Capítulo 2A agulha que desenhou o maior terremoto já medido

Massa-mola e energia no movimento harmônico

Sul do Chile, 1960: o chão treme por dez minutos, e tudo sacode — casas, pontes, o próprio prédio do instrumento. Menos uma massa pendurada numa mola, que tenta ficar onde está. Como uma coisa parada mede um planeta em movimento?

O caso: tudo sacode, menos uma coisa

Sul do Chile, 22 de maio de 1960, três e onze da tarde. O chão começa a tremer — e treme por cerca de dez minutos. É o terremoto mais forte já registrado por instrumentos, com magnitude estimada entre 9,4 e 9,6. A ruptura corre uns 800 km ao longo da costa; horas depois, do outro lado do Pacífico, ondas de mais de dez metros chegam ao Havaí. As estimativas de mortos vão de mil a seis mil.

Casas, pontes, o próprio prédio onde fica o instrumento: tudo sacode. Menos uma coisa. Dentro de uma caixa parafusada no chão, uma massa pendurada numa mola tenta ficar onde está — e a agulha presa nela desenha no papel o tamanho exato do que o chão fez. Em salas de instrumentos do mundo inteiro, agulhas como essa riscam o mesmo tremor, cada uma com o seu atraso.

O capítulo 1 mostrou a Terra girando com um pêndulo que ficava no mesmo plano. Este mostra a Terra tremendo com uma massa que fica no mesmo lugar. E deixa uma pergunta: como uma coisa parada mede um planeta em movimento? Para respondê-la, o capítulo precisa da lei da mola, de uma fórmula que diz quem manda no ritmo da massa, de um passeio pela energia durante uma ida e volta, da leitura do gráfico — e, no fim, de uma volta por dentro do sismógrafo.

A mola que puxa de volta

Ponha uma massa sobre um chão sem atrito, presa por uma mola numa parede. Com a mola relaxada, a massa fica parada: esse é o ponto de equilíbrio. Puxe a massa para a direita e solte: a mola puxa para a esquerda. Empurre para a esquerda: a mola empurra para a direita. A força da mola sempre aponta de volta para o equilíbrio.

E não é só o sentido. A série das forças mostrou a lei da mola: a força cresce com o quanto a mola é esticada ou comprimida. O dobro do estiramento, o dobro da força.

Com uma mola de k = 100 N/m, puxar a massa 0,1 m dá uma força de 10 N; puxar 0,2 m dá 20 N. Uma força que sempre aponta para o equilíbrio e cresce na proporção do afastamento é exatamente a assinatura do movimento harmônico simples, que o capítulo 1 apresentou. O pêndulo só cumpria isso em pequenas oscilações. A massa na mola cumpre em qualquer amplitude — é o movimento harmônico simples de livro.

Quem manda no período

Como todo oscilador, a massa na mola tem o seu ritmo. Quem manda nele? Duas coisas. A massa: mais massa, mais lento — a inércia resiste mais a cada puxão da mola, e a ida e volta demora mais. A mola: mola mais dura, mais rápido — um k maior puxa com mais força, e a ida e volta encurta.

Repare na cara da fórmula: é a do pêndulo, dois pi vezes uma raiz. Mas dentro da raiz mudaram os donos — no pêndulo era o fio sobre a gravidade; aqui é a massa sobre a mola. E a raiz faz o mesmo trabalho de antes: quadruplicar o que está dentro dela só dobra o que sai. Com a mesma mola de 100 N/m:

E com a mola é o contrário, porque k está embaixo da fração: uma mola quatro vezes mais dura dá metade do período; uma quatro vezes mais mole dá o dobro. Massa e mola puxam o período em sentidos opostos — a massa para o lento, a mola dura para o rápido.

O que não entra: a amplitude e a gravidade

O que não está dentro da raiz é tão importante quanto o que está. A amplitude não entra: puxe pouco ou puxe muito, a ida e volta leva o mesmo tempo. Com a massa puxada mais longe, o caminho é maior — mas a mola, mais esticada, puxa mais forte, e a massa corre mais. As duas coisas se compensam, e na mola a compensação é exata, em qualquer amplitude (no pêndulo, só nas pequenas).

A gravidade também não entra. Leve a massa e a mola para a Lua, onde a gravidade é cerca de um sexto da da Terra: elas vão e voltam no mesmo ritmo. O pêndulo, não — no pêndulo, quem puxa de volta é a gravidade, e com ela seis vezes menor o período cresce √6 ≈ 2,45 vezes: quase duas vezes e meia mais lento. Na mola, quem puxa de volta é a própria mola.

E se a mola estiver de pé, com a massa pendurada? A gravidade estica a mola um pouco e muda onde fica o ponto de equilíbrio — mais para baixo. Mas o vaivém em torno desse novo equilíbrio tem o mesmo período da mola deitada. A gravidade escolhe o lugar do meio; o ritmo continua sendo da massa e da mola.

O centro e os extremos

Agora siga a massa por uma ida e volta inteira e pergunte, em cada ponto, duas coisas: que força age nela, e que velocidade ela tem.

No centro, a mola está relaxada: a força é zero — e a massa passa por ali na velocidade máxima, porque passou o caminho todo sendo puxada para lá. Nos extremos, a mola está esticada (ou comprimida) ao máximo: a força é máxima — e a velocidade é zero, porque a massa para por um instante antes de voltar.

É o contrário da intuição: onde a força é maior, a massa está parada; onde não há força, ela está mais rápida. A força não diz para onde a massa vai naquele instante; diz para onde a velocidade está mudando. Nos extremos ela muda mais depressa; no centro, por um instante, não muda.

A energia troca de coluna

A série da energia ensinou a ler um extrato com colunas. Aqui são duas: a energia cinética, do movimento, e a energia elástica, guardada na mola esticada ou comprimida.

Nos extremos, a massa está parada e a mola esticada ao máximo: tudo é elástica. No centro, a mola está relaxada e a massa na velocidade máxima: tudo é cinética. Entre os dois, um pouco de cada — e em todo instante a soma não muda.

A energia da mola cresce com o quadrado do afastamento. Por isso, no meio do caminho entre o centro e o extremo (x = A ÷ 2), a mola guarda só (1/2)² = um quarto da energia total, e os três quartos restantes estão no movimento. E a mesma conta diz o que acontece quando se dobra a amplitude: a energia quadruplica.

O gráfico é uma senoide

Prenda um lápis na massa e puxe uma tira de papel por baixo dela, de lado, em velocidade constante. A massa só vai e volta numa reta; o papel corre; e o lápis deixa uma curva que sobe e desce, suave, sempre igual: uma senoide. É o gráfico de posição contra tempo — a posição da massa num eixo, o tempo no outro, porque o papel anda num ritmo fixo.

Esse gráfico não é o caminho da massa — o caminho é uma reta. Ele é o vaivém esticado no tempo. E nele se leem as duas grandezas do capítulo:

• Amplitude na altura: do eixo até a crista, o maior afastamento.
• Período na largura: de uma crista até a crista seguinte, uma ida e volta inteira.

Dá para ler a velocidade também. Onde a curva cruza o eixo, ela está mais inclinada: a massa está no centro, na velocidade máxima. Nas cristas e nos vales, a curva fica deitada por um instante: a massa parou nos extremos.

O sismógrafo: a massa fica, o chão vai

Puxe de repente uma folha de papel com uma moeda em cima: o papel vai, a moeda fica. O sismógrafo é isso. A mola só existe para a moeda não ir embora.

Dentro de uma caixa parafusada no chão, uma massa grande pende de uma mola mole; presa na massa, uma agulha; presa na caixa, um tambor de papel que gira devagar. Quando o chão treme, a caixa, o tambor e o papel vão junto com ele. A massa, não: pela inércia que a série das forças ensinou, ela tende a ficar onde está. A massa fica, o chão vai — e a agulha, presa na massa quase parada, risca no papel que se mexe exatamente o movimento do chão.

Por que a massa não acompanha? Porque todo oscilador tem o seu ritmo, e o dela foi escolhido de propósito. Massa grande e mola mole dão, por T = 2π√(m ÷ k), um período longo, de vários segundos, enquanto o chão sacode várias vezes por segundo. A mola é lenta demais para arrastar a massa atrás do chão; a massa fica para trás, e a diferença entre os dois é o tremor. Instrumentos desse tipo registram sismogramas desde 1880, no Japão; oitenta anos depois, foram eles que guardaram o tremor do Chile.

E o atraso entre uma sala de instrumentos e outra diz mais uma coisa: o tremor viajou até cada agulha, carregando energia sem carregar o chão do Chile junto. Isso tem nome — onda —, e é o assunto do capítulo 3.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números e o resultado com a unidade. Neste capítulo as fórmulas são T = 2π√(m ÷ k), f = 1 ÷ T e E = k × A² ÷ 2, com 2π = 6,28. Uma regra antes de substituir: massa em quilogramas, afastamento em metros.

Radar ENEM

O exame cobra este capítulo de quatro jeitos. O primeiro é a fórmula e as proporções: T = 2π√(m ÷ k) — quadruplica a massa, dobra o período; mola quatro vezes mais dura, metade do período. O segundo é a energia no vaivém: nos extremos tudo é elástica, no centro tudo é cinética, e é ali que a velocidade é máxima — muitas vezes num gráfico de energia contra posição. O terceiro é a comparação com o pêndulo: na Lua o pêndulo fica mais lento; a massa-mola não muda. O quarto é a leitura do gráfico de posição contra tempo: amplitude do eixo à crista, período de crista a crista.

Uma massa-mola tem período de 0,5 s e energia de 2 J. A massa é quadruplicada e a amplitude é dobrada, na mesma mola. Qual é o novo período? Só a massa conta: período × √4 = × 2, logo 0,5 × 2 = 1 s (a energia, que depende só de k e da amplitude, vai a 2 × 2² = 8 J). Os distratores? "2 s", para quem multiplica pelo fator da massa sem a raiz; "1,41 s", para quem faz a amplitude dupla entrar como mais um fator √2 (0,5 × 2 × 1,41); "0,25 s", para quem acha que mais massa acelera o vaivém; e "0,5 s", para quem leva para a mola a regra do pêndulo, em que a massa não entra.

Resumo em cinco peças

1. Uma força que puxa de volta e cresce com o afastamento — F = k × x — é o movimento harmônico simples, e a mola faz isso exatamente.
2. T = 2π√(m ÷ k): massa e mola mandam; amplitude e gravidade, não — massa × 4, período × 2.
3. No centro, velocidade máxima e força zero; nos extremos, força máxima e velocidade zero.
4. A energia troca de coluna, da mola para o movimento e de volta, e a soma fica: E = k × A² ÷ 2.
5. O gráfico de posição contra tempo é uma senoide — amplitude na altura, período na largura — e é esse traço que uma massa parada deixa quando o chão se mexe.

Se for guardar uma frase só, guarde a resposta do sismógrafo: uma coisa parada mede um planeta em movimento porque tem o seu próprio ritmo, lento demais para acompanhar o chão — e a agulha só escreve a diferença.

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