Capítulo 1O pêndulo que mostrou a Terra girando

Oscilação, período e o pêndulo simples

Paris, 1851: um peso de vinte e oito quilos balança na ponta de um fio de sessenta e sete metros, e o risco que ele deixa na areia vira onze graus a cada hora, sem que ninguém toque no pêndulo. O que virou — o pêndulo ou o chão?

O caso: o risco que virou na areia

Paris, 1851. Do alto da cúpula do Panteão desce um fio de 67 m, e na ponta dele está um peso de 28 kg — chumbo revestido de latão, em forma de gota, com uma ponta de aço embaixo. A um palmo do piso de pedra, um anel de areia espera essa ponta. Léon Foucault solta o peso, e ele começa a balançar: cerca de dezesseis segundos para ir e voltar. A cada ida e volta, a ponta corta a areia e deixa um risco.

Quem olha vê o peso ir e vir no mesmo plano, como se nada mudasse. Mas os riscos vão se virando, um pouquinho a cada vez, como o ponteiro de um relógio muito lento. Uma hora depois, o risco novo está 11,3° virado em relação ao primeiro. Ninguém tocou no pêndulo, e ninguém na sala sente o chão se mover — e, no entanto, antes de o dia seguinte acabar, a linha riscada já deu a volta inteira.

A série anterior do canal terminou com uma xícara que esfria — o tempo andando. Esta começa com um jeito de ver a Terra andar. E deixa uma pergunta só: o que virou, o pêndulo ou o chão? Para respondê-la, o capítulo precisa de quatro palavras — oscilação, amplitude, período e frequência —, de uma fórmula que diz quem manda no ritmo de um pêndulo, e de uma volta pela sala do Panteão com a conta já feita.

Oscilação: o vaivém em torno do equilíbrio

Um pêndulo solto não vai embora. Ele passa pelo ponto mais baixo, sobe de um lado, para, volta, passa de novo pelo meio, sobe do outro lado, para, e volta. O ponto do meio, onde o fio fica na vertical, é o ponto de equilíbrio: é onde o pêndulo descansaria se ninguém o tivesse tirado de lá.

O pêndulo não está sozinho. A corda de um violão vibra em torno da posição reta; a criança no balanço da praça vai e vem em torno do ponto mais baixo; um átomo num cristal treme em torno do seu lugar. Todos têm um ponto de equilíbrio e voltam para ele. Esta série inteira é sobre coisas que fazem isso — e, a partir do capítulo 3, sobre o que acontece quando esse vaivém passa de um lugar para outro.

Período e frequência: a mesma informação lida de dois jeitos

O tempo que uma ida e volta completa leva — sair de um lado, chegar ao outro e voltar ao mesmo lado — é o período. No pêndulo do Panteão, 16,3 s. Agora leia a mesma coisa ao contrário: em vez de perguntar quanto dura uma ida e volta, pergunte quantas cabem num segundo. Essa é a frequência.

Período é quanto dura uma vez; frequência é quantas vezes cabem num segundo. São a mesma informação lida de dois jeitos — como "quilômetros por litro" e "litros por quilômetro" no consumo de um carro. Um período longo é uma frequência baixa; um período curto é uma frequência alta. O pêndulo do Panteão, com 16,3 s de período, tem frequência de cerca de 0,06 Hz: bem menos de uma oscilação por segundo.

O lustre de Galileu: o balanço grande e o pequeno levam o mesmo tempo

Conta-se que, em 1581, um estudante de dezessete anos ficou olhando um lustre balançar numa catedral. O lustre tinha sido empurrado, e o balanço ia diminuindo: primeiro largo, depois cada vez mais curto. O estudante não tinha relógio — ninguém tinha, ainda — e mediu com o próprio pulso, contando as batidas do coração de uma ida e volta. E notou o que ninguém esperava: o balanço largo e o balanço curto levavam o mesmo tempo. O estudante se chamava Galileu; o relato é atribuído a um discípulo dele, por isso o "conta-se".

Por que não demora mais o balanço maior? Porque, com ele, o peso percorre mais caminho, mas também corre mais rápido no meio: começa mais alto e ganha mais velocidade na descida. As duas coisas se compensam. Isso vale enquanto o balanço é pequeno em relação ao fio — e é por isso que a física diz "pequenas oscilações".

Quase um século depois, em 1657, o holandês Christiaan Huygens transformou a descoberta em máquina: o relógio de pêndulo. Pela primeira vez uma coisa que balança media o tempo — e media bem justamente porque o empurrão não precisava ser exato: o período não depende do tamanho do balanço, só de um fio do comprimento certo.

Só o fio e a gravidade

Se o tamanho do balanço não manda no período, o que manda? Ponha dois pêndulos de mesmo fio e massas bem diferentes — uma esfera pequena e uma grande — e solte-os juntos do mesmo ângulo. Eles vão e voltam batendo juntos, ida após ida. A massa não entra. Agora troque: mesma esfera, fios diferentes. O de fio curto vai e volta depressa; o de fio longo, devagar. O comprimento do fio manda. E a gravidade também manda: o mesmo pêndulo na Lua, onde ela é menor, balançaria mais devagar.

Repare no que está dentro da raiz e no que não está. Dois pi é uma constante; a raiz quadrada é o que faz o fio mandar menos do que parece — a seção seguinte mostra quanto. E a fórmula guarda a palavra "simples": ela trata o peso como um ponto e o fio como sem massa. No Panteão, um peso de 28 kg num fio de 67 m é uma excelente aproximação disso.

A raiz quadrada: quatro vezes o fio, o dobro do tempo

A raiz quadrada tem uma consequência que o exame adora: quadruplicar o que está dentro dela só dobra o que sai. Um fio de 1 m dá um período de cerca de 2 s; um fio de 4 m, cerca de 4 s — quatro vezes mais fio, o dobro do tempo, não quatro vezes. Para o triplo do período, nove vezes o fio; para o quádruplo, dezesseis vezes.

Agora o fio do Panteão faz sentido. Foucault queria um balanço lento, que durasse horas sem empurrão e deixasse o risco virar devagar o bastante para todo mundo ver. Com 67 m, o período sobe a 16,3 s — mais de oito vezes o de um pêndulo de um metro. A primeira exibição, semanas antes, foi numa sala menor, com um fio mais curto; o Panteão veio porque só um fio daquele tamanho cabia ali.

E esse ritmo é do pêndulo: ele não escolhe o período pela força do empurrão; escolhe pelo fio. Todo pêndulo tem o seu ritmo, como um metrônomo tem o dele. Esse ritmo próprio vai ganhar um nome nesta série — frequência natural — e, mais adiante, vai estilhaçar uma taça e fechar uma ponte.

O plano de oscilação fica; o chão gira

De volta ao Panteão, com a conta feita. O risco na areia virou 11,3° em uma hora, e ninguém tocou no pêndulo. Quem virou? Pense no que segura o pêndulo: o fio, preso lá em cima, e a gravidade, que puxa para baixo. Nenhum dos dois empurra o pêndulo de lado. Então o plano em que ele balança não tem motivo para mudar — e não muda.

O que gira é o chão, o prédio, Paris inteira, a Terra — por baixo do pêndulo. O pêndulo risca sempre a mesma linha; é o piso que entra girando sob ela. Para quem está em pé no piso, girando junto, parece que é o risco que vira, no sentido horário. A série da gravidade já tinha dito que a Terra gira; este pêndulo é a primeira prova que se vê a olho nu, dentro de uma sala, sem olhar para o céu.

No polo, um dia; no equador, nunca; em Paris, quase trinta e duas horas

Se a Terra dá uma volta por dia, por que em Paris a linha leva quase 32 horas para fechar o círculo, e não 24? Porque depende de onde o pêndulo está.

No polo, o chão gira em torno do próprio pêndulo, como um prato girando em torno de um pino: a linha dá a volta em um dia. No equador, a linha não gira: o chão só desliza por baixo dela, sem virar. Em Paris, no meio do caminho entre os dois, o giro é de 11,3° por hora, e a volta leva quase 32 horas — mais do que um dia. A conta com a latitude fica para outra ocasião; o que importa aqui é que o pêndulo não sabe nada disso. Ele só balança no plano em que foi solto. Quem decide o tempo da volta é o lugar da Terra em que o chão está girando por baixo dele.

Movimento harmônico simples: o nome do vaivém

Falta o nome do vaivém. Olhe o pêndulo perto do equilíbrio: quanto mais longe ele está do meio, mais forte a gravidade o puxa de volta para o meio. No meio, a força que o traz de volta é zero — e ele passa por ali na velocidade máxima. Nas pontas, a força é máxima — e ele para por um instante. No balanço da praça dá para sentir isso no corpo.

Nas figuras deste livro, força e velocidade ganham seta: são vetores. Período, frequência e amplitude, não: são números, e aparecem num cronômetro, num gráfico ou numa cota.

O pêndulo só é harmônico de verdade em pequenas oscilações — o lustre de Galileu de novo. Mas existe um objeto que é harmônico em qualquer amplitude: uma massa presa numa mola. A força da mola cresce com o quanto ela é esticada — a lei da mola que a série das forças mostrou —, e esse é o movimento harmônico simples de livro. É ele que, no capítulo 2, vai medir o maior terremoto já registrado.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números e o resultado com a unidade. Neste capítulo a fórmula de quase todas é a do pêndulo, T = 2π√(L ÷ g), com g = 10 m/s² e 2π = 6,28. Uma regra antes de substituir: o comprimento do fio em metros.

Radar ENEM

O exame cobra este capítulo de quatro jeitos. O primeiro é a fórmula e as proporções: T = 2π√(L ÷ g) — quadruplica o fio, dobra o período; leva o pêndulo para a Lua, onde a gravidade é menor, e o período cresce. O segundo é a pergunta de sempre: o período depende da massa? Não — e, em pequenas oscilações, também não depende da amplitude. O terceiro é período contra frequência: um é o inverso do outro. O quarto é o gráfico da posição contra o tempo, com o período lido de crista a crista.

Um pêndulo tem período de 1,5 s. O fio é quadruplicado e a esfera é trocada por outra com o dobro da massa. Qual é o novo período? Só o fio conta: período × √4 = × 2, logo 1,5 × 2 = 3 s. Os distratores? "6 s", para quem multiplica pelo fator do fio sem a raiz; "4,2 s", para quem faz a massa dupla entrar como mais um fator √2 (1,5 × 2 × 1,41); "0,75 s", para quem acha que fio maior acelera o pêndulo; e "1,5 s", para quem acha que só a amplitude mudaria o período.

Resumo em cinco peças

1. Oscilação é o vaivém em torno do ponto de equilíbrio; amplitude é o maior afastamento.
2. Período é quanto dura uma ida e volta; frequência é quantas cabem num segundo — f = 1 ÷ T, em hertz.
3. No pêndulo, T = 2π√(L ÷ g): só o fio e a gravidade mandam — fio × 4, período × 2.
4. Massa e amplitude pequena não mudam o período; todo pêndulo tem o seu ritmo.
5. O plano de oscilação fica e o chão gira por baixo: em Paris, a linha leva quase 32 horas para fechar a volta.

Se for guardar uma frase só, guarde a pergunta do Panteão: antes de dizer que algo girou, girou em relação a quê?

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