Capítulo 13A mola sabe quanto você pesa

Lei de Hooke, blocos e polias

Do outro lado do cabo do elevador pende um bloco de ferro que ninguém vê: quando você sobe, ele desce. E a balança da feira não sabe quanto o peixe tem de massa — sabe quanto a mola esticou. Um cabo que reparte forças e uma mola que as mede: é o capítulo inteiro.

O caso: o contrapeso e a balança da feira

Todo elevador esconde um segredo do outro lado do cabo. O cabo que segura a cabine sobe até o alto do poço, passa por uma roldana e desce de novo — e na outra ponta pende um bloco de ferro que ninguém vê: o contrapeso. Quando você sobe, ele desce; quando você desce, ele sobe. Os fabricantes fazem o contrapeso com a massa da cabine vazia mais quase metade da carga que ela pode levar. Uma cabine de 600 kg feita para carregar 800 kg ganha um contrapeso de 600 + 400 = 1 000 kg. Com cinco pessoas de 80 kg lá dentro, os dois lados do cabo têm a mesma massa, 1 000 kg, e o motor quase não faz força: só dá o empurrão e segura a velocidade. E com a cabine vazia acontece o contrário do que se espera: o contrapeso é 400 kg mais pesado, e, se o freio soltasse, a cabine vazia subiria sozinha.

A balança da feira carrega a mesma máquina em miniatura. É um gancho, uma mola e uma escala. O feirante pendura o peixe, a mola estica, o ponteiro para num número — e o número é o que você paga. Só que a balança não sabe quanto o peixe tem de massa. Ela sabe quanto a mola esticou. Quem ensinou a converter uma coisa na outra foi Robert Hooke, no século XVII: a mola estica na proporção da força, e cada centímetro esticado vale um tanto de newton.

Este capítulo começa pela mola, que é uma régua de força, e pelo aparelho que a usa, o dinamômetro. Depois passa para corpos ligados por fio — dois blocos puxados em fila, dois blocos pendurados numa roldana, na máquina de Atwood, um bloco na mesa e outro no ar — e mostra que todos se resolvem com o mesmo método: um diagrama de corpo livre para cada corpo, a segunda lei em cada um. O elevador e a balança do feirante voltam nos exemplos, com números.

A lei de Hooke: a mola é uma régua de força

Uma mola solta tem um comprimento natural. Puxe a ponta e ela fica mais longa; empurre e fica mais curta. A diferença entre o comprimento novo e o natural é a deformação, que este livro chama de x. E a mola reage: puxa de volta quando esticada, empurra de volta quando comprimida, sempre tentando voltar ao comprimento natural. Essa é a força elástica.

O que Hooke mediu é simples: a força elástica é proporcional à deformação. Dobre o quanto a mola está esticada e a força dobra; triplique, e triplica. Em fórmula, F = k × x. O k é a constante elástica da mola, medida em newtons por metro: ele diz quantos newtons a mola faz por metro de deformação, e é a "dureza" da mola. Uma mola de 200 N/m esticada 0,1 m puxa com 200 × 0,1 = 20 N; esticada 0,2 m, com 40 N. Uma mola de 2 000 N/m seria dez vezes mais dura: os mesmos 0,1 m custariam 200 N.

Num gráfico da força contra a deformação, a lei de Hooke é uma reta que passa pela origem, e a inclinação dessa reta é o k. Essa é a régua de força: ler a deformação numa escala é ler a força. A reta vale enquanto a mola volta ao tamanho natural depois de solta; passe do limite e a mola fica deformada para sempre, e a lei deixa de valer. O ENEM fica dentro da reta.

O dinamômetro e a balança de mola

Um dinamômetro é uma mola dentro de um tubo, com uma escala já convertida: em vez de centímetros, a escala mostra newtons. Pendure um corpo no gancho e o ponteiro para no valor da força. Ele mede qualquer força que se aplique nele — um puxão de mão, a tração de um fio, o peso de um bloco.

Veja o bloco de 2 kg pendurado na mola de 200 N/m. O peso é 2 × 10 = 20 N. Diagrama de corpo livre do bloco: o peso para baixo e a força elástica para cima, e mais nada. Parado, a resultante é zero, então a força elástica vale 20 N. Pela lei de Hooke, 200 × x = 20, e x = 20 ÷ 200 = 0,1 m: a mola estica 10 cm. Se o bloco tivesse 1 kg, esticaria 5 cm; com 4 kg, 20 cm. Cada quilograma pendurado nessa mola vale 5 cm de escala.

É exatamente isso que a balança da feira faz. Ela é um dinamômetro com a escala escrita em quilogramas: mede a força no gancho e mostra o número dividido por 10. O peixe que estica a mola 10 cm faz 20 N no gancho, e a escala mostra "2 kg". No capítulo 12 a balança do elevador media a normal; a balança de mola mede a tração do gancho, que é a força elástica. Nas duas, o que se mede é força; o quilograma na escala é uma convenção que só vale onde g é 10 m/s².

Blocos ligados por fio: a mesma aceleração

Amarre dois blocos com um fio e puxe o da frente. Os dois andam juntos: o fio não estica nem afrouxa, então os blocos percorrem a mesma distância no mesmo tempo, e têm a mesma aceleração. Esse é o primeiro fato de todo sistema ligado por fio. O segundo é sobre o fio: ele puxa o bloco de trás para a frente e o bloco da frente para trás, com a mesma tração nas duas pontas, como o cabo de guerra do capítulo 11 mostrou para um fio leve.

Há dois jeitos de olhar, e o bom aluno usa os dois. Olhando o sistema inteiro, a tração é força interna: o fio puxa um bloco para cá e o outro para lá, e as duas se cancelam na soma. Sobra só a força de fora, e ela acelera a massa total. Com 30 N puxando 2 kg e 4 kg em fila, a = 30 ÷ (2 + 4) = 5 m/s². Olhando um bloco só, a tração aparece: no diagrama do bloco de trás, de 4 kg, a única força horizontal é o fio puxando para a frente, então T = 4 × 5 = 20 N. Confira no bloco da frente: 30 N para a frente, 20 N para trás, resultante 10 N, e 10 ÷ 2 = 5 m/s². Fecha.

A polia ideal: muda a direção, não o módulo

Uma polia, ou roldana, é uma roda com uma canaleta por onde o fio passa. Neste livro ela é ideal: sem massa e sem atrito no eixo. Uma polia assim não gasta nada da tração: o fio entra com uma força e sai com a mesma força, só que apontando para outro lado. É por isso que se puxa para baixo para levantar um balde: a tração que a mão faz para baixo é a mesma que o fio faz no balde, para cima. A polia mudou a direção da seta, não o seu tamanho — a mesma seta do capítulo 2, virada.

Para o balde de 5 kg subir em velocidade constante, ou ficar parado no ar, a tração tem de anular o peso: T = 50 N, nem um newton a menos. A polia fixa não deixa a tarefa mais leve; deixa mais cômoda, porque a pessoa pode usar o próprio peso para puxar. Nos sistemas deste capítulo, a polia aparece sempre com esse papel: um fio que desce de um lado e desce do outro, ou que vai na horizontal e depois na vertical, com a mesma tração dos dois lados.

A máquina de Atwood

Pendure um bloco em cada ponta de um fio que passa por uma polia fixa. Isso é a máquina de Atwood, inventada em 1784 para medir a aceleração da gravidade devagar — e é o elevador com o seu contrapeso. Ponha 3 kg de um lado e 2 kg do outro. O lado de 3 kg desce, o de 2 kg sobe, os dois com a mesma aceleração, e a tração é a mesma nos dois lados, porque a polia é ideal.

Agora o método, que vai valer para o resto do capítulo: um diagrama de corpo livre para cada corpo, a segunda lei em cada um, com o eixo positivo no sentido em que cada bloco anda. No bloco de 3 kg, que desce: o peso de 30 N puxa no sentido do movimento e a tração puxa contra, então 30 − T = 3 × a. No bloco de 2 kg, que sobe: a tração puxa no sentido do movimento e o peso de 20 N contra, então T − 20 = 2 × a. Some as duas equações e a tração desaparece: 30 − 20 = (3 + 2) × a, ou seja, a = 10 ÷ 5 = 2 m/s². Volte a qualquer uma delas: T = 20 + 2 × 2 = 24 N. Confira na outra: 30 − 24 = 6, e 3 × 2 = 6.

A soma das duas equações é a receita do sistema inteiro: a diferença dos pesos é o que puxa, e a massa total é o que resiste. Em fórmula, a = g × (m1 − m2) ÷ (m1 + m2), com m1 a massa maior. Com 3 kg e 2 kg: a = 10 × 1 ÷ 5 = 2 m/s². Repare no que a tração não é: não é 30 N, nem 20 N, nem a média. Ela fica entre os dois pesos — maior que o peso do bloco que sobe, para conseguir levantá-lo, e menor que o do bloco que desce, para deixá-lo cair.

O caso do elevador está inteiro nessa caixa. Com meia carga, a cabine e o contrapeso têm a mesma massa, a diferença dos pesos é zero, e o motor só precisa vencer o atrito e dar a partida. Cabine vazia, o contrapeso ganha por 400 kg — e a máquina de Atwood diz para que lado o sistema quer ir.

Bloco na mesa e bloco pendurado

O último arranjo é o mais cobrado. Um bloco de 4 kg está numa mesa lisa; um fio sai dele, passa por uma polia na beirada e segura um bloco de 1 kg no ar. Solte o sistema. O bloco pendurado cai, o da mesa é arrastado, e os dois têm a mesma aceleração, com a mesma tração no fio.

Diagrama do bloco da mesa: peso de 40 N para baixo, normal de 40 N para cima — a mesa é horizontal e não há outra força vertical, então N = P, como o capítulo 12 permite —, e, na horizontal, só a tração, para a direita. Diagrama do bloco pendurado: peso de 10 N para baixo e tração para cima. Segunda lei em cada um, eixo no sentido do movimento: na mesa, T = 4 × a; no ar, 10 − T = 1 × a. Somando, 10 = 5 × a, e a = 2 m/s². Então T = 4 × 2 = 8 N. O atalho do sistema dá o mesmo: o único puxão de fora ao longo do fio é o peso do bloco pendurado, 10 N, e ele acelera a massa total, 5 kg.

O erro clássico é escrever "a tração é 10 N, o peso do bloco pendurado". Se fosse, o bloco de 1 kg teria resultante zero e não cairia. Ele cai, então a tração é menor que o peso; a diferença, 10 − 8 = 2 N, é o que acelera o bloco de 1 kg a 2 m/s². Com atrito na mesa, entra mais uma seta no diagrama do bloco de cima, contra o movimento, e o valor dela é o do capítulo 12, µ × N; o Exemplo 3 resolve o caso liso, e a lista do app cobra o caso com atrito.

A tabela é o atalho; o método é a garantia. Quando o problema pede só a aceleração, a tabela resolve em uma linha. Quando pede a tração, ou quando há atrito, é o diagrama de corpo livre de cada corpo que salva — a regra do capítulo 10, "sem DCL, sem conta", agora com dois corpos de uma vez.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos deste capítulo, antes dos três tempos, vêm os passos que os capítulos 2 e 10 ensinaram, agora para mais de um corpo: desenhar as setas de cada corpo, escolher o eixo no sentido do movimento e escrever a segunda lei em cada diagrama. Nos exemplos de mola, converta a deformação para metros antes de usar k; nos de fio, lembre que a aceleração é uma só e que a tração é a mesma nas duas pontas.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo em quatro formatos. O primeiro é a lei de Hooke direta: dão k e x, ou um gráfico de força contra deformação, e pedem a força, a deformação ou o k, que é a inclinação da reta — com uma armadilha de unidade, porque x costuma vir em centímetros. O segundo é o dinamômetro e a balança de mola: quanto a mola estica com um corpo pendurado, ou qual instrumento marca diferente na Lua. O terceiro são os blocos ligados — em fila, na máquina de Atwood ou na mesa com um bloco pendurado —, sempre com a mesma pergunta escondida: a aceleração é uma só e a tração é interna. O quarto é conceitual: "a polia só muda a direção da força", "a tração é igual ao peso do bloco pendurado", "o fio transmite a força inteira".

Veja a versão que mais aparece: um bloco de 3 kg numa mesa lisa e um de 2 kg pendurado. O peso do pendurado, 20 N, puxa a massa total, 5 kg: a = 20 ÷ 5 = 4 m/s². A tração é o que acelera o bloco da mesa: T = 3 × 4 = 12 N. Entre as alternativas está 20 N, para quem igualou a tração ao peso, e 10 m/s², para quem achou que o bloco pendurado cai em queda livre. Ele não cai livre: está amarrado a 3 kg que resistem.

Resumo em cinco peças

1. Lei de Hooke: F = k × x — a força elástica é proporcional à deformação, e a mola é uma régua de força; a balança de mola mede peso e mostra massa por convenção.
2. Corpos ligados por um fio esticado têm a mesma aceleração; a tração de um fio leve é a mesma nas duas pontas e é força interna ao sistema.
3. A polia ideal muda a direção do fio e mantém o módulo da tração.
4. Máquina de Atwood: a = g × (m1 − m2) ÷ (m1 + m2); a tração fica entre os dois pesos.
5. Diagrama de corpo livre de cada corpo, segunda lei em cada um: as trações somem na soma e sobra a aceleração.

Se for guardar uma frase só, guarde a balança da feira: ela não sabe a massa do peixe; sabe quanto a mola esticou — e Hooke ensinou a converter.

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