Capítulo 8A velocidade que separa quem volta de quem vai embora

Velocidade de escape e energia no campo

Onze vírgula dois quilômetros por segundo. Um metro por segundo a menos, e o foguete volta. Um a mais, e nunca mais. A Lua tem um quinto desse número — e é por isso que lá não tem ar. Quem fecha a conta é a energia.

Neste capítulo você vai

Ver a energia potencial ganhar a forma geral, U = −G × M × m ÷ r: negativa, com zero no infinito — uma dívida
Deduzir a velocidade de escape, v = √(2 × G × M ÷ R), que não depende da massa de quem escapa
Usar o sinal da energia mecânica como régua — preso ou livre — e explicar por que a Lua não segura o ar

Assista ao episódio 8

Este capítulo acompanha o episódio 8 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.

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O caso: 11,2 km/s, e uma Lua sem ar

Onze vírgula dois quilômetros por segundo. Esse é o número que separa duas histórias. Um foguete deixa a torre, e tudo depende da velocidade que ele vai ter quando o motor acabar de queimar. Um metro por segundo a menos, e ele volta: hoje, amanhã, daqui a um século, mas volta. Um a mais, e nunca mais. O valor medido na superfície da Terra é 11,186 km/s, e ele tem nome: velocidade de escape.

O capítulo 7 deixou uma escada de velocidades: a 3 km/s, lá no alto, um satélite fica parado no céu; a quase 8, rente ao chão, ele erra o chão a cada volta. Faltava o último degrau — aquele em que a queda não fecha mais o círculo.

Uma Terra pequena, à esquerda, e ao lado dela três setas salmão de velocidade, uma embaixo da outra, cada vez mais compridas, em escala entre si, cada uma com a sua etiqueta: 3 km/s, parado no céu, preso; 8 km/s, erra o chão a cada volta, preso; 11,2 km/s, não volta nunca mais, livre. Mais abaixo, uma Lua pequena com uma seta curta: 2,4 km/s, um quinto, sem ar. Um cartão diz: medido, 11,186 km/s; um metro por segundo a menos, volta; um a mais, nunca mais. Embaixo: astros fora de escala; as setas, em escala entre si. — **Figura 8.1** — A escada de velocidades com o último degrau. Abaixo de 11,2 km/s, o que sai da superfície da Terra fica preso a ela — em órbita ou de volta ao chão. Acima, vai embora para sempre. Na Lua o degrau fica a 2,4 km/s, um quinto do nosso. Os astros estão fora de escala; as setas, em escala entre si.

A Lua tem um quinto desse número: 2,38 km/s. E é por isso que lá não tem ar. Qualquer molécula um pouco mais rápida que as outras vai embora e não volta, e em bilhões de anos a Lua perdeu quase tudo: o que sobrou soma menos de dez toneladas, no total — menos de um milhão de moléculas por centímetro cúbico, contra dez quintilhões no ar que você respira. A Terra segura o ar dela com o mesmo número que segura o foguete.

Este capítulo responde a três perguntas. De onde vem o 11,2? Por que ele não muda se o foguete é pesado ou leve? E o que a gravidade cobra de quem quer ir embora para sempre? A resposta não está em nenhuma fronteira onde a atração "acabaria" — ela não acaba. Está numa conta de energia, e para fazê-la é preciso corrigir uma fórmula do livro da Mecânica II.

Do m × g × h à lei geral: U = −G × M × m ÷ r

No livro da Mecânica II, a energia potencial gravitacional era m × g × h: massa vezes gravidade vezes altura, com o zero onde você quisesse — no chão, na mesa, no fundo do poço. Aquela fórmula tinha uma condição escondida: g constante. E o capítulo 5 desta série mostrou que g não é constante: cai com o quadrado da distância ao centro. Quando a força muda com a distância, a energia potencial muda de forma:

U = −G × M × m ÷ r

A constante, vezes o produto das massas, dividido pela distância ao centro — com sinal negativo. Compare com a força do capítulo 4, G × M × m ÷ r²: a energia tem r, não r². Dobrar a distância divide a força por quatro, e a energia potencial por dois.

O sinal e o zero andam juntos. O zero mudou de endereço: fica no infinito, longe de tudo, onde a atração é nula. Aqui perto, a energia potencial é um número abaixo do zero, e quanto mais longe, menos negativa, até encostar no zero lá no infinito. A melhor imagem é a de uma dívida. Perto da Terra você deve muito; subindo, deve menos; no infinito, não deve nada.

Um gráfico com a distância ao centro no eixo horizontal, de 1 a 7 raios da Terra, e a energia potencial de 1 kg no eixo vertical, em megajoules, de zero para baixo. Barras azuis penduradas da linha do zero: em 1 raio, a mais comprida, menos 62,5; em 2 raios, menos 31; em 4 raios, menos 15,6; em 6,6 raios, menos 9,5. Uma curva salmão liga as pontas das barras e sobe em direção ao zero, sem nunca tocá-lo. Um cartão diz: U igual a menos G M m sobre r; zero no infinito; mais longe, menos negativa. Embaixo: energia é escalar, é barra, nunca seta. — **Figura 8.2** — A dívida de um quilo, calculada com U = −G × M × m ÷ r e G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s²: 62,5 MJ abaixo do zero no chão, metade disso a dois raios do centro, um quarto a quatro raios. A barra encolhe em direção ao zero enquanto r cresce — e só encosta nele no infinito.

Quanto deve um quilo parado no chão? U = −4,0 × 10¹⁴ × 1 ÷ 6,4 × 10⁶ = −6,25 × 10⁷ J: −62,5 MJ. Sessenta e dois megajoules e meio abaixo do zero, para cada quilo que está aqui embaixo. Repare no que a conta diz e no que ela não diz. Ela não diz que "falta" energia ao quilo; diz quanto custa levá-lo até onde a atração não conta mais. E ela cresce com a massa: dois quilos devem o dobro; um foguete de cem toneladas, cem mil vezes isso.

E o m × g × h, estava errado? Não: era a diferença dessa dívida entre dois andares vizinhos, quando os dois estão tão perto do chão que a atração quase não muda. Subir um quilo por 1 000 m custa, pela lei geral, 9 764 J; pelo m × g × h, com o g de 9,8 m/s² das constantes da série, 9 766 J — dois centésimos de um por cento de diferença. Suba até os 400 km da estação e a diferença já é de 6%. Suba um raio inteiro da Terra, e o m × g × h erra pelo dobro: daria 62,5 MJ onde a conta certa dá 31,25.

Definição

A energia potencial gravitacional

U = −G × M × m ÷ r, com r medido do centro. É escalar (não tem direção: é barra, nunca seta) e negativa.
Zero no infinito. Quanto mais longe, menos negativa: a dívida diminui com a distância, sem nunca zerar a uma distância finita.
Pertence ao sistema corpo + astro, como toda energia potencial do livro da Mecânica II.
Cai com 1 ÷ r — não com 1 ÷ r², que é a força. Dobro da distância: metade da dívida.
m × g × h é o caso "perto do chão": a diferença de U entre duas alturas próximas, com g praticamente constante.

Atenção

"Energia potencial gravitacional é sempre m × g × h" — não

A fórmula do chão só vale enquanto g não muda — alguns quilômetros, com folga. Para satélites, foguetes e planetas, a lei é U = −G × M × m ÷ r. E o sinal negativo não é defeito: ele vem de pôr o zero no infinito. Tanto faz onde fica o zero para calcular diferenças de energia; mas, com o zero no infinito, o sinal da energia total passa a dizer, sozinho, se o corpo está preso ou livre — é a régua da seção sobre o sinal.

Quitar a dívida: v = √(2 × G × M ÷ R)

Para a dívida virar velocidade, declare o sistema e os instantes, como o livro da Mecânica II ensinou. Sistema: foguete e Terra. Condições: sem ar, e sem motor depois da queima. Instante inicial: a saída, na superfície, com velocidade v. Instante final: o infinito.

Isole o foguete que sobe: sobre ele há uma força só, a atração da Terra, para baixo, e ela encolhe a cada quilômetro. É uma força conservativa, e por isso entre os dois instantes a energia mecânica se conserva:

½ × m × v² − G × M × m ÷ r = constante

A cinética, acima do zero, somada à dívida, abaixo. Agora o que significa escapar: chegar ao infinito com velocidade zero — o mínimo que basta. Lá a dívida é zero e a cinética é zero; a soma é zero. E, se ela se conserva, já era zero na saída: ½ × m × v² = G × M × m ÷ R. A massa do foguete aparece dos dois lados e some:

v = √(2 × G × M ÷ R)

À esquerda, a Terra em corte com uma pedra pequena e um foguete lado a lado na superfície, cada um com uma seta salmão para cima, do mesmo comprimento: 11,2 km/s nos dois. No foguete, uma única seta azul para baixo: a atração da Terra, a única força. À direita, dois cartões: na saída, meio m v ao quadrado menos G M m sobre R; no infinito, zero mais zero. Abaixo deles, a igualdade com o m riscado dos dois lados, e a fórmula em destaque: v igual à raiz de 2 G M sobre R. Embaixo: sistema, foguete e Terra; sem ar, sem motor depois da queima. — **Figura 8.3** — A conta do escape. A energia mecânica na saída é igual à energia mecânica no infinito, e no infinito ela é zero. A massa do que escapa está nos dois termos e cancela: a pedra e o foguete precisam da mesma velocidade. No diagrama de corpo livre do foguete, depois da queima, há uma seta só.

Para a Terra: v = √(2 × 4,0 × 10¹⁴ ÷ 6,4 × 10⁶) = √(1,25 × 10⁸) = 1,12 × 10⁴ m/s — 11,2 km/s, o número do título. O medido é 11,186; a diferença é o arredondamento das constantes. Em outra unidade, quarenta mil quilômetros por hora: de Campo Grande a São Paulo em menos de um minuto e meio.

Olhe o que entrou na conta e o que não entrou. Entrou o raio, entrou o produto G × M. Não entrou a massa do foguete, não entrou o motor, não entrou o ângulo de saída. Uma pedra e um foguete de cem toneladas precisam da mesma velocidade — pela mesma razão que a velocidade de órbita não dependia da massa do satélite: a dívida é proporcional à massa, e a cinética também.

E a gravidade não acaba em lugar nenhum. A atração continua lá, cada vez mais fraca, sem nunca zerar: a cem raios do centro, g ainda vale um décimo de milésimo do valor do chão. Não existe uma altura a partir da qual o foguete "saiu da gravidade". Quem fecha a conta é a energia, com exatamente esse número.

Por fim: a fórmula vale para qualquer ponto de partida. O R dela é a distância ao centro de onde se sai. Da superfície, 11,2 km/s; da altura do satélite parado do capítulo 7, a 42 200 km do centro, só 4,4 km/s — quem já subiu deve menos.

Definição

A velocidade de escape

É a menor velocidade com que um corpo, sem motor e sem ar, se afasta para sempre: chega ao infinito com velocidade zero.
Sai da conservação da energia, com a soma igual a zero: ½ × m × v² = G × M × m ÷ R, logo v = √(2 × G × M ÷ R).
Não depende da massa do que escapa (o m cancelou), nem da direção em que ele sai — a energia é escalar.
Depende do astro (G × M) e da distância ao centro de onde se parte. Terra, da superfície: 11,2 km/s. De 42 200 km do centro: 4,4 km/s.
A gravidade não acaba em altura nenhuma. Escapar não é "sair do campo": é ter energia para nunca precisar voltar.

Atenção

"Escapar é chegar onde a gravidade acaba" — não

A força gravitacional cai com o quadrado da distância e nunca chega a zero. Um corpo lançado abaixo da velocidade de escape sobe, para e volta, por mais alto que vá; um corpo lançado acima dela continua sendo puxado para trás o tempo todo, e perde velocidade o tempo todo — só que nunca chega a parar. A diferença entre os dois não é um lugar: é o saldo de energia. E a versão em conta do mesmo erro é "foguete mais pesado precisa de mais velocidade": precisa de mais energia, na proporção da massa — a velocidade é a mesma.

Raiz de dois: escape e órbita

Ponha lado a lado as duas fórmulas desta parte do livro. A velocidade de órbita, do capítulo 6: √(G × M ÷ r). A de escape: √(2 × G × M ÷ r). É a mesma coisa, com um dois a mais dentro da raiz:

v de escape = √2 × v de órbita

Rente à Terra, a órbita pede 7,9 km/s; o escape, 1,414 × 7,9 = 11,17 — os mesmos 11,2 km/s, por outro caminho. São 41% a mais de velocidade: é o que o Sputnik precisaria, além da velocidade de órbita, para nunca mais voltar. E vale em qualquer altura e em qualquer mundo: quem orbita em círculo a certa distância de um astro escapa dele, daquele ponto, com raiz de dois vezes aquela velocidade.

A Terra em corte com duas setas salmão saindo do mesmo ponto da superfície, em escala entre si: uma tangente, 7,9 km/s, com a etiqueta órbita rente; outra, mais comprida, 11,2 km/s, com a etiqueta escape. Uma chave entre elas diz: vezes raiz de 2, 41% a mais. À direita, um cartão: v de escape igual a raiz de 2 vezes v de órbita, em qualquer altura, em qualquer mundo. E um cartão em destaque: em energia, o dobro; 62,5 MJ por quilo, três horas de um chuveiro de 5 500 W. — **Figura 8.4** — As duas velocidades em escala: 7,9 km/s para orbitar rente à Terra, 11,2 km/s para escapar dela. Em velocidade, 41% a mais; em energia cinética, exatamente o dobro — porque a energia vai com o quadrado da velocidade, e o quadrado de raiz de dois é dois.

Em energia, a proporção é mais redonda ainda. A cinética vai com o quadrado da velocidade, e (√2)² = 2: escapar custa exatamente o dobro da energia cinética de orbitar rente ao chão. Por quilo, 31,25 MJ para a órbita, 62,5 MJ para o escape.

Quanto é isso em moeda conhecida? O chuveiro de 5 500 W do livro da Mecânica II entrega 62,5 MJ em 62,5 × 10⁶ ÷ 5 500 = 11 400 s: cerca de três horas de chuveiro, por quilo. Um foguete de cem toneladas, só em energia de escape, é a conta de luz de trezentas mil horas de chuveiro. Não é por acaso que ele é quase todo tanque.

Dica ENEM

Dica ENEM: uma velocidade dá a outra

A questão dá a velocidade orbital rente a um planeta e pede a de escape (multiplique por 1,41), ou dá a de escape e pede a orbital (divida por 1,41). Os distratores fixos: "o dobro" (confunde velocidade com energia), "a mesma" e "depende da massa do corpo". Na proporção: se o raio do planeta quadruplica com a mesma massa, a velocidade de escape cai à metade (√4 = 2 no denominador); se a massa quadruplica com o mesmo raio, ela dobra. O que decide é G × M ÷ R, dentro de uma raiz.

Preso ou livre: o sinal da energia mecânica

A mesma barra decide quem fica e quem vai. Some, com sinal, a cinética e a potencial de três corpos.

O satélite em órbita circular. A velocidade é √(G × M ÷ r), então a cinética é ½ × m × G × M ÷ r: exatamente a metade do tamanho da dívida. A soma fica negativa: E = −G × M × m ÷ (2 × r). Negativa quer dizer preso: ele não tem como chegar ao infinito, porque lá a soma teria de ser zero ou mais.

O corpo no limite, lançado exatamente na velocidade de escape: a cinética tem o mesmo tamanho da dívida, a soma é zero. Ele chega ao infinito parando.

O que passa do limite: cinética maior que a dívida, soma positiva, livre. Chega ao infinito ainda com velocidade sobrando.

Três extratos de energia lado a lado, cada um com uma linha de zero, uma barra salmão para cima, a cinética, e uma barra azul para baixo, a potencial. No primeiro, órbita circular, a barra de cima tem metade da altura da de baixo: soma negativa, preso. No segundo, o limite, as duas barras têm a mesma altura: soma zero, escapa parando. No terceiro, acima do limite, a barra de cima tem uma vez e meia a altura da de baixo: soma positiva, livre. Embaixo de cada extrato, um desenho pequeno da trajetória: fechada em volta da Terra no primeiro, aberta e saindo do quadro nos outros dois. Um cartão diz: o sinal da soma diz se o corpo volta. — **Figura 8.5** — O extrato de energia em três casos. Em órbita circular a cinética vale metade da dívida, e a soma é negativa: preso. Na velocidade de escape, cinética e dívida empatam: zero. Acima dela, sobra: livre. As barras de cada extrato estão em escala entre si — 0,5, 1,0 e 1,5.

É uma régua, e ela não quer saber da forma do caminho, nem do ângulo, nem da massa: energia mecânica negativa, trajetória fechada, preso; zero ou positiva, trajetória aberta, livre. O sinal da soma diz se o corpo volta.

O Sputnik do capítulo 6, com 83,6 kg a 7 000 km do centro, tinha U = −4,8 × 10⁹ J e 2,4 × 10⁹ J de cinética: energia mecânica de −2,4 × 10⁹ J. Preso, com folga. E a régua também mede sobra: um corpo que saia do chão a 12 km/s tem, por quilo, 72 MJ de cinética contra 62,5 de dívida — sobram 9,5 MJ, e ele chega ao infinito ainda a 4,4 km/s.

Com a régua na mão, duas contas que capítulos anteriores ficaram devendo se fecham.

A do capítulo 6: freado pelo ar, o satélite fica mais rápido. Em órbita circular, E = −G × M × m ÷ (2 × r). O ar tira energia: E fica mais negativa, e para isso r tem de diminuir. Mas a cinética, G × M × m ÷ (2 × r), cresce quando r diminui. De 7 000 km para 6 500 km do centro, por quilo: a potencial cai 4,4 MJ; a cinética sobe 2,2 MJ; a soma cai 2,2 MJ — a parte que o ar levou. Metade do que a queda libera vira velocidade, metade vira calor. O satélite freado acaba mais baixo e mais veloz: 7,8 km/s em vez de 7,6.

A do capítulo 2: os 54 km/s do cometa. No periélio, a 0,59 UA do Sol, o cometa de Halley anda a 54 km/s; no afélio, 59 vezes mais longe, a 0,9 km/s. A segunda lei de Kepler liga as duas velocidades; a conservação da energia, com U = −G × M × m ÷ r e o M do Sol, dá o valor de uma delas: 54 km/s. E a velocidade de escape do Sol, naquela mesma distância, é de 55 km/s. O cometa passa pelo periélio a 99% do escape — preso por pouco, e é por isso que a órbita dele vai tão longe antes de fechar.

Definição

Energia mecânica no campo gravitacional

E = ½ × m × v² − G × M × m ÷ r. Sem ar e sem motor, ela se conserva ao longo de toda a trajetória.
Órbita circular: a cinética é metade do tamanho da dívida, e E = −G × M × m ÷ (2 × r) — negativa.
E menor que zero: preso — órbita fechada, ou sobe e volta. E igual a zero: o limite, a velocidade de escape. E maior que zero: livre, com velocidade sobrando no infinito.
A régua não depende da forma da trajetória nem da massa: só do sinal da soma.
Perder energia em órbita (o ar rarefeito) faz o satélite descer e acelerar: a cinética sobe metade do que a potencial cai.

Dica ENEM

Dica ENEM: o sinal resolve

Três perguntas com a mesma resposta. "A energia mecânica de um satélite em órbita é…" — negativa. "A energia potencial gravitacional de um corpo a uma distância r de um planeta é…" — −G × M × m ÷ r, negativa, com zero no infinito. "Para um corpo escapar, a energia mecânica dele deve ser…" — zero ou positiva. Os distratores trocam o sinal, põem r² no denominador (isso é a força) ou dizem que em órbita a energia mecânica é nula "porque o satélite não cai". Se a questão pedir a energia para tirar um satélite da órbita e mandá-lo embora, é o que falta para a soma chegar a zero: G × M × m ÷ (2 × r).

Por que a Lua não tem ar

A régua serve para uma pergunta mais perto de casa. Primeiro, a conta do escape em outro mundo. Centro: a Lua. A massa dela é 7,3 × 10²² kg, cerca de oitenta vezes menor que a da Terra; o raio, 1,74 × 10⁶ m, pouco mais de um quarto do nosso. Então v = √(2 × 6,67 × 10⁻¹¹ × 7,3 × 10²² ÷ 1,74 × 10⁶) = √(5,6 × 10⁶) = 2,4 × 10³ m/s: 2,4 km/s. O medido é 2,38. Para sair da Lua bastam sete vezes a velocidade do som; para sair da Terra, trinta e três.

E a pergunta certa agora não é sobre foguetes, é sobre moléculas: a que velocidade anda o ar?

À esquerda, a Terra, e à direita a Lua, menor, cada uma com uma seta salmão de escape saindo da superfície, em escala entre si: 11,2 km/s e 2,4 km/s; a da Lua tem pouco mais de um quinto do comprimento. Perto da Lua, uma nuvem de pontos com setas curtas de tamanhos variados; dois pontos, com setas mais compridas, afastam-se e somem. Ao lado da seta da Lua, uma seta fina: hidrogênio a 400 kelvin, cerca de 2,2 km/s em média. Ao lado da seta da Terra, uma seta bem curta: oxigênio, 0,5 km/s. Um cartão diz: Lua, menos de 10 toneladas de ar; a média está abaixo do escape, mas a fração rápida vai embora. Embaixo: velocidades das moléculas, estimativa. — **Figura 8.6** — Moléculas contra a velocidade de escape. Na Lua, o hidrogênio ao meio-dia anda em média a 2,2 km/s, quase os 2,4 do escape: sempre há uma fração mais rápida, e ela vai embora. Na Terra, o oxigênio anda a meio quilômetro por segundo contra 11,2: fica. As setas de escape estão em escala entre si; as velocidades das moléculas são estimativas.

O ar é um enxame de moléculas correndo em todas as direções, e a velocidade delas depende da temperatura e da massa de cada uma: quanto mais quente e quanto mais leve, mais rápido. Essa conta é da teoria dos gases e tem uma série própria, a segunda de termodinâmica; aqui entra só a estimativa. Ao meio-dia lunar a superfície chega a 400 K, e nessa temperatura uma molécula de hidrogênio anda, em média, a cerca de 2,2 km/s. A velocidade de escape da Lua é 2,4.

A média está abaixo, mas é média: sempre há uma fração de moléculas acima de 2,4 km/s, e essa fração, no alto e apontando para cima, vai embora e não volta. A nuvem se reorganiza e produz outra fração rápida, que também vai. Em bilhões de anos, a Lua perdeu quase tudo; o vento do Sol varreu o resto. Daí as menos de dez toneladas.

Na Terra, o oxigênio anda a meio quilômetro por segundo contra 11,2 de escape — um vigésimo. Nem a fração mais rápida chega perto. Fica. Mundo pequeno, dívida pequena, velocidade de escape baixa: o ar vaza. Não é a atração que some; é a conta que não fecha.

Definição

Atmosfera e velocidade de escape

Um astro segura um gás quando a velocidade das moléculas é muito menor que a velocidade de escape; perde o gás, aos poucos, quando as duas são parecidas.
Moléculas mais leves e gás mais quente são mais rápidos: o hidrogênio escapa primeiro.
Lua: escape de 2,4 km/s; hidrogênio a 400 K, cerca de 2,2 km/s em média — vaza. Atmosfera total: menos de 10 toneladas.
Terra: escape de 11,2 km/s; oxigênio, cerca de 0,5 km/s — fica.
As velocidades das moléculas aqui são estimativas; a conta completa é da teoria dos gases.

Quatro mundos e o último degrau

A mesma raiz, quatro mundos. Lua: 2,4 km/s, e nenhum ar. Marte: 5,0 km/s, e um ar fino, menos de um por cento do nosso, que ainda vaza aos poucos. Terra: 11,2 km/s, e um ar que fica. Júpiter: quase 60 km/s — e ele segura até o hidrogênio, o gás mais leve que existe.

mundo	escape	ar
Lua	2,4 km/s	nenhum
Marte	5,0 km/s	fino, vazando
Terra	11,2 km/s	fica
Júpiter	quase 60 km/s	até hidrogênio

Quatro astros lado a lado, fora de escala: Lua, Marte, Terra e Júpiter, cada um com uma seta salmão de escape e a cota: 2,4; 5,0; 11,2; quase 60 km/s. Embaixo de cada um, uma etiqueta: sem ar; ar fino; ar que fica; até o hidrogênio. Um cartão diz: quem decide é G M sobre R, a massa do centro dividida pelo raio. Outro cartão, em destaque: do Sol, na superfície, 618 km/s; de onde a Terra está, 42 km/s. Embaixo: fora de escala; as cotas carregam os valores. — **Figura 8.7** — Quatro mundos, uma fórmula. O que decide a velocidade de escape não é o tamanho do astro: é a massa dividida pelo raio, dentro da raiz. Júpiter tem 318 vezes a massa da Terra e 11 vezes o raio, e por isso 5,3 vezes a velocidade de escape. A figura está fora de escala; as cotas carregam os valores.

Quem decide o degrau não é o tamanho do mundo: é G × M ÷ R, a massa do centro dividida pelo raio. Júpiter tem 318 vezes a massa da Terra, mas 11 vezes o raio; dentro da raiz, 318 ÷ 11,2 = 28, e a raiz de 28 é 5,3: cinco vezes e pouco os nossos 11,2.

A escada do capítulo 7 agora está completa. A 3 km/s, o satélite fica parado no céu — preso. A quase 8, rente ao chão, ele cai a cada volta e erra o chão — preso. A 11,2, a queda não fecha mais o círculo, e o que subiu não volta.

E o Sol? Da superfície dele, 618 km/s. Mas de onde a Terra está, longe, a dívida com o Sol é bem menor, e sair do Sistema Solar custa 42 km/s em relação a ele. Uma sonda que passe disso nunca mais volta. Esse número vai aparecer no capítulo 10.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo, antes dos três tempos, vêm o sistema e os instantes: o corpo e o astro; a saída e a chegada; sem ar e sem motor entre os dois. As constantes são as da série: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², G × M da Terra = 4,0 × 10¹⁴ m³/s², raio da Terra 6,4 × 10⁶ m, massa da Lua 7,3 × 10²² kg, raio da Lua 1,74 × 10⁶ m. O zero da energia potencial fica no infinito.

Cinco cartões pequenos, um por exemplo: a dívida de um quilo, U igual a menos 62,5 MJ; o escape da Terra, 11,2 km/s; raiz de dois, 1,414 vezes 7,9 igual a 11,2; a Lua, 2,4 km/s; o que sobra, de 12 km/s restam 4,4 km/s. Um aviso: zero no infinito nos cinco. — **Figura 8.8** — Os números dos cinco exemplos: a dívida de um quilo no chão, a velocidade de escape da Terra por dois caminhos, a da Lua e a velocidade que sobra a quem sai acima do limite. Em todos, o zero da energia potencial está no infinito.

Exemplo 1 — A dívida de um quilo

Calcule a energia potencial gravitacional de um corpo de 1 kg parado na superfície da Terra, com o zero no infinito. Use G × M = 4,0 × 10¹⁴ m³/s² e raio da Terra 6,4 × 10⁶ m.

Fórmula. sistema: o corpo e a Terra; zero no infinito → U = −G × M × m ÷ R

Substituição. U = −4,0 × 10¹⁴ × 1 ÷ 6,4 × 10⁶

Resultado. U = −6,25 × 10⁷ J = −62,5 MJ

Conferência. 4,0 ÷ 6,4 = 0,625, e 10¹⁴ ÷ 10⁶ = 10⁸: 0,625 × 10⁸ = 6,25 × 10⁷. O sinal é negativo porque o zero está no infinito: são 62,5 MJ a pagar para levar esse quilo até lá. Dois quilos devem 125 MJ; a dois raios do centro, o mesmo quilo deve a metade, 31,25 MJ. É energia: escalar, sem direção.

Exemplo 2 — A velocidade de escape da Terra

Com que velocidade mínima um corpo deve sair da superfície da Terra, sem ar e sem motor, para nunca mais voltar?

Fórmula. sistema: o corpo e a Terra; instantes: a saída e o infinito; a energia mecânica se conserva e vale zero: ½ × m × v² = G × M × m ÷ R → v = √(2 × G × M ÷ R)

Substituição. v = √(2 × 4,0 × 10¹⁴ ÷ 6,4 × 10⁶) = √(1,25 × 10⁸)

Resultado. v ≈ 1,12 × 10⁴ m/s = 11,2 km/s — uns 40 000 km/h

Conferência. (1,12 × 10⁴)² = 1,25 × 10⁸; bateu. O medido é 11,186 km/s. A massa do corpo cancelou: vale para uma pedra e para um foguete. Por quilo, ½ × v² = 62,5 MJ — exatamente a dívida do Exemplo 1, como tinha de ser. E o R é o de onde se sai: a 42 200 km do centro, a mesma fórmula dá 4,4 km/s.

Exemplo 3 — Raiz de dois

A velocidade de uma órbita circular rente à superfície da Terra é de 7,9 km/s. Obtenha a velocidade de escape a partir dela.

Fórmula. v de órbita = √(G × M ÷ R) e v de escape = √(2 × G × M ÷ R) → v de escape = √2 × v de órbita

Substituição. v de escape = 1,414 × 7,9

Resultado. v de escape ≈ 11,17 ≈ 11,2 km/s — 41% a mais que a de órbita

Conferência. o mesmo número do Exemplo 2, sem usar G × M. Em energia, a razão é 2: (11,2)² = 125 e 2 × (7,9)² = 125. A relação vale em qualquer raio: na órbita do Sputnik, 7,6 km/s para orbitar e 10,7 km/s para escapar dali; na do satélite parado, 3,1 e 4,4.

Exemplo 4 — A velocidade de escape da Lua

Calcule a velocidade de escape na superfície da Lua (massa 7,3 × 10²² kg, raio 1,74 × 10⁶ m) e compare com a da Terra.

Fórmula. centro: a Lua → v = √(2 × G × M ÷ R), com a massa e o raio da Lua

Substituição. v = √(2 × 6,67 × 10⁻¹¹ × 7,3 × 10²² ÷ 1,74 × 10⁶) = √(5,6 × 10⁶)

Resultado. v ≈ 2,4 × 10³ m/s = 2,4 km/s — pouco mais de um quinto dos 11,2 km/s da Terra

Conferência. 2 × 6,67 × 7,3 = 97,4, e 97,4 × 10¹¹ ÷ 1,74 × 10⁶ = 5,6 × 10⁶; a raiz é 2,37 × 10³. O medido é 2,38 km/s. A razão 2,4 ÷ 11,2 = 0,21. Por quilo, a dívida na Lua é de 2,8 MJ, 22 vezes menor que na Terra — por isso os módulos que decolaram de lá eram pequenos, e por isso o ar não fica.

Exemplo 5 — O que sobra

Um corpo sai da superfície da Terra a 12 km/s, sem ar e sem motor. Ele escapa? Com que velocidade chega muito longe da Terra?

Fórmula. a energia mecânica se conserva: ½ × v² − G × M ÷ R = ½ × (v final)² − 0 (por quilo) → v final = √(v² − 2 × G × M ÷ R)

Substituição. v final = √((1,2 × 10⁴)² − 1,25 × 10⁸) = √(1,44 × 10⁸ − 1,25 × 10⁸) = √(1,9 × 10⁷)

Resultado. v final ≈ 4,4 × 10³ m/s = 4,4 km/s — escapa, e com velocidade sobrando

Conferência. por quilo, a cinética da saída é ½ × (12 000)² = 72 MJ e a dívida é 62,5 MJ: sobram 9,5 MJ, energia mecânica positiva — livre. Repare que as velocidades não se subtraem: 12 − 11,2 daria 0,8 km/s, e o certo é 4,4. O que se subtrai é energia, que vai com o quadrado.

Radar ENEM

A velocidade de escape aparece no ENEM de quatro jeitos. A fórmula e a massa: v = √(2 × G × M ÷ R), e a pegadinha é a massa do corpo. A razão com a órbita: raiz de dois, 1,41 — o enunciado dá uma e pede a outra. O sinal da energia: potencial negativa com zero no infinito; mecânica negativa em órbita; zero ou positiva no escape. E a qualitativa, a mais frequente: por que a Lua não tem atmosfera, por que Júpiter segura hidrogênio.

Uma pedra pequena e um foguete lado a lado, com setas salmão iguais para cima, e uma única seta azul para baixo em cada um. Ao lado, um cartão correto: v igual à raiz de 2 G M sobre R, sem a massa do corpo; raiz de 2 vezes a de órbita; U igual a menos G M m sobre r, zero no infinito; órbita, energia negativa, escape, zero ou positiva; ar: moléculas contra o escape. Riscado com um X, o cartão errado: foguete pesado precisa de mais velocidade; escapar é sair de onde há gravidade; energia potencial é sempre m g h; em órbita a energia mecânica é zero. Abaixo: quem fecha a conta é a energia. — **Figura 8.9** — Os quatro distratores favoritos: 'foguete mais pesado precisa de mais velocidade' (o m cancelou), 'escapar é sair de onde há gravidade' (ela não acaba), 'energia potencial é sempre m × g × h' (só perto do chão) e 'em órbita a energia mecânica é zero' (é negativa: o satélite está preso).

Veja a versão de conta: "um planeta tem G × M = 1,0 × 10¹⁴ m³/s² e raio 5,0 × 10⁶ m; a velocidade de escape na superfície é…" — √(2 × 1,0 × 10¹⁴ ÷ 5,0 × 10⁶) = √(4,0 × 10⁷) = 6,3 × 10³ m/s. A alternativa "4,5 × 10³" esqueceu o 2: é a velocidade de órbita rente. A alternativa "4,0 × 10⁷" esqueceu a raiz. Na versão proporcional: "a velocidade orbital rente ao planeta é 5,0 km/s; a de escape é…" — 5,0 × 1,41 = 7,1 km/s. E na conceitual, desenhe o corpo isolado: uma força só, a atração do planeta, para o centro — ela é a resultante, e não some em altura nenhuma.

Dica ENEM

Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas

"Foguete mais pesado precisa de mais velocidade para escapar" — a massa aparece dos dois lados da conta de energia e cancela.
"Escapar é chegar onde a gravidade acaba" — a gravidade nunca acaba; escapar é ter energia mecânica zero ou positiva.
"A energia potencial gravitacional é sempre m × g × h" — isso vale perto do chão; a lei geral é −G × M × m ÷ r.
"U = −G × M × m ÷ r²" — r ao quadrado é a força; a energia tem r.
"A de escape é o dobro da orbital" — é raiz de dois vezes: 1,41. O dobro é a energia.
"Em órbita a energia mecânica é nula" — é negativa: −G × M × m ÷ (2 × r).
"A Lua não tem ar porque não tem gravidade" — tem, um sexto da nossa; o que ela não tem é velocidade de escape alta o bastante para segurar as moléculas.

Uma conferência rápida resolve as questões de conta: v² × R = 2 × G × M no escape, e v² × r = G × M na órbita — se a alternativa escolhida não fechar a que o enunciado pede, ela está errada. E, nas conceituais, a frase completa é: a energia potencial gravitacional é −G × M × m ÷ r, negativa e com zero no infinito; a energia mecânica se conserva; escapar é ter energia mecânica zero ou positiva, e a velocidade que dá isso, √(2 × G × M ÷ R), não depende da massa de quem escapa.

Resumo em cinco peças

Cinco peças: U igual a menos G M m sobre r, negativa, zero no infinito, e m g h é o caso perto do chão; a energia mecânica, cinética mais potencial, se conserva; v de escape igual à raiz de 2 G M sobre R, raiz de 2 vezes a de órbita, sem a massa de quem escapa; energia negativa, preso, zero ou positiva, livre; escape pequeno, sem ar, a Lua, 2,4 km/s. — **Figura 8.10** — O capítulo em cinco peças.

U = −G × M × m ÷ r: negativa, escalar, com zero no infinito — uma dívida que diminui com a distância. O m × g × h é o caso perto do chão.
A energia mecânica se conserva: ½ × m × v² − G × M × m ÷ r é constante, sem ar e sem motor. A soma com sinal é a régua.
v = √(2 × G × M ÷ R): a velocidade de escape é √2 vezes a de órbita e não depende de quem escapa — 11,2 km/s na Terra.
Preso ou livre: energia mecânica negativa é órbita, ou subir e voltar; zero ou positiva é escape. Em órbita circular, E = −G × M × m ÷ (2 × r).
Escape pequeno, sem ar: a Lua, com 2,4 km/s contra moléculas que correm quase isso, perdeu a atmosfera; a Terra, com 11,2, segura a dela.

Se for guardar uma frase só, guarde a do título: existe uma velocidade que separa quem volta de quem vai embora, e ela sai de uma conta de energia — a gravidade não acaba; a dívida é que é quitada. A mesma atração que neste capítulo cobrou uma dívida de quem quer ir embora faz outra coisa, mais perto de casa: numa baía do Canadá, o mar sobe dezesseis metros, duas vezes por dia. Quem puxa é a Lua — e, a cada ano, a Lua se afasta quase quatro centímetros por causa disso. E fica uma pergunta: se a Lua puxa a água do lado de cá, por que o mar também sobe do lado de lá? É o capítulo 9.

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