Capítulo 1Os guindastes que tombaram com uma ponte no gancho
Torque e equilíbrio de rotação
Dois guindastes sobre balsas, uma ponte no gancho e um laudo em poucas frases: carga a cem por cento, sem margem. A água sustentava a balsa — a resultante era zero — e ela virou mesmo assim, porque a segunda conta do equilíbrio ninguém fez.
Neste capítulo você vai
- Calcular o torque de uma força como força vezes braço, medindo o braço do polo até a linha de ação e dando sinal ao sentido de giro
- Aplicar as duas condições de equilíbrio de um corpo extenso, soma das forças zero e soma dos torques zero, escolhendo o polo que anula a força desconhecida
- Ler a tabela de carga de um guindaste como um momento de carga constante e explicar por que a carga fora do centro derruba uma balsa
Assista ao episódio 1
Este capítulo acompanha o episódio 1 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: a balsa que tinha resultante zero
Três de agosto de 2015, Alphen aan den Rijn, uma cidade dos Países Baixos cortada por um canal. O tabuleiro novo de aço de uma ponte precisava atravessar o rio, e o plano era içá-lo com dois guindastes móveis montados sobre duas balsas — um com capacidade nominal de 400 t, outro de 700 t —, os dois trabalhando juntos, em tandem, e levá-lo pendurado por cerca de 100 m até o lugar da ponte. Ao manobrar o tabuleiro entre os dois guindastes, a balsa do guindaste menor adernou, o mastro cedeu, e os dois guindastes tombaram com o tabuleiro sobre casas e lojas da rua ao lado. Ninguém morreu. Cinquenta e oito moradores de dezessete casas foram retirados; quatro imóveis ficaram gravemente danificados.
O laudo oficial, publicado em junho do ano seguinte, é uma aula de equilíbrio em poucas frases. A montagem "já era insuficientemente estável antes de o trabalho começar". Os guindastes estavam carregados a cem por cento da capacidade nominal. Havia objetos extras sobre a balsa menor, e a água de lastro — a água que se bombeia para dentro de compartimentos do casco para equilibrar a embarcação — estava mal distribuída. "Não havia margem para compensar o movimento do guindaste ou uma rajada de vento." O peso do tabuleiro não aparece no resumo do laudo, e este livro não inventa um número para ele; quando precisar de números, vai declará-los como modelo.
Repare no que o laudo não diz. Não diz que a balsa afundou por excesso de peso: a água a sustentava, e continuaria sustentando. Em linguagem de física, a soma das forças sobre a balsa era zero — o peso de tudo que estava em cima, o empuxo da água por baixo. Essa é a condição que a Mecânica I ensinou, e a série anterior terminou com ela: um foguete de mais de seiscentas toneladas em pé numa torre, em equilíbrio, sem tombar. Só que resultante zero não impede um corpo de girar. A carga pendurada longe do centro da balsa produzia um giro que o peso da balsa e do lastro, do outro lado, deveriam desfazer — e não desfaziam com folga nenhuma. Quando o tabuleiro se moveu, o giro venceu.
O que segura o que está parado tem duas contas. A primeira, resultante zero, o leitor já conhece. A segunda, torque zero, é o assunto deste capítulo: o que é torque, como se mede o braço de uma força, que sinal tem um giro, por que o polo é escolha de quem calcula, e como a tabela de carga de um guindaste é apenas uma multiplicação. No fim, a seção da balsa volta ao canal holandês com um modelo e uma pergunta: quanto o centro de gravidade se desloca quando a carga fica fora do centro.
A primeira condição: resultante zero
Um corpo parado, e que continua parado, tem resultante nula: a soma vetorial de todas as forças sobre ele é zero. Foi a lição do diagrama de corpo livre da Mecânica I, e ela vale aqui inteira. Mas ela foi enunciada para um corpo tratado como ponto — uma caixa, um bloco, uma esfera — em que todas as forças se aplicam no mesmo lugar. Uma balsa com um guindaste em cima, uma barra apoiada, uma porta na dobradiça não são pontos: são corpos extensos, e neles cada força age num ponto próprio.
A figura mostra a diferença. Nas duas pranchas, a soma das forças é zero: 100 N para cima e 100 N para baixo. Na prancha da esquerda as duas forças estão na mesma linha, e ela fica parada. Na da direita, uma força empurra a ponta esquerda para baixo e a outra puxa a ponta direita para cima; a prancha não vai para lugar nenhum como um todo — a resultante é zero —, mas começa a girar. Um corpo extenso pode ter resultante zero e mesmo assim rodar. É exatamente o que aconteceu com a balsa menor: nada a empurrava para baixo além do que a água segurava, e ela girou.
Definição
Corpo extenso e as duas perguntas do equilíbrio
- Corpo extenso é aquele em que importa onde cada força é aplicada: barra, porta, balsa, guindaste, torre.
- Para um corpo extenso ficar em equilíbrio, é preciso responder duas perguntas: ele não se desloca? (resultante zero) e ele não gira? (torque zero).
- A primeira pergunta é a da Mecânica I. A segunda precisa de uma grandeza nova, que mede a capacidade de uma força de girar um corpo: o torque.
Torque: força vezes braço
Quem já trocou um pneu sabe que a porca da roda não sai com a mão: sai com a chave. E quem já viu um mecânico encaixar um cano no cabo da chave sabe que, com o cano, a porca sai com a mesma mão. A força é a mesma; o que mudou foi a distância entre o ponto em que a força é aplicada e o eixo em torno do qual a porca gira. Torque é a grandeza que junta as duas coisas.
Definição
Torque
Torque (τ, a letra grega tau) de uma força em relação a um ponto, chamado polo, é o produto do módulo da força pelo braço: τ = F × d. O braço d é a distância do polo até a linha de ação da força — a reta ao longo da qual a força atua. A unidade no SI é o newton-metro (N·m). Torque também é chamado de momento de uma força; os dois nomes valem na prova.
Com a chave de 0,3 m e uma força de 200 N, o torque sobre a porca é 200 × 0,3 = 60 N·m. Com o cano, a mesma força passa a agir a 1 m do eixo: 200 × 1 = 200 N·m, mais de três vezes o giro. O mecânico não ficou mais forte. Ele gastou a mesma força mais longe do eixo, e o torque é o giro que uma força compra: quanto mais longe do eixo você a gasta, mais giro ela compra.
Duas observações antes de seguir. A primeira é sobre a unidade. Newton-metro não é newton: torque não é força. Uma força de 200 N continua sendo 200 N com ou sem cano; o que o cano aumenta é o torque. A segunda é sobre a palavra "braço", que a prova gosta de esconder. O braço não é a distância do polo até o ponto em que a força está aplicada; é a distância do polo até a linha de ação — e as duas coisas só coincidem quando a força é perpendicular à barra.
Olhe o painel da esquerda. A força em P está inclinada; se você prolongar a reta dela, o braço é a perpendicular baixada do polo até essa reta, e ela é mais curta que a barra. No painel da direita a força aponta ao longo da barra, direto para o polo: a linha de ação passa pelo polo, o braço é zero, e o torque é zero. Puxar uma porta pela maçaneta em direção à dobradiça não a abre. Empurrar a porta de frente, longe da dobradiça, abre com facilidade — porque aí a força é perpendicular e o braço é a largura inteira.
Atenção
Torque não é força, e braço não é "distância até o ponto"
- Torque mede giro; a unidade é N·m. Não some torque com força nem troque uma pela outra.
- Braço é a distância do polo à linha de ação da força, medida em ângulo reto. Força cuja linha de ação passa pelo polo tem torque zero, por maior que seja.
- Quando a força é perpendicular à barra, o braço é a própria distância ao ponto de aplicação. É o caso mais comum na prova — mas não o único.
Sentido de giro e sinal
Uma força pode girar um corpo para um lado ou para o outro. Para somar torques é preciso distinguir os dois sentidos, e a maneira é dar sinal. Este livro adota a convenção mais comum: giro anti-horário é positivo; giro horário é negativo. Ela vale para toda a série, e em cada conta o polo e o sentido são declarados antes de qualquer número.
Repare em como o torque se desenha: como um arco de giro em volta do polo, com a ponta indicando o sentido, e na cor da força que o produz. Torque não é uma seta reta, porque não é um deslocamento nem uma força; é um giro. O tamanho do arco cresce com o valor do torque — o cano da chave de roda desenhou um arco maior que a chave sozinha.
| Sentido do giro | Sinal do torque |
|---|---|
| anti-horário | positivo (+) |
| horário | negativo (−) |
Um exemplo de soma. Sobre uma roda agem duas forças: uma de 30 N a 0,2 m do eixo, girando no sentido horário, e outra de 20 N a 0,5 m, girando no sentido anti-horário. Os torques são −30 × 0,2 = −6 N·m e +20 × 0,5 = +10 N·m; a soma é +4 N·m, e a roda gira no sentido anti-horário, apesar de a força maior ser a outra. A força menor venceu porque tinha mais braço.
Dica ENEM
Dica ENEM: o sinal é a metade da resposta
Numa questão com duas forças girando em sentidos opostos, o ENEM quase sempre pergunta para que lado o corpo gira ou quanto falta para equilibrar. Calcule cada torque com o sinal, some, e leia o sinal do resultado. A alternativa que soma os módulos sem sinal está lá de propósito.
A segunda condição: torque zero
Agora as duas perguntas do equilíbrio viram duas equações. Um corpo extenso está em equilíbrio quando a soma das forças é zero e a soma dos torques, em relação a qualquer polo, é zero: ΣF = 0 e Στ = 0. As duas, sempre. Um corpo que satisfaz só a primeira pode estar girando; um que satisfaz só a segunda pode estar acelerando em linha reta.
Tome a barra da figura, de peso desprezível, apoiada a 1 m da ponta esquerda, com 600 N pendurados nessa ponta e 300 N na ponta direita, a 2 m do apoio. Polo no apoio; anti-horário positivo. Os 600 N, à esquerda do apoio, puxam a ponta esquerda para baixo e giram a barra no sentido anti-horário: +600 × 1 = +600 N·m. Os 300 N, à direita, giram no sentido horário: −300 × 2 = −600 N·m. A soma é zero, e a barra não gira. Falta a primeira condição: a normal do apoio, para cima, tem de equilibrar os 900 N para baixo, logo N = 900 N. Duas condições, duas contas, uma barra parada.
Definição
As duas condições de equilíbrio
- Primeira: ΣF = 0 — a soma vetorial das forças é zero (o corpo não acelera).
- Segunda: Στ = 0 — a soma dos torques em relação a um polo é zero (o corpo não gira).
- Para uma barra com forças de um lado e do outro do apoio, a segunda condição vira a igualdade dos giros: F₁ × d₁ = F₂ × d₂. É a fórmula da alavanca, que o capítulo 2 estuda por inteiro.
A barra apoiada é a versão de mesa do que aconteceu no canal. A balsa menor tinha a primeira condição — a água a sustentava — e perdeu a segunda: o torque da carga, de um lado, ficou maior do que o torque que o peso da balsa e do lastro faziam do outro. "Equilíbrio é resultante zero" é uma frase incompleta, e incompleta o suficiente para derrubar dois guindastes.
O polo é escolha
Um detalhe da definição costuma passar despercebido: o torque depende do polo. A mesma força tem braço diferente em relação a pontos diferentes. Então, para conferir a segunda condição, em relação a que ponto se somam os torques? A resposta é a mais confortável possível: se o corpo está em equilíbrio, a soma dos torques é zero em relação a qualquer polo. Você escolhe.
E, se pode escolher, escolha com inteligência. Uma força cuja linha de ação passa pelo polo tem braço zero e torque zero: ela desaparece da equação. Por isso a regra prática é colocar o polo na força que você não conhece. Na barra apoiada, se a incógnita é a normal do apoio, ponha o polo no apoio: a normal some, e a equação fica só com os pesos, 600 × 1 = 300 × 2. Se em vez disso o polo for a ponta esquerda, os 600 N somem, e a equação N × 1 = 300 × 3 devolve N = 900 N — o mesmo valor que a primeira condição deu. As duas contas concordam porque o corpo está em equilíbrio; se não concordassem, algo estaria errado nos dados ou no desenho.
Dica ENEM
Dica ENEM: antes de qualquer conta, declare o polo
Escreva "torques em relação ao apoio" (ou "à dobradiça", ou "à borda") antes de multiplicar qualquer coisa. O examinador monta alternativas com braços medidos de pontos diferentes; se o polo está declarado, o braço de cada força fica inequívoco. E lembre: em equilíbrio, qualquer polo serve — o esperto é o que anula a força desconhecida.
A balsa: a carga fora do centro
Volte ao canal, agora com números. O peso do tabuleiro não está no resumo do laudo, então o que segue é um modelo declarado, não a reconstituição do acidente: uma balsa que, com o guindaste em cima, pesa 900 t, tudo centrado no meio do casco; e uma carga de 300 t pendurada na ponta da lança, a 10 m do centro. A pergunta é simples: para onde vai o centro de gravidade do conjunto?
O centro de gravidade do conjunto é o ponto em que o peso total, 1 200 t, pode ser considerado aplicado. Ele fica na posição em que os torques dos dois pesos, em relação a ele, se cancelam — ou, o que dá no mesmo, na média das posições ponderada pelos pesos. Polo no centro da balsa: os 900 t têm braço zero; os 300 t têm braço 10 m; o peso total, 1 200 t, tem de produzir o mesmo torque que a carga sozinha: 1 200 × x = 300 × 10, logo x = 3 000 ÷ 1 200 = 2,5 m. O centro de gravidade anda 2,5 m para o lado da carga. Em newtons, com g = 10 m/s², a carga de 300 t vale 3 × 10⁶ N, e o torque dela em relação ao centro, 3 × 10⁶ × 10 = 3 × 10⁷ N·m, é o giro que o outro lado precisa desfazer.
Quem desfaz é a água. Uma balsa flutua porque a água a empurra para cima — o empuxo, que os capítulos 8 e 9 estudam —, e essa força age no centro da parte submersa. Quando a balsa aderna, a parte submersa muda e o empuxo se desloca para o lado que afundou, criando um torque de restauração. Mas esse deslocamento tem limite: a borda do casco. Neste modelo, se o centro de gravidade do conjunto sai mais do que o casco consegue compensar — se a borda que sustenta está a menos de 2,5 m do centro —, a balsa aderna sem volta. É por isso que o lastro importa: água bombeada para o lado oposto ao da carga desloca o centro de gravidade de volta, e é por isso que o laudo aponta o lastro mal distribuído. Sem ele, e com objetos extras do lado errado, a margem era zero.
Atenção
Modelo não é laudo
Os números desta seção — 900 t, 300 t, 10 m — são de um modelo escolhido para a conta fechar de cabeça. Os números reais do acidente que o resumo do laudo traz são outros: capacidades nominais de 400 t e 700 t, transporte de 100 m, carga a cem por cento, lastro mal distribuído, sem margem. O peso do tabuleiro não consta desse resumo, e o livro não o inventa.
A tabela de carga: momento de carga
Todo guindaste vem com uma tabela que diz quanto ele levanta a cada distância do mastro. Ela parece uma lista de números sem padrão — 400 t aqui, 100 t ali —, mas é uma multiplicação só. O que limita o guindaste não é a força que o cabo aguenta: é o torque que a carga faz em relação à base, o produto do peso pela distância horizontal até o mastro. Esse produto tem nome no ofício: momento de carga.
Compare as duas posições da figura: 400 t a 3 m do mastro dão 400 × 3 = 1 200 t·m; 100 t a 12 m dão 100 × 12 = 1 200 t·m. Para o guindaste é o mesmo giro. A unidade "tonelada vezes metro" é a que os fabricantes usam; para passar a newton-metro basta trocar toneladas por newtons, 1 t = 10⁴ N, e 1 200 t·m viram 1,2 × 10⁷ N·m. A tabela de carga é, portanto, a curva de um momento constante: quanto mais longe a carga, menos o guindaste levanta, na proporção exata do braço.
O que segura o momento da carga é o momento do contrapeso do outro lado do mastro — a mesma barra apoiada da seção da segunda condição, agora em tamanho de obra.
Contrapeso de 40 t a 5 m do mastro; carga de 20 t na lança. Polo na base; a carga gira para um lado, o contrapeso para o outro. Até que distância a carga pode ir? Torque zero: 20 × d = 40 × 5, logo d = 200 ÷ 20 = 10 m. A 10 m os dois torques se cancelam; além disso, o giro da carga vence o giro do contrapeso e o guindaste tomba. Numa máquina real há margens de segurança e o próprio peso da lança entra na conta, mas a lógica é esta — e "carregados a cem por cento da capacidade nominal" significa exatamente estar sobre o número da tabela, sem folga para o tabuleiro balançar ou para o vento soprar.
Atenção
Cem por cento é margem zero
A tabela de carga é um limite, não uma meta. Carga na capacidade nominal quer dizer que o torque da carga já iguala o que a máquina foi feita para segurar; qualquer movimento da carga, qualquer rajada, qualquer água de lastro no lugar errado vira torque a mais. Foi assim no canal — e é assim numa barra apoiada com o peso na ponta.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos problemas de torque há um passo antes dos três, e ele é obrigatório: declare o polo e o sentido positivo.
Exemplo 1 — A chave de roda e o cano
Uma pessoa aplica 200 N na ponta de uma chave de roda de 0,3 m, perpendicularmente ao cabo. Depois encaixa um cano no cabo e aplica os mesmos 200 N a 1 m do eixo da porca. Qual é o torque sobre a porca em cada caso?
Fórmula. τ = F × d (polo no eixo da porca; força perpendicular, braço = distância ao ponto de aplicação)
Substituição. com a chave: τ = 200 × 0,3 ; com o cano: τ = 200 × 1
Resultado. 60 N·m com a chave ; 200 N·m com o cano
Conferência. 200 ÷ 60 ≈ 3,3: o torque cresceu na razão dos braços, 1 ÷ 0,3. A força não mudou; o cano é braço.
Exemplo 2 — A força inclinada na porta
Uma força de 50 N é aplicada numa porta a 0,4 m da dobradiça, fazendo 30° com o plano da porta (seno de 30° = 0,5). Qual é o torque em relação à dobradiça? E se a mesma força fosse perpendicular à porta?
Fórmula. τ = F × d, com d = distância do polo à linha de ação = 0,4 × sen 30° (polo na dobradiça)
Substituição. d = 0,4 × 0,5 = 0,2 m ; τ = 50 × 0,2 ; perpendicular: τ = 50 × 0,4
Resultado. 10 N·m inclinada ; 20 N·m perpendicular
Conferência. o braço da força inclinada caiu à metade, e o torque também. Puxando rumo à dobradiça, o braço seria zero e a porta não abriria.
Exemplo 3 — A barra apoiada: as duas condições
Uma barra de peso desprezível e 3 m de comprimento está apoiada a 1 m da ponta esquerda. Nessa ponta há 600 N; na ponta direita, 300 N. Verifique se a barra está em equilíbrio e calcule a força do apoio.
Fórmula. torques em relação ao apoio, anti-horário positivo: Στ = +F₁ × d₁ − F₂ × d₂ ; forças: N = F₁ + F₂
Substituição. Στ = +600 × 1 − 300 × 2 = 600 − 600 ; N = 600 + 300
Resultado. Στ = 0 (não gira) ; N = 900 N
Conferência. com o polo na ponta esquerda, N × 1 = 300 × 3 e N = 900 N — outro polo, a mesma normal.
Exemplo 4 — Até onde a carga pode ir
Contrapeso de 40 t a 5 m do mastro; carga de 20 t na lança. A que distância do mastro os dois torques se igualam?
Fórmula. Στ = 0 (polo na base): carga × d = contrapeso × 5 m
Substituição. 20 × d = 40 × 5 → d = 200 ÷ 20
Resultado. d = 10 m
Conferência. a carga é metade do contrapeso, então precisa do dobro do braço: 2 × 5 = 10 m. Em newton-metro, com 1 t = 10⁴ N: 2 × 10⁵ × 10 = 2 × 10⁶ N·m de cada lado. Além dos 10 m, o giro da carga vence.
Exemplo 5 — A balsa do modelo
Balsa e guindaste, 900 t, centrados no casco; carga de 300 t pendurada a 10 m do centro (modelo declarado). Quanto o centro de gravidade do conjunto se desloca, e qual é o torque da carga em relação ao centro, em newton-metro?
Fórmula. (peso total) × x = (carga) × (braço da carga), polo no centro ; τ = F × d com F = m × g
Substituição. 1 200 × x = 300 × 10 → x = 3 000 ÷ 1 200 ; F = 300 000 × 10 = 3 × 10⁶ N ; τ = 3 × 10⁶ × 10
Resultado. x = 2,5 m ; τ = 3 × 10⁷ N·m
Conferência. 2,5 m é um quarto do braço da carga, e a carga é um quarto do peso total — a proporção fecha. Para trazer o centro de gravidade de volta ao meio seriam precisos, por exemplo, 600 t de lastro a 5 m do outro lado: 600 × 5 = 3 000 t·m, o mesmo momento da carga.
Radar ENEM
O ENEM cobra este capítulo com objetos de casa: porta, maçaneta, chave, alicate, gangorra, e a pergunta clássica é onde aplicar a força para obter mais torque. A resposta é sempre a mesma — longe do eixo, em ângulo reto —, e a alternativa errada mais frequente é a que confunde torque com força.
Trinta newtons a 0,1 m da dobradiça dão 3 N·m; os mesmos 30 N a 0,9 m dão 27 N·m — nove vezes o torque com a mesma força, e é por isso que a maçaneta fica longe da dobradiça. Os outros formatos são a barra ou gangorra em equilíbrio (dois pesos, um apoio: F₁ × d₁ = F₂ × d₂, pedindo o peso, o braço ou a posição do apoio), o sentido do giro com duas forças opostas (some os torques com sinal) e, cada vez mais, a força inclinada, em que o braço é a distância vezes o seno do ângulo. Em todos, a chave é a mesma: polo declarado, braço até a linha de ação, sinal.
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Chamar o torque de força — a resposta em newton quando a pergunta é em newton-metro, ou o contrário (Exemplo 1).
- Medir o braço até o ponto, não até a linha de ação — numa força inclinada, esquecer o seno (Exemplo 2).
- Fechar só a primeira condição — somar as forças e declarar equilíbrio sem conferir os torques (Exemplo 3).
- Medir braços de polos diferentes na mesma equação — declare o polo uma vez e meça tudo a partir dele (Exemplo 4).
- Dividir ao contrário — na alavanca, F₁ × d₁ = F₂ × d₂; a força menor fica com o braço maior, nunca o inverso (Exemplo 5).
Resumo em cinco peças
- Torque é força vezes braço: τ = F × d. O braço é a distância do polo à linha de ação da força; força que passa pelo polo tem torque zero.
- A unidade é o newton-metro, e torque não é força. O sentido de giro tem sinal: anti-horário positivo, horário negativo; torque se desenha como arco, não como seta.
- Equilíbrio de um corpo extenso exige duas condições: ΣF = 0 e Στ = 0. A balsa tinha a primeira e não tinha a segunda.
- O polo é escolha: em equilíbrio, qualquer polo dá soma zero. Escolha o que anula a força que você não conhece.
- Quanto mais longe a carga, menos o guindaste levanta: o limite é o momento de carga, peso vezes distância. Cem por cento da tabela é margem zero.
Se for guardar uma frase só, guarde a balsa: a água a sustentava, a resultante era zero, e ela virou mesmo assim — porque a segunda conta ninguém fez.
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