Capítulo 2A barra que levanta um carro com o peso de um braço
Alavancas e máquinas simples
Dá-me um ponto de apoio e moverei a Terra, disse Arquimedes; ninguém moveu a Terra, mas uma barra de dois metros e vinte, apoiada a vinte centímetros da ponta, levanta a roda de um carro de uma tonelada com duzentos e cinquenta newtons — o peso de um braço.
Neste capítulo você vai
- Escrever a alavanca como a segunda condição de equilíbrio em torno do apoio, F × d = R × r, e ler a vantagem mecânica na razão dos braços
- Classificar uma alavanca pelo que fica no meio — apoio, carga ou força — e prever se ela poupa força ou ganha curso
- Mostrar que a máquina simples divide a força e multiplica o caminho na mesma proporção: o trabalho é o mesmo, e a energia não se cria
Assista ao episódio 2
Este capítulo acompanha o episódio 2 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: a frase de dois mil anos e uma barra de dois metros e vinte
"Dá-me um ponto de apoio e moverei a Terra." A frase é atribuída a Arquimedes, que viveu na Sicília no século III antes da nossa era, e quem a registrou foi Pappus de Alexandria, um matemático que escreveu seiscentos anos depois. A frase grega não diz o tamanho da barra, e a história que costuma acompanhá-la — Arquimedes teria prometido ao rei de Siracusa mover qualquer peso, e movido sozinho um navio carregado com um sistema de máquinas — chegou até nós em versões que divergem no modo como ele fez isso. Ninguém moveu a Terra. Mas a ideia por trás da frase é verdadeira e mensurável, e cabe numa oficina.
Tome uma barra de aço de 2,2 m e um bloco firme para servir de apoio. Encaixe a ponta da barra sob a roda de um carro de uma tonelada e coloque o apoio a 20 cm dessa ponta. Sobram 2 m de barra do outro lado do apoio, e é ali que fica a mão. O carro pesa 1 000 kg × 10 m/s² = 10 000 N, e uma roda carrega cerca de um quarto disso: 2 500 N. Para levantar essa roda, a mão precisa fazer, na outra ponta, 250 N — a força com que a Terra puxa uma massa de 25 kg. É o peso de um braço apoiado sobre a barra, e pouco mais.
A conta que produz o 250 é a do capítulo 1. Torque é força vezes braço, e um corpo parado que continua parado tem a soma dos torques igual a zero. A barra é um corpo extenso com um único ponto de apoio; em relação a esse apoio, a roda gira a barra para um lado e a mão gira para o outro, e os dois giros se cancelam: 250 N a 2 m fazem o mesmo torque que 2 500 N a 0,2 m. Dez vezes o braço, um décimo da força. Isso é uma alavanca, e é o assunto deste capítulo.
O capítulo começa mostrando, na seção da alavanca, que a alavanca é a segunda condição de equilíbrio com um só apoio; define a vantagem mecânica e mostra como ela se lê nos braços; organiza as três classes de alavanca pelo lugar do apoio; leva a frase de Arquimedes a sério, com número, para descobrir onde está o limite; e responde, na seção do trabalho, a uma pergunta que a prova adora: se a força caiu a um décimo, quem pagou a diferença.
A alavanca é torque zero com um apoio
Uma alavanca é uma barra rígida que pode girar em torno de um ponto fixo, o ponto de apoio, e sobre a qual agem duas forças de interesse: a que se quer vencer, chamada força resistente (a roda do carro, a pedra, a tampa), e a que se aplica para vencê-la, chamada força potente (a mão). O nome antigo das duas continua na prova; este livro também vai dizer "carga" e "força da mão", que é o que elas são.
O capítulo 1 ensinou a fazer esta conta com método. Primeiro, declare o polo: torques em relação ao apoio. Segundo, o sentido positivo: anti-horário. Na figura, a carga R, à esquerda do apoio, empurra a ponta esquerda para baixo e gira a barra no sentido anti-horário: torque +R × r, com r o braço da carga. A mão F, à direita, empurra a ponta direita para baixo e gira no sentido horário: torque −F × d, com d o braço da mão. Equilíbrio de giro é soma zero: +R × r − F × d = 0, ou seja, F × d = R × r. É a fórmula da alavanca, e ela não é uma lei nova: é a segunda condição de equilíbrio, Στ = 0, escrita para uma barra com um apoio.
Definição
Alavanca
- Alavanca é uma barra rígida que gira em torno de um ponto de apoio (também chamado fulcro).
- Braço de cada força é a distância do apoio até a linha de ação dela — na barra horizontal com forças verticais, é a distância ao longo da barra, medida a partir do apoio.
- Condição de equilíbrio da alavanca: os torques da força potente e da força resistente, em relação ao apoio, se cancelam: F × d = R × r. A força fica com a letra, o braço com a distância; potente com potente, resistente com resistente.
Na barra do caso, r = 0,2 m e d = 2 m — e repare que os dois braços se medem a partir do apoio, não a partir da ponta. A barra tem 2,2 m; ninguém usa o 2,2 na conta. Com R = 2 500 N: F × 2 = 2 500 × 0,2 = 500, logo F = 500 ÷ 2 = 250 N. A ponta da barra não escorrega debaixo da roda porque o atrito estático a segura no lugar — a Mecânica I tratou dele —, e o apoio não sai do chão pelo mesmo motivo.
Falta a primeira condição, que a alavanca costuma esconder. A barra recebe 2 500 N para baixo na ponta da carga e 250 N para baixo na ponta da mão; quem sustenta tudo isso é o apoio, com uma força para cima de 2 500 + 250 = 2 750 N. O bloco de apoio, portanto, sente mais do que a roda: sente a roda e a mão juntas. Esse detalhe é o que a prova pergunta quando quer separar quem decorou a fórmula de quem entendeu as duas condições.
Atenção
O braço se mede do apoio — e até a linha de ação
Na alavanca, a tentação é medir as distâncias a partir da ponta da barra ou usar o comprimento total. O braço de cada força vai do apoio até a linha de ação da força. Numa barra de 2,2 m apoiada a 0,2 m da ponta, os braços são 0,2 m e 2 m — o 2,2 não aparece na conta. E, se a força não for perpendicular à barra, vale o que o capítulo 1 mostrou: o braço é a perpendicular do polo à linha de ação, menor que a distância ao ponto.
Vantagem mecânica: braço maior, força menor
Se F × d = R × r, então F = R × (r ÷ d). A força que a mão faz é a carga multiplicada pela razão entre os dois braços; quando o braço da mão é maior que o da carga, a razão é menor que um, e a mão faz menos força do que a carga que sustenta. O inverso dessa razão tem nome: vantagem mecânica, a quantidade de vezes que a alavanca "multiplica" a força.
Definição
Vantagem mecânica
Vantagem mecânica (VM) de uma alavanca é a razão entre a força resistente e a força potente, que, pela condição de equilíbrio, é igual à razão entre o braço da potente e o braço da resistente: VM = R ÷ F = d ÷ r. VM maior que 1: a alavanca reduz a força necessária. VM menor que 1: a alavanca exige mais força do que a carga — e, como a seção das classes mostra, isso às vezes é o que se quer.
Na barra do caso, VM = 2 ÷ 0,2 = 10, e 2 500 ÷ 250 = 10 também — as duas contas têm de dar o mesmo número, e dão. A tabela abaixo mantém a carga e o braço da roda e encurta o braço da mão, para mostrar como a força cresce quando a alavanca encolhe.
| Braço da mão | Braço da roda | Força na mão |
|---|---|---|
| 2 m | 0,2 m | 250 N |
| 1 m | 0,2 m | 500 N |
| 0,4 m | 0,2 m | 1 250 N |
Com 1 m de braço, a mão já precisa de 500 N — o dobro; com 0,4 m, 1 250 N, que é mais do que a maioria das pessoas consegue empurrar para baixo com os braços. O pé de cabra do pedreiro, a chave de roda do capítulo 1 e a barra do caso são a mesma máquina em três tamanhos: o que muda é a razão dos braços. E é por isso que o mecânico do capítulo 1 encaixou um cano no cabo da chave — ele não aumentou a força; aumentou o braço, e com ele a vantagem mecânica.
Dica ENEM
Dica ENEM: leia a razão dos braços antes de calcular
Quase toda questão de alavanca pode ser resolvida sem a fórmula escrita: a força é inversamente proporcional ao braço. Braço quatro vezes maior, força quatro vezes menor. Se a alternativa que você marcou dá uma força maior para o braço maior, a conta foi invertida — a força menor fica sempre com o braço maior. Confira a razão antes de conferir o número.
As três classes de alavanca
Uma alavanca tem três pontos que importam: o apoio, o ponto da carga e o ponto da força. O que muda de uma alavanca para outra é qual dos três fica no meio, e é esse critério que define as três classes. A fórmula não muda; muda o desenho, e com ele o que a alavanca consegue fazer.
Na alavanca interfixa, o apoio fica entre a carga e a força: é a gangorra, a tesoura, o alicate, o pé de cabra e a barra do caso. A vantagem mecânica pode ser maior ou menor que 1, conforme o apoio esteja mais perto da carga ou da mão. Na alavanca inter-resistente, a carga fica no meio, entre o apoio e a força: é o carrinho de mão, cujo apoio é o eixo da roda, e o quebra-nozes, cujo apoio é a dobradiça. Como a força está sempre mais longe do apoio que a carga, a vantagem mecânica é sempre maior que 1 — essa classe existe para poupar força. Na alavanca interpotente, a força fica no meio, entre o apoio e a carga: é a pinça, a vara de pescar e o antebraço quando levanta um peso na mão, com o cotovelo servindo de apoio e o músculo puxando entre o cotovelo e a mão. Aqui a força está mais perto do apoio que a carga, a vantagem mecânica é menor que 1, e a alavanca perde força. Ela existe mesmo assim porque ganha outra coisa: a ponta anda mais que a mão, e mais depressa — é o que se quer numa pinça e numa vara.
| Classe | O que fica no meio | Exemplos |
|---|---|---|
| interfixa | o apoio | gangorra, tesoura |
| inter-resistente | a carga | carrinho de mão |
| interpotente | a força | pinça, vara de pescar |
Definição
As três classes
- Interfixa: apoio no meio. VM maior ou menor que 1, conforme a posição do apoio.
- Inter-resistente: carga no meio. VM sempre maior que 1: economiza força.
- Interpotente: força no meio. VM sempre menor que 1: gasta mais força e ganha curso e velocidade na ponta.
A conta é a mesma nas três — F × d = R × r, polo no apoio. Só o desenho muda.
A gangorra é a alavanca interfixa mais estudada da prova, porque nela a carga e a força são dois pesos, e a pergunta é onde cada um senta. Uma criança de 30 kg senta a 2 m do apoio; onde deve sentar uma criança de 60 kg para a gangorra ficar na horizontal? Polo no apoio: 60 × r = 30 × 2, logo r = 60 ÷ 60 = 1 m. Aqui é permitido usar as massas em vez dos pesos, porque g multiplica os dois lados da igualdade e se cancela; a resposta é a mesma com 600 N e 300 N. A criança mais leve senta longe; a mais pesada, perto. Nenhuma das duas "faz força": cada uma tem o seu peso, e a alavanca ajusta os braços.
"Moverei a Terra": o limite não está na lei
Voltemos à frase. Se a fórmula da alavanca não tem exceção, então uma pessoa de 60 kg pode, em princípio, equilibrar qualquer carga: basta a razão dos braços ser grande o suficiente. Tome a carga mais absurda possível — a própria Terra, de massa 6 × 10²⁴ kg — e pergunte que razão de braços a fórmula pede. Como g se cancela, a conta fica nas massas: d ÷ r = 6 × 10²⁴ ÷ 60 = 10²³. O braço da mão teria de ser cem mil bilhões de bilhões de vezes maior que o braço da carga.
O número não é o fim da história; é o começo. Numa alavanca as duas pontas giram juntas em torno do apoio, e a ponta com braço maior percorre um arco proporcionalmente maior — a seção seguinte mede isso com cuidado. Com a razão 10²³, cada centímetro que a Terra descesse exigiria que a mão descesse 10²³ cm, que são 1021 m, ou 1018 km: um bilhão de bilhões de quilômetros, mais de cem mil anos-luz — a mão teria de atravessar uma galáxia inteira para a Terra se mover um centímetro. E ainda faltaria o ponto de apoio, que Arquimedes pediu e que não existe fora da Terra para sustentá-la. A frase, lida com número, ensina o que ela sempre quis ensinar: a lei da alavanca não tem limite; o limite está no mundo — no comprimento da barra, no lugar do apoio e no caminho que a mão teria de percorrer.
Atenção
A anedota é anedota, e a conta é modelo
A frase de Arquimedes foi registrada seiscentos anos depois dele, e a história do navio movido com máquinas chegou em versões que não combinam entre si. Este capítulo usa a frase como o que ela é: uma imagem. A conta da razão de braços é um exercício de pensamento — não existe apoio fora da Terra, e a Terra não é uma carga pousada numa barra. O que a conta mostra é real: a alavanca troca braço por força sem limite na fórmula, e cobra a diferença em distância.
A máquina não cria trabalho
A alavanca do caso dividiu a força por dez. Alguém pagou por isso, e a Mecânica II já disse quem: o trabalho, força vezes deslocamento, é o que se conserva numa máquina, não a força. Quando a barra gira em torno do apoio, a ponta da carga e a ponta da mão percorrem arcos, e esses arcos são proporcionais aos braços — a ponta com braço dez vezes maior anda dez vezes mais. Para a roda subir 5 cm, a mão desce 50 cm.
Faça as duas contas de trabalho. Sobre a roda, a barra aplica 2 500 N ao longo de 0,05 m: W = 2 500 × 0,05 = 125 J. Na mão, a pessoa aplica 250 N ao longo de 0,5 m: W = 250 × 0,5 = 125 J. O mesmo número. A alavanca recebeu 125 J da mão e entregou 125 J à roda; dividiu a força por dez e multiplicou o deslocamento por dez, e o produto ficou igual. Numa barra real, com peso próprio e atrito no apoio, a mão entrega um pouco mais do que a roda recebe — a máquina nunca devolve mais do que recebeu, e em geral devolve menos.
Definição
Trabalho numa máquina simples
- Trabalho de uma força constante ao longo de um deslocamento na mesma direção é força × deslocamento, em joules (colheita da Mecânica II).
- Numa máquina simples ideal, sem atrito e sem peso próprio, o trabalho que entra é igual ao trabalho que sai: F × (deslocamento da mão) = R × (deslocamento da carga).
- Na alavanca, os deslocamentos das pontas são proporcionais aos braços; por isso F × d = R × r e a igualdade dos trabalhos são a mesma afirmação vista de dois lados.
Pense num câmbio de carro. Na marcha reduzida, o motor sobe a ladeira com pouco esforço em cada volta, mas precisa girar muitas voltas para o carro andar pouco; na marcha alta, cada volta do motor leva o carro longe, e o esforço por volta é grande. A alavanca é um câmbio de força: a barra do caso é uma marcha reduzida, que troca dez vezes o caminho por um décimo da força, na mesma moeda, o trabalho. É por isso que a frase "a alavanca multiplica a força" é verdadeira e a frase "a alavanca multiplica a energia" é falsa. Força ela multiplica; energia, não — e é esse par que a prova gosta de misturar.
Atenção
Multiplica força, não energia
Uma alavanca — e toda máquina simples — pode reduzir a força necessária tanto quanto se queira, à custa de aumentar o caminho na mesma proporção. Ela não cria trabalho nem energia; no melhor caso, transmite o que recebeu. "Levantou o carro com pouca força, logo gastou pouca energia" é a frase errada: a energia gasta é a mesma de levantar a roda diretamente, e um pouco mais.
Máquinas simples no dia a dia
A barra do caso tem parentes por toda parte, e vale a pena reconhecê-los pela posição do apoio. O pé de cabra é uma alavanca interfixa com o apoio quase encostado na carga: com 0,6 m de braço para a mão e 0,05 m para a ponta, a vantagem mecânica é 0,6 ÷ 0,05 = 12, e 100 N de mão viram 1 200 N na ponta, o suficiente para arrancar um prego ou levantar a borda de uma laje — números de exercício, para a conta ficar redonda. O carrinho de mão é inter-resistente: a roda é o apoio, a carga fica na caçamba, e as mãos, no fim dos cabos, longe do eixo, sustentam uma fração da carga; o Exemplo 3 faz a conta. A tesoura e o alicate são duas alavancas interfixas unidas pelo mesmo apoio, o parafuso; por isso se corta com a parte da lâmina mais perto do parafuso o que é mais duro. E a chave de roda do capítulo 1, com o cano no cabo, é a mesma ideia com o giro contínuo em torno do eixo da porca.
O nome máquina simples cobre mais do que alavancas. A rampa, a roldana e o parafuso também trocam força por caminho: empurrar uma caixa por uma rampa longa e suave exige menos força do que erguê-la na vertical, mas o caminho é maior, e o trabalho, o mesmo. O capítulo 7 volta a essa família com uma máquina que não tem barra nenhuma — a prensa hidráulica, em que a alavanca é feita de óleo e a razão dos braços vira razão de áreas. A regra da seção do trabalho vale para todas: força cai, caminho sobe, trabalho igual.
Uma última pergunta fica plantada para o capítulo 3. A alavanca tem um apoio, um ponto, e em torno dele se calcula tudo. Mas uma torre, um caminhão, um armário não se apoiam num ponto: apoiam-se numa base, uma região inteira do chão. Quando o apoio é o chão inteiro, o que decide se o corpo fica em pé ou tomba? A resposta continua sendo Στ = 0 — só que o polo passa a ser a borda da base, e o peso, aplicado no centro de gravidade, passa a ser a força que gira.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos problemas de alavanca, o passo anterior aos três é o do capítulo 1: polo no apoio, braços medidos do apoio.
Exemplo 1 — Levantar a roda do carro
Um carro de 1 000 kg tem uma roda que carrega um quarto do peso. Uma barra de 2,2 m é apoiada a 0,2 m da ponta enfiada sob a roda. Que força a mão deve aplicar na outra ponta, perpendicular à barra, para sustentar a roda? Use g = 10 m/s².
Fórmula. R = (m × g) ÷ 4 ; torques em relação ao apoio: F × d = R × r, com d = 2,2 − 0,2 = 2 m e r = 0,2 m
Substituição. R = 1 000 × 10 ÷ 4 = 2 500 N ; F × 2 = 2 500 × 0,2 = 500 → F = 500 ÷ 2
Resultado. F = 250 N
Conferência. a vantagem mecânica é 2 ÷ 0,2 = 10, e 2 500 ÷ 250 = 10. Os 250 N são a força com que a Terra puxa 25 kg — um braço apoiado. O apoio sustenta 2 500 + 250 = 2 750 N.
Exemplo 2 — A gangorra
Uma criança de 30 kg senta a 2 m do apoio de uma gangorra. A que distância do apoio, do outro lado, deve sentar uma criança de 60 kg para a gangorra ficar na horizontal? Despreze o peso da tábua.
Fórmula. torques em relação ao apoio: m₁ × g × r₁ = m₂ × g × r₂ ; g se cancela: m₁ × r₁ = m₂ × r₂
Substituição. 30 × 2 = 60 × r₂ → r₂ = 60 ÷ 60
Resultado. r₂ = 1 m
Conferência. massa dobrada, braço pela metade. Com pesos, 300 × 2 = 600 × 1 = 600 N·m de cada lado — o mesmo resultado.
Exemplo 3 — O carrinho de mão
Um carrinho de mão leva 600 N de carga, aplicados a 0,5 m do eixo da roda. As mãos seguram os cabos a 1,5 m do eixo. Desprezando o peso do carrinho, que força as mãos fazem, e que força o chão faz na roda?
Fórmula. torques em relação ao eixo da roda (o apoio): F × 1,5 = 600 × 0,5 ; forças: N + F = 600
Substituição. F = 300 ÷ 1,5 ; N = 600 − 200
Resultado. F = 200 N ; N = 400 N
Conferência. alavanca inter-resistente, VM = 1,5 ÷ 0,5 = 3, e 600 ÷ 200 = 3. A roda fica com dois terços da carga e as mãos com um terço: 400 + 200 = 600 N.
Exemplo 4 — A pinça
Numa pinça, os dedos apertam a 3 cm da dobra, que é o apoio, e o objeto é segurado pelas pontas, a 9 cm da dobra. Se os dedos aplicam 3 N, que força as pontas aplicam no objeto? E quanto as pontas se movem quando os dedos se fecham 1 cm?
Fórmula. torques em relação à dobra: F × d = R × r (d = 3 cm, r = 9 cm) ; curso das pontas = curso dos dedos × (r ÷ d)
Substituição. 3 × 3 = R × 9 → R = 9 ÷ 9 ; curso das pontas = 1 × (9 ÷ 3)
Resultado. R = 1 N ; as pontas andam 3 cm
Conferência. alavanca interpotente, VM = 3 ÷ 9 = 1/3: a pinça perde força e ganha curso — as pontas andam três vezes mais que os dedos. É o que se quer para pegar algo pequeno com delicadeza.
Exemplo 5 — Quem pagou pela força
Na barra do Exemplo 1, a roda sobe 5 cm. Quanto a mão desce, quanto trabalho a mão realiza e quanto trabalho a barra realiza sobre a roda?
Fórmula. descida da mão = subida da roda × (d ÷ r) ; W = F × deslocamento
Substituição. descida = 0,05 × (2 ÷ 0,2) = 0,05 × 10 ; mão: W = 250 × 0,5 ; roda: W = 2 500 × 0,05
Resultado. a mão desce 0,5 m ; mão: 125 J ; roda: 125 J
Conferência. a força caiu a um décimo e o deslocamento subiu dez vezes; o produto não mudou. A alavanca não deu nada de graça — e, com atrito no apoio, a mão gastaria um pouco mais do que 125 J.
Radar ENEM
O ENEM cobra este capítulo com o item mais frequente de toda a estática: F × d = R × r, com a pergunta escondida na força, no braço ou na posição do apoio. O distrator preferido é a conta invertida: a força maior no braço maior.
Carga de 800 N a 0,5 m do apoio, mão a 2 m: F × 2 = 800 × 0,5 = 400, logo F = 200 N. Quem inverter os braços chega a 3 200 N, e a alternativa estará lá. Os outros formatos são a classificação de um objeto do cotidiano ou do corpo nas três classes (a pinça e o antebraço são interpotentes; o carrinho de mão e o quebra-nozes, inter-resistentes; a tesoura e a gangorra, interfixas), a vantagem mecânica como razão dos braços, e a pergunta conceitual sobre trabalho: "com a alavanca, a pessoa realiza menos trabalho?" Não — realiza a mesma quantidade, com menos força e mais caminho. A alavanca poupa força, não energia.
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Inverter a proporção — dar à força maior o braço maior; a força menor fica sempre com o braço maior (Exemplo 1).
- Usar o comprimento total da barra como braço — os braços se medem do apoio, e a soma deles é o comprimento (Exemplo 1).
- Esquecer a primeira condição — o apoio sustenta a carga e a força juntas, não só a carga (Exemplo 3).
- Achar que toda alavanca economiza força — a interpotente gasta mais força para ganhar curso (Exemplo 4).
- Confundir força com trabalho — menos força não é menos trabalho; a mão anda mais (Exemplo 5).
Resumo em cinco peças
- A alavanca é a segunda condição de equilíbrio com um apoio: torques em relação ao apoio, F × d = R × r. Os braços se medem do apoio.
- Vantagem mecânica é a razão dos braços, d ÷ r, igual à razão das forças, R ÷ F. Braço maior, força menor — sempre nessa ordem.
- Três classes, um critério: quem fica no meio. Apoio no meio, interfixa; carga no meio, inter-resistente (poupa força); força no meio, interpotente (gasta força, ganha curso).
- A força cai e o caminho sobe na mesma proporção: o trabalho é o mesmo. A máquina simples não cria energia.
- "Moverei a Terra": a lei da alavanca não tem limite; o mundo tem — no comprimento da barra e no caminho da mão.
Se for guardar uma frase só, guarde a barra: dois metros e vinte, apoio a vinte centímetros da ponta, e a roda de um carro de uma tonelada sobe com duzentos e cinquenta newtons — porque a mão desce dez vezes mais do que a roda sobe.
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