado disser "ida e volta", a distância percorrida é o dobro da altura.

A órbita deixou uma escada de velocidades: 3,1 km/s lá em cima, parado no céu; 3,9 no meio; quase 8 rente ao chão. Quanto mais baixo, mais rápido — e quanto mais rápido se atira algo, mais longe ele erra o chão. A pergunta fica para o capítulo 8: e se a velocidade passar de um limite?

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo, antes dos três tempos, vêm o sistema e o centro: o satélite, e a Terra, com r medido do centro dela. As constantes são as da série: G × M da Terra = 4,0 × 10¹⁴ m³/s², raio da Terra 6,4 × 10⁶ m (6 400 km), dia sideral 86 164 s, velocidade da luz 3,0 × 10⁸ m/s. Em toda órbita circular a única força é a gravitacional, e ela é a resultante.

Cinco cartões pequenos, um por exemplo: a altura do satélite parado, r igual a 42 200 km, h igual a 35 800 km; a velocidade dele, 3,1 km/s; o período do posicionamento, 43 100 s, 12 horas; o atraso do sinal, 0,12 s, e 1 microssegundo igual a 300 m; Kepler entre as duas órbitas, raio 0,63, período 0,5. Um aviso: r do centro nos cinco. — **Figura 7.8** — Os números dos cinco exemplos: a altura e a velocidade do satélite parado, o período da órbita do posicionamento, o atraso do sinal e a terceira lei de Kepler ligando as duas órbitas. Em todos, r é medido do centro da Terra.

Exemplo 1 — A altura do satélite parado

A que distância do centro da Terra, e a que altura, um satélite dá uma volta em exatamente um dia sideral, 86 164 s? Use G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s² e raio da Terra 6 400 km.

Fórmula. sistema: o satélite; centro: a Terra; a única força é a resultante → T² = (4π² ÷ (G × M)) × r³ → r³ = G × M × T² ÷ 4π² ; h = r − R

Substituição. r³ = 4,0 × 10¹⁴ × (86 164)² ÷ 39,5 = 4,0 × 10¹⁴ × 7,42 × 10⁹ ÷ 39,5 = 7,5 × 10²² m³ → r = raiz cúbica de 7,5 × 10²² m³

Resultado. r ≈ 4,22 × 10⁷ m = 42 200 km do centro ; h = 42 200 − 6 400 ≈ 35 800 km de altura

Conferência. 4,22³ = 75,2, e 75,2 × 10²¹ = 7,5 × 10²²; bateu. O valor medido é 35 786 km (r = 42 164 km): a diferença, menor que 100 km, vem do arredondamento de G × M e do raio. A massa do satélite não entrou — um período, um raio, para qualquer massa. E 42 200 ÷ 6 400 = 6,6: a órbita fica a seis raios e meio do centro.

Exemplo 2 — A velocidade do satélite parado

Com o raio do Exemplo 1, calcule a velocidade do satélite geoestacionário no referencial das estrelas e compare com os 7,6 km/s do Sputnik.

Fórmula. uma volta é o perímetro: v = 2πr ÷ T ; conferência pela lei da órbita: v = √(G × M ÷ r)

Substituição. v = 2 × 3,14 × 4,22 × 10⁷ ÷ 86 164 = 2,65 × 10⁸ ÷ 86 164

Resultado. v ≈ 3,08 × 10³ m/s ≈ 3,1 km/s — quatro décimos da velocidade do Sputnik

Conferência. √(4,0 × 10¹⁴ ÷ 4,22 × 10⁷) = √(9,5 × 10⁶) = 3,08 × 10³ m/s, o mesmo número por outro caminho. O medido é 3,07 km/s. A razão 3,08 ÷ 7,56 = 0,41: mais longe, mais devagar. O perímetro, 2,65 × 10⁸ m, são os 265 000 km que o satélite "parado" percorre a cada dia.

Exemplo 3 — O período do sistema de posicionamento

Os satélites do sistema de posicionamento global orbitam a 20 200 km de altura, em órbita circular. Calcule o período.

Fórmula. sistema: o satélite; centro: a Terra; r = R + h ; T = 2π × √(r³ ÷ (G × M))

Substituição. r = 6 400 + 20 200 = 26 600 km = 2,66 × 10⁷ m ; T = 2 × 3,14 × √((2,66 × 10⁷)³ ÷ 4,0 × 10¹⁴) = 6,28 × √(4,7 × 10⁷) = 6,28 × 6 860

Resultado. T ≈ 43 100 s ≈ 12 h — o medido é 11 h 58 min, meio dia sideral

Conferência. (2,66)³ = 18,8, logo r³ = 1,88 × 10²² m³, e 1,88 × 10²² ÷ 4,0 × 10¹⁴ = 4,7 × 10⁷ s². 43 100 ÷ 3 600 = 12,0 h; meio dia sideral são 43 082 s. A altura foi somada ao raio antes de elevar ao cubo: usar 20 200 km no lugar de r daria 7,9 h, o distrator de sempre.

Exemplo 4 — O atraso do sinal e o erro do relógio

Quanto tempo o sinal leva para descer de um satélite geoestacionário, a 35 800 km de altura, até uma antena logo abaixo dele? E quanto erra a distância um receptor cujo relógio esteja errado em um milionésimo de segundo?

Fórmula. o sinal viaja na velocidade da luz: d = c × t → t = d ÷ c ; erro de distância: d = c × (erro de tempo)

Substituição. t = 3,58 × 10⁷ ÷ 3,0 × 10⁸ ; d = 3,0 × 10⁸ × 1,0 × 10⁻⁶

Resultado. t ≈ 0,12 s ; d = 300 m

Conferência. em quilômetros, 35 800 ÷ 300 000 = 0,12 s — as unidades se cancelam do mesmo jeito. Ida e volta, 0,24 s: um quarto de segundo. Do satélite de posicionamento, a 20 200 km, o sinal desce em 0,067 s. E a régua de 300 m por milionésimo de segundo é a razão de os relógios do sistema serem atômicos: um bilionésimo de segundo ainda são 30 cm.

Exemplo 5 — Kepler entre as duas órbitas

Sem refazer a conta do Exemplo 3, use a terceira lei de Kepler para obter o período da órbita do posicionamento (r = 26 600 km) a partir do período da geoestacionária (r = 42 200 km, T = 86 164 s).

Fórmula. mesmo centro: T² ÷ r³ é o mesmo nas duas → T' = T × √((r' ÷ r)³), com T' e r' da órbita do posicionamento

Substituição. r' ÷ r = 26 600 ÷ 42 200 = 0,63 ; (0,63)³ = 0,25 ; T' = 86 164 × √0,25

Resultado. T' ≈ 43 100 s ≈ 12 h — metade do dia sideral

Conferência. é o mesmo resultado do Exemplo 3, sem G × M: a constante cancelou porque o centro é o mesmo. A raiz de 0,25 é exatamente 0,5 — por isso a altura de 20 200 km foi escolhida: ela dá duas voltas por dia. A proporção só vale entre satélites da Terra; comparar com um planeta em volta do Sol seria trocar de centro.

Radar ENEM

O satélite parado no céu aparece no ENEM de quatro jeitos. As condições: período igual ao da rotação da Terra, órbita circular, no plano do Equador — e por isso uma altitude só. A comparação de velocidades por altitude: o geoestacionário é mais lento que qualquer satélite de órbita baixa. O sistema de posicionamento: quatro satélites à vista, e d = c × t. E o relógio do satélite, que adianta e atrasa pela relatividade: no exame só se cita.

Figura 7.9 — Os quatro distratores favoritos: 'um geoestacionário parado sobre São Paulo' (só sobre o Equador), 'parado, logo sem velocidade' (parado só no referencial da Terra: 3,1 km/s), 'o mais alto é o mais rápido' (v cai com a raiz de r) e 'satélite mais pesado orbita em outra altitude' (a massa cancelou).

Veja a versão mais comum da conceitual: "para que um satélite permaneça sobre o mesmo ponto da superfície, ele deve…" — ter período igual ao da rotação da Terra, em órbita circular sobre o Equador. A alternativa que põe o satélite parado sobre uma cidade fora do Equador está errada; a que diz "com velocidade nula" troca de referencial; a que diz "em qualquer altitude, desde que com a velocidade certa" esquece que o período escolhe o raio. Na versão de conta, o enunciado dá o tempo do sinal: "o sinal leva 0,070 s do satélite ao receptor; a distância é…" — 3,0 × 10⁸ × 0,070 = 2,1 × 10⁷ m, 21 000 km. Ou dá o erro: "um relógio errado em 2 milionésimos de segundo erra a posição em…" — 600 m.

Dica ENEM

Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas

"Geoestacionário sobre São Paulo" — só sobre o Equador: o plano da órbita passa pelo centro da Terra.
"Parado, logo com velocidade nula" — parado no referencial da Terra; nas estrelas, 3,1 km/s.
"Parado, logo com resultante nula" — a resultante é a gravitacional, para o centro; é ela que faz a curva.
"O satélite mais alto é o mais rápido" — mais alto é mais lento: 3,1 km/s contra 7,6.
"Satélite mais pesado precisa de outra altitude" — a massa do satélite cancela; o período só depende de r e do centro.
"A altitude é o raio da órbita" — r é do centro: 35 800 km de altura são 42 200 km de raio.
"d = c ÷ t" — a distância é c vezes t; confira a unidade.

Uma conferência rápida resolve as questões de conta: T² ÷ r³ = 4π² ÷ (G × M) para qualquer satélite da Terra, e d = c × t para qualquer sinal. E, nas conceituais, a frase completa é: o satélite geoestacionário tem período igual ao dia sideral, órbita circular no plano do Equador e, por isso, uma altitude só; ele está parado apenas no referencial da Terra, anda a 3,1 km/s e continua sendo puxado para o centro pela única força que existe lá.

Resumo em cinco peças

Cinco peças: geoestacionário, um dia sideral, circular, sobre o Equador, 35 786 km, uma altitude só; v igual a 3,1 km/s, mais longe, mais lento; parado é no referencial da Terra, ele gira com ela; posicionamento, 20 200 km, 12 horas, quatro satélites, d igual a c vezes t; 1 microssegundo igual a 300 m, e o relógio do satélite fica para a Física Moderna. — **Figura 7.10** — O capítulo em cinco peças.

Geoestacionário: período igual ao dia sideral (86 164 s), órbita circular, no plano do Equador — três condições, uma altitude só: 35 786 km (r = 42 200 km do centro).
v = 3,1 km/s: pelo perímetro, 2πr ÷ T; pela lei da órbita, √(G × M ÷ r). Mais longe, mais lento — quatro décimos do Sputnik.
Parado é no referencial da Terra: ele gira com ela, 265 000 km por dia, puxado para o centro por uma força que não é zero.
O sistema de posicionamento: 20 200 km de altura, 26 600 km do centro, 12 h por volta; quatro satélites à vista, e a distância é d = c × t.
Um milionésimo de segundo são trezentos metros: por isso os relógios são atômicos; o adianta e atrasa do relógio do satélite fica para a Física Moderna.

Se for guardar uma frase só, guarde a do título com o complemento: a antena aponta para um ponto parado no céu porque lá um satélite gira junto com a Terra — e esse ponto só existe sobre o Equador, a uma altitude só. A escada de velocidades ficou com três degraus: 3 km/s, e o satélite fica parado no céu; quase 8, e ele erra o chão a cada volta. Falta o último. A 11,2 km/s, o que sobe não volta nunca mais — não porque a gravidade acabe, mas porque uma conta de energia fecha. E é por isso que a Lua não tem ar. É o capítulo 8.

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