Capítulo 12As quinhentas e setenta e cinco toneladas que a asa segura

Vazão, Bernoulli na asa e o fecho da mecânica

Quinhentas e setenta e cinco toneladas. Oitocentos e quarenta e cinco metros quadrados de asa. A diferença de pressão entre a face de cima e a de baixo é sete por cento de uma atmosfera — e é só isso que segura o maior avião de passageiros do mundo no ar.

O caso: a asa que levanta um prédio

O maior avião de passageiros do mundo tem dois andares e 80 m de envergadura, de ponta a ponta de asa. Fez o primeiro voo em 27 de abril de 2005. Decola com até 575 t — o peso máximo de decolagem da versão de 2012; a original saía com 560 t — e pousa com até 386 t. As duas asas somam 845 m² de área de referência, e é por essa área que se divide tudo neste capítulo.

Divida o peso pela asa. Quinhentas e setenta e cinco toneladas, com g = 10 m/s², pesam 5,75 × 10⁶ N — cinco milhões e setecentos mil newtons. Espalhados por 845 m², dão 5,75 × 10⁶ ÷ 845 ≈ 6 800 Pa. A pressão atmosférica ao nível do mar é 10⁵ Pa; 6 800 são 6,8 por cento dela — cerca de sete por cento. Esse é o caso inteiro: a sustentação do maior avião de passageiros do mundo exige que a pressão na face de cima da asa seja, em média, apenas sete por cento menor que na face de baixo. Setenta gramas de força a menos em cada centímetro quadrado de cima. Só isso — vezes oitocentos e quarenta e cinco metros quadrados — levanta um prédio.

O capítulo 11 terminou com o cruzador de 1911: ninguém o puxou; a água mais lenta do lado de fora, com a pressão cheia, empurrou. A asa é a mesma história, com o ar no lugar da água e um lado só. A seção da asa mostra por que o ar corre mais rápido em cima. A seção da sustentação faz a conta do caso: diferença de pressão vezes área. A seção do mito desmonta a explicação errada mais famosa da física escolar — "o ar de cima tem de chegar junto" — e põe no lugar dela a terceira lei de Newton. A seção da velocidade tira de Bernoulli a regra da decolagem: a sustentação cresce com a densidade do ar e com o quadrado da velocidade. A seção do cruzeiro sobe a 11 km, onde o ar tem 30 por cento da densidade e está a 56 graus e meio abaixo de zero. E a seção final fecha a série — e a mecânica — com uma pergunta só: quem segura?

A asa é um Venturi de um lado só

Lembre o tubo de Venturi do capítulo 11: onde a seção aperta, a continuidade obriga o fluido a correr mais rápido, e Bernoulli desconta isso da pressão. Agora tire a metade de baixo do tubo e deixe só a parede de cima — e faça essa parede curva, abaulada, como o dorso de uma asa. O ar que passa por cima da asa encontra um caminho que se aperta contra as camadas de ar acima dele e é obrigado a acelerar, como no estreito do rio; as linhas de corrente se adensam sobre o dorso. O ar que passa por baixo, numa face quase plana e um pouco inclinada contra o vento, corre mais devagar — e, com a asa inclinada, é até freado e empurrado para baixo. Mais rápido em cima, mais devagar embaixo.

A regra do capítulo 11 faz o resto. Ao longo de uma linha de corrente, para o fluido ideal, p + ρ × v² ÷ 2 + ρ × g × h é constante; as duas faces da asa estão praticamente na mesma altura, e a parcela ρ × g × h some. Onde a velocidade é maior, a pressão é menor: a pressão sobre o dorso da asa é menor que a pressão sob a barriga. E a pressão só empurra. O ar de baixo, mais lento e com a pressão maior, empurra a asa para cima com mais força do que o ar de cima, mais rápido e com a pressão menor, empurra a asa para baixo. O saldo aponta para cima. É a sustentação — a mesma força que empurrou o cruzador, que juntou as duas folhas e que arranca o telhado, agora segurando um avião.

A asa tem uma diferença em relação ao Venturi: o lado de baixo é livre, e o ar pode ser desviado — é esse desvio, como a seção do mito vai mostrar, que faz a asa funcionar. Guarde as duas metades: a velocidade diferente explica a diferença de pressão, e a diferença de pressão vezes a área é a força.

Sustentação é diferença de pressão vezes área

A pressão é força por área — foi a primeira frase do capítulo 4, e é a última conta da série. Se a face de baixo da asa recebe uma pressão média p₂ e a face de cima uma pressão média p₁, menor, a força para cima que sobra é a diferença vezes a área: L = Δp × S, com Δp = p₂ − p₁ e S a área da asa. É exatamente a construção do empuxo no capítulo 8 — a pressão de baixo maior que a de cima, e a diferença vezes a área virando uma força para cima —, agora no ar, e com a diferença produzida pela velocidade em vez da profundidade.

Agora a conta do caso, em três tempos. O que a asa tem de segurar, em voo nivelado, é o peso: L = m × g = 575 000 × 10 = 5,75 × 10⁶ N. Com o g medido, 9,81 m/s², seriam 5,64 milhões; a diferença é a que este livro assume desde a Mecânica I. A diferença de pressão necessária é Δp = L ÷ S = 5,75 × 10⁶ ÷ 845 ≈ 6 800 Pa — com os valores exatos, 6 670 Pa. E a comparação que dá sentido ao número: 6 800 ÷ 100 000 = 0,068, 6,8 por cento da pressão atmosférica ao nível do mar (6,6 com os exatos). O capítulo arredonda para "sete por cento", e declara o arredondamento.

Ponha esse número na palma da mão. Um centímetro quadrado é 10⁻⁴ m²; 6 800 Pa sobre 10⁻⁴ m² são 0,68 N, o peso de 68 g. Em cada centímetro quadrado do dorso da asa, o ar empurra com setenta gramas de força a menos do que na face de baixo. É muito pouco — mas há 8,45 milhões de centímetros quadrados, e 8,45 milhões vezes 68 g são 575 t. A lição da hidrostática inteira, pela última vez: a pressão é pequena por unidade de área; a área é enorme; a força é o produto.

O pouso confirma a conta pelo outro lado. O avião pousa com no máximo 386 t; a diferença de pressão necessária cai para 3,86 × 10⁶ ÷ 845 ≈ 4 600 Pa — 4,6 por cento da atmosfera. E a asa grande é uma vantagem no pouso: com mais área, a mesma sustentação sai com menos diferença de pressão, e por isso com menos velocidade — este avião pousa cerca de vinte nós, uns 37 km/h, mais devagar do que outros aviões grandes de asa menor. Mais asa é menos velocidade para o mesmo peso, como a seção da velocidade vai escrever em fórmula.

O mito do tempo igual e a terceira lei

Há uma explicação da sustentação que está em muitos livros e está errada. Ela diz: o dorso da asa é mais comprido que a barriga; o ar que se divide no bordo de ataque tem de "chegar junto" no bordo de fuga; para percorrer o caminho maior no mesmo tempo, o ar de cima precisa ser mais rápido — e daí Bernoulli. Chama-se "teoria do tempo igual de trânsito", e nada na física obriga duas porções de ar a se reencontrar. Medido em túnel de vento, o ar de cima chega ao bordo de fuga antes do ar de baixo. Se o tempo igual fosse a causa, uma asa simétrica não voaria, e um avião não poderia voar de cabeça para baixo; os dois voam, com o ângulo certo.

A explicação certa cabe em duas frases, e uma delas é do capítulo 11 da Mecânica I. A asa, curva e inclinada, desvia o ar para baixo: o ar chega horizontal e sai, atrás do bordo de fuga, com uma componente para baixo — a figura mostra as linhas de corrente saindo inclinadas. Para desviar o ar, a asa fez força sobre ele, para baixo. Pela terceira lei de Newton, o ar faz sobre a asa uma força igual e oposta: para cima. Essa é a sustentação, contada pelo lado de Newton. E não é outra força: o ar empurra a asa pela pressão em cada ponto da superfície — menor em cima e maior embaixo, exatamente como Bernoulli descreve. Bernoulli conta a força pela distribuição de pressão; Newton, pelo ar desviado. As duas contas dão o mesmo número, porque são a mesma força.

O ângulo entre a asa e o ar que chega se chama ângulo de ataque: mais ângulo, mais ar desviado para baixo, mais sustentação — até o limite em que o ar descola do dorso e a sustentação despenca, o estol. Na decolagem e no pouso, com o avião lento, o piloto abre os flapes, superfícies do bordo de fuga que aumentam a curvatura e a área da asa, para conseguir a mesma sustentação com menos velocidade. Em cruzeiro os flapes recolhem e a asa fica "limpa". Esse detalhe vai decidir a conta do cruzeiro.

Sustentação cresce com ρ e com v²

A diferença de pressão entre as faces da asa nasce, por Bernoulli, da parcela ρ × v² ÷ 2 — a energia cinética por metro cúbico do ar que chega. Quanto mais denso o ar e quanto mais rápido ele passa, maior a diferença de pressão que a asa produz, e maior a sustentação. A forma da asa e o ângulo de ataque decidem que fração dessa parcela vira diferença de pressão; essa fração é um número sem unidade, o coeficiente de sustentação, C. A fórmula dos engenheiros é a parcela de Bernoulli vezes a área vezes o coeficiente:

A velocidade de decolagem sai daí, com uma estimativa declarada: coeficiente 1,6, típico de asa com flapes abertos. Isole v: v² = 2 × L ÷ (ρ × S × C) = 2 × 5,75 × 10⁶ ÷ (1,2 × 845 × 1,6) = 11 500 000 ÷ 1 622 ≈ 7 100. A raiz é v ≈ 84 m/s, e 84 × 3,6 ≈ 300 km/h. Trezentos por hora, pela conta; o piloto tem a tabela, que depende do peso do dia, da temperatura e do vento — mas a ordem de grandeza é essa, e a conta a produziu com quatro números: o peso, a área, a densidade do ar e um coeficiente. Com metade da asa, a mesma sustentação pediria v maior por um fator √2 — cerca de 40 por cento mais velocidade, e pista muito mais longa.

Na decolagem, com 575 t, a asa precisa produzir 6 800 Pa de diferença; no pouso, com 386 t, 4 600 Pa bastam. A fórmula diz quanto isso vale em velocidade: v cai com a raiz do peso, √(386 ÷ 575) ≈ 0,82 — com o mesmo coeficiente, o pouso pede cerca de 82 por cento da velocidade da decolagem.

A 11 km: ar fino, asa limpa, avião mais leve

O avião cruza a cerca de 11 km de altitude. O capítulo 4 mostrou que a atmosfera é uma coluna que afina: a essa altura, a pressão é 22 por cento da pressão ao nível do mar — 22 632 Pa, contra 101 325 — e a densidade do ar é 30 por cento — 0,36 kg/m³, contra 1,2. E a temperatura é −56,5 °C. O ar que sustenta o avião lá em cima é fino e frio. A fórmula da sustentação diz, na hora, que a velocidade não pode ser a mesma: com 30 por cento da densidade, ρ × v² ÷ 2 só produz a mesma diferença de pressão se v² for 3,3 vezes maior — ou seja, se v for √3,3 ≈ 1,8 vezes maior. Só pela densidade, o avião precisaria ir a 1,8 × 300 ≈ 540 km/h. E não é isso que ele faz: o cruzeiro real é cerca de 900 km/h.

Faltam duas coisas, e as duas são estimativas declaradas. A primeira é a asa: em cruzeiro os flapes estão recolhidos, a asa está limpa, e o coeficiente de sustentação cai muito — este livro assume C = 0,5, contra 1,6 na decolagem: três vezes menos sustentação por metro quadrado, na mesma parcela de Bernoulli. A segunda é o peso: o avião já queimou parte do combustível, e este livro assume 500 t em cruzeiro, L = 5 × 10⁶ N. Refaça a conta: v² = 2 × L ÷ (ρ × S × C) = 2 × 5 × 10⁶ ÷ (0,36 × 845 × 0,5) = 10⁷ ÷ 152 ≈ 65 700; v ≈ 256 m/s, e 256 × 3,6 ≈ 920 km/h. Cerca de novecentos por hora — que é o cruzeiro real, Mach 0,85 naquele ar fino e frio. A conta fecha porque a asa limpa pede mais velocidade do que a densidade sozinha pediria, e o avião mais leve pede um pouco menos; o resultado cai onde o avião de fato voa.

Essa última frase é a pergunta que o ENEM faz. Um aeroporto a grande altitude tem ar mais rarefeito; um dia muito quente também deixa o ar menos denso — a temperatura, que a mecânica nunca perguntou o que é, muda a densidade, e a densidade muda a sustentação. Com números de exercício: se a densidade cai de 1,2 para 1,0 kg/m³, a velocidade de decolagem sobe por um fator √(1,2 ÷ 1,0) ≈ 1,095, cerca de dez por cento — os 300 km/h viram uns 330 —, e a pista, cuja distância cresce com v², cerca de 20 por cento. No calor e na altitude, aviões decolam mais leves ou usam pistas mais longas.

O fecho: quem segura

Este é o último capítulo de uma série que começou com dois guindastes tombando com uma ponte no gancho e termina com uma asa segurando um avião no ar. A pergunta foi sempre a mesma — quem segura? — e a resposta mudou de nome a cada bloco, sem mudar de exigência. Nos capítulos 1 a 3, quem segura é o torque: a balsa tinha resultante zero e não tinha torque zero, e tombou; a torre não cai enquanto a projeção do centro de gravidade cair dentro da base. Nos capítulos 4 a 7, quem segura é a pressão, força por área, e a coluna de fluido faz pressão: o mercúrio de Torricelli, a esfera a mil atmosferas, a prensa. Nos capítulos 8 a 10, quem segura é o empuxo, que nasce da diferença de pressão entre a face de baixo e a de cima de um corpo submerso. E nos capítulos 11 e 12 o fluido se move, a velocidade se paga com pressão, e a mesma diferença de pressão vezes área que segura o navio na água segura o avião no ar.

Vale escrever a exigência uma última vez. Um corpo em equilíbrio tem ΣF = 0 e Στ = 0, as duas condições, sempre as duas. O avião em voo nivelado é um caso de equilíbrio: a sustentação equilibra o peso — ΣF = 0 na vertical —, a tração dos motores equilibra o arrasto — ΣF = 0 na horizontal —, e a cauda, com sua pequena asa horizontal, ajusta o torque em torno do centro de gravidade para que Στ = 0 e o avião não gire. É a balsa do capítulo 1, resolvida: as duas condições satisfeitas, com 575 t no ar. A mecânica inteira, das Mecânicas I a IV, coube nessa exigência e nas leis de Newton que a sustentam.

Falta uma coisa, e ela é a próxima história. O ar que sustenta o avião a 11 km está a 56 graus e meio abaixo de zero. Este livro usou a temperatura duas vezes — no cume do capítulo 10, onde a água ferve a 71 graus, e no dia quente que alonga a pista — e nunca perguntou o que ela é. Toda a mecânica mediu forças, energias, órbitas e pressões, e não perguntou. A pergunta fica plantada aqui: o que é temperatura? É o assunto da próxima série, a Termodinâmica — temperatura, calor e fases.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo, a pergunta que vem antes é: a questão dá a diferença de pressão, ou a velocidade e a densidade? Se dá Δp, a sustentação é Δp × S; se dá ρ, v e a asa, é ρ × v² ÷ 2 × S × C, com o coeficiente no enunciado.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo de quatro maneiras. A primeira é Bernoulli na asa, qualitativo: o ar mais rápido em cima, a pressão menor, o ar de baixo empurrando — com a pegadinha do "tempo igual" plantada entre as alternativas, como distrator já cobrado. A segunda é sustentação e velocidade ao quadrado: dobrar a velocidade quadruplica a força; dobrar a força pede √2 na velocidade. A terceira é a densidade do ar: por que o avião precisa de pista mais longa em aeroporto alto ou em dia quente. A quarta é a terceira lei na asa: a asa empurra o ar para baixo; o ar empurra a asa para cima.

Com números de exercício: uma asa de 20 m² com 500 Pa de diferença média entre as faces produz 500 × 20 = 10 000 N, o peso de 1 t. Um avião pequeno de 1 080 kg, asa de 20 m² e coeficiente 1,0 decola, no ar de 1,2 kg/m³, quando ρ × v² ÷ 2 × S × C = 10 800 N: v² = 2 × 10 800 ÷ (1,2 × 20 × 1,0) = 900, v = 30 m/s, 108 km/h. E uma asa que produz 8 000 N a 40 m/s produz, a 80 m/s, quatro vezes mais: 32 000 N.

Resumo em cinco peças

1. Equilíbrio são duas contas: ΣF = 0 e Στ = 0. Torque é força vezes braço, medido até a linha de ação, com o polo declarado; e o centro de gravidade tem de cair dentro da base de apoio.
2. Pressão é força por área, e a coluna faz pressão: p = p₀ + ρ × g × h — do mercúrio de Torricelli, 76 cm por uma atmosfera, à esfera do Trieste, a mais de mil atmosferas.
3. Pascal transmite, Arquimedes empurra: F₁ ÷ A₁ = F₂ ÷ A₂ na prensa, e E = ρ × V × g no corpo submerso — o empuxo nasce da diferença de pressão entre baixo e cima, e quem flutua é a densidade média.
4. Fluido em movimento: Q = A × v, e Bernoulli, p + ρ × v² ÷ 2 + ρ × g × h constante ao longo da linha de corrente — rápido é pressão baixa, e o lado lento empurra.
5. A asa: sete por cento de uma atmosfera vezes 845 m² seguram 575 t — L = Δp × S, e L cresce com ρ × v². O que segura o que está parado e o que voa é a mesma diferença de pressão.

Se for guardar uma frase só, guarde a pergunta da série: quem segura? A resposta muda de nome — torque, pressão, empuxo, sustentação —, mas a exigência é sempre a mesma: resultante zero, e torque zero. E o ar que segura o avião a 11 km está a 56 graus e meio abaixo de zero: o que é temperatura é a próxima história.

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