Capítulo 3Ida a 60, volta a 40 — e a média não é 50

Velocidade média e movimento uniforme

O motorista foi a 60, voltou a 40 e jurou média 50; o rastreador marcou 48 — as três horas a 40 pesam mais que as duas a 60, e a entrega atrasou doze minutos por essa conta de cabeça.

O caso: o motorista que jurou ter compensado

Entre o depósito e o cliente há 120 km de estrada reta. Na ida, o caminhão foi a 60 km/h. Na volta, com a pista cheia, veio a 40 km/h. Ao chegar, o motorista explicou o atraso com uma conta de cabeça: "fui a 60, voltei a 40, deu 50 de média". O rastreador da transportadora, que registra cada quilômetro e cada minuto, dizia outra coisa: 48 km/h. E a entrega tinha chegado atrasada.

Dois quilômetros por hora de diferença. Parece pouco, mas foram esses dois que atrasaram a entrega — e são esses dois que reprovam muita gente na prova. Onde a conta de cabeça os perdeu? Nas horas. Os 120 km da ida, a 60 km/h, levaram 2 h. Os mesmos 120 km da volta, a 40 km/h, levaram 3 h. O caminhão passou mais tempo devagar do que depressa; logo a velocidade baixa pesa mais na média. No total foram 240 km em 5 h, e 240 dividido por 5 é 48, não 50.

Este capítulo faz três coisas com essa história. Primeiro, define a velocidade média do jeito certo, como o rastreador mede, e mostra na seção da armadilha por que a média das velocidades quase nunca dá a velocidade média. Depois, estuda o movimento mais simples que existe, o movimento uniforme, em que a velocidade não muda, e a função que diz onde o móvel está a cada instante. Por fim, usa essa função para responder à pergunta que a prova mais gosta de fazer com dois carros: onde e quando eles se encontram.

Velocidade média: a conta certa

Velocidade é a grandeza que responde "quanto de posição muda por unidade de tempo". Para calculá-la num trecho inteiro de viagem, a física usa duas medidas que o capítulo 2 já separou: o deslocamento, que é a seta do ponto de partida ao ponto de chegada, e o intervalo de tempo gasto entre uma coisa e outra.

O símbolo dessa conta é o mesmo do capítulo 2: um delta maiúsculo na frente da grandeza quer dizer "variação", final menos inicial. Delta ésse é a variação da posição; delta tê é a variação do tempo. A unidade sai da divisão: metro por segundo no SI, quilômetro por hora na estrada — e a conversão do capítulo 1 continua valendo, com o 3,6 no meio.

Um carro que percorre 300 km em 4 h tem velocidade média de 300 ÷ 4 = 75 km/h. Isso não quer dizer que o ponteiro ficou parado em 75 a viagem inteira. Ele subiu, desceu, talvez tenha parado num posto. A velocidade média apaga esses detalhes de propósito: ela troca o movimento real por um movimento inventado, com velocidade constante, que faria o mesmo deslocamento no mesmo tempo. O Exemplo 1 faz essa conta em três tempos.

Ida e volta: a média vetorial zera

Volte ao caminhão. Na ida ele se deslocou 120 km do depósito para o cliente; na volta, 120 km do cliente para o depósito. A seta da ida e a seta da volta são vetores opostos, e a soma delas é zero: no fim do dia o caminhão está onde começou. Deslocamento total zero, em 5 h de viagem — a velocidade média, a vetorial, é zero.

Já a distância percorrida foi 240 km, e a velocidade escalar média é 240 ÷ 5 = 48 km/h. É o número que interessa à transportadora, ao rastreador e ao consumo de combustível, e é o que a prova costuma chamar apenas de "velocidade média" quando o problema é de estrada. Este livro segue o costume: daqui em diante, "velocidade média" num problema de ida e volta é a escalar, a menos que a questão peça o vetor.

A armadilha do 60 e do 40

Por que 50 está errado? Porque a média simples de dois números só representa o conjunto quando os dois pesam igual. O 60 e o 40 não pesaram igual: o caminhão ficou 2 h a 60 km/h e 3 h a 40 km/h. Se você imaginar as cinco horas da viagem lado a lado, duas delas foram a 60 e três a 40.

Faça a média das cinco horas, cada uma contando uma vez: 60 + 60 + 40 + 40 + 40 = 240, e 240 ÷ 5 = 48. É exatamente a conta do rastreador, distância total dividida por tempo total, vista de outro ângulo. A velocidade baixa durou mais e por isso puxou a média para baixo. O resultado fica sempre mais perto da velocidade menor — e nunca no meio exato.

E se a média simples valesse em alguma situação? Vale numa: quando os tempos dos dois trechos são iguais. Um carro que anda 1 h a 60 km/h e depois 1 h a 40 km/h percorre 60 + 40 = 100 km em 2 h, e a velocidade média é 100 ÷ 2 = 50 km/h. Aí o 50 aparece, porque cada velocidade durou o mesmo tanto. O problema do motorista era outro: as distâncias eram iguais, e nesse caso os tempos nunca são.

Movimento uniforme: o metrônomo

A velocidade média inventa um movimento de velocidade constante para substituir o real. Esse movimento inventado existe de verdade, e é o mais simples da física: o movimento uniforme, MU. Nele a velocidade não muda em nada — nem o módulo, nem a direção, nem o sentido. O móvel segue em linha reta e, em intervalos de tempo iguais, percorre deslocamentos iguais.

Pense num metrônomo, o relógio de tique-taque dos músicos. A cada tique o móvel avança o mesmo tanto: 5 m no primeiro segundo, 5 m no segundo, 5 m no terceiro. A pista fica marcada em passos iguais, e a velocidade em qualquer trecho, curto ou longo, é a mesma: 5 m/s. No MU, portanto, a velocidade média de qualquer pedaço da viagem é igual à velocidade do móvel — não há o que inventar, porque o movimento real já é constante.

Uniforme não quer dizer devagar. Um avião de cruzeiro a 900 km/h, que são 250 m/s, em linha reta e sem sacudir, está em movimento uniforme, e um pedestre que apressa o passo a cada quarteirão não está. Uniforme também não quer dizer "empurrado": manter a velocidade constante não pede força nenhuma, e a primeira lei de Newton, no capítulo 9, explica por quê. Por ora, guarde a imagem do metrônomo: tique, 5 m; tique, 5 m; tique, 5 m.

A função horária: onde o móvel está a cada instante

Se cada segundo vale o mesmo pedaço de estrada, dá para prever onde o móvel estará em qualquer instante. Antes da fórmula, o combinado da série, que vem do capítulo 2: diga de onde você está olhando. Escolha a origem da estrada, o sentido positivo do eixo e o instante em que o cronômetro foi zerado. Feito isso, a posição no instante zero se chama posição inicial, e a receita é uma só.

Tome o móvel da figura: s = 20 + 5t, com s em metros e t em segundos. O 20 diz que ele partiu do marco 20 m; o 5 diz que ele anda 5 m por segundo. Em t = 4 s, s = 20 + 5 × 4 = 40 m. Em t = 0, s = 20 m — a posição inicial, como prometido. E a leitura funciona ao contrário: recebeu uma equação pronta, s = 100 − 6t, e já sabe que o móvel partiu do marco 100 m e que a velocidade é −6 m/s. O sinal de menos não é erro: é o sentido, contra o eixo escolhido.

Movimento a favor do eixo, com velocidade positiva, se chama progressivo; contra o eixo, com velocidade negativa, retrógrado. Os nomes importam menos que a ideia: o sinal da velocidade é o sinal do deslocamento, e o eixo foi você quem escolheu. Um último aviso, que serve de ponte para a trilha de matemática: s = s0 + v × t é uma função afim — a matemática vai chamá-la de f(x) = ax + b, com o coeficiente a fazendo o papel da velocidade e o b, o da posição inicial. É a mesma receita com outros nomes.

Os gráficos do movimento uniforme

Uma função afim tem cara conhecida no gráfico: é uma reta. Ponha o tempo no eixo horizontal e a posição no vertical, marque o móvel de s = 20 + 5t em t = 0, 1, 2, 3 e 4 s, e os pontos se alinham. A reta começa em 20 m, na posição inicial, e sobe 5 m a cada segundo.

A informação mais valiosa desse gráfico é a inclinação da reta: quanto a posição sobe dividido por quanto o tempo avança. Entre t = 0 e t = 4 s a posição subiu de 20 m para 40 m; 20 m em 4 s dão 5 m/s, a velocidade. Reta mais íngreme, móvel mais rápido. Reta horizontal, posição que não muda: móvel parado. Reta que desce, posição diminuindo: movimento retrógrado, velocidade negativa.

O gráfico da velocidade pelo tempo é mais modesto e igualmente útil. Como a velocidade não muda, v × t é uma linha horizontal: 5 m/s em t = 0, 5 m/s em t = 4 s, 5 m/s sempre. Repare no retângulo que fica entre essa linha e o eixo do tempo, de 0 a 4 s: ele tem base 4 s e altura 5 m/s, e a área é 5 × 4 = 20 m — exatamente quanto o móvel andou nesse intervalo. Guarde a observação; ela vira a ferramenta principal do capítulo 5.

Encontro de dois móveis

Dois móveis na mesma estrada, cada um com a sua função horária, se encontram quando estão na mesma posição no mesmo instante. Para achar esse instante, basta igualar as duas funções — desde que as duas usem o mesmo eixo, a mesma origem e o mesmo relógio, o combinado de sempre.

Tome os dois móveis da seção anterior. O móvel A parte da origem a 4 m/s: s = 4t. O móvel B parte do marco 100 m em sentido contrário, a 6 m/s: s = 100 − 6t. Eles estão na mesma posição quando 4t = 100 − 6t, isto é, 10t = 100, t = 10 s. Onde? Em A, s = 4 × 10 = 40 m; em B, s = 100 − 6 × 10 = 40 m — o mesmo número pelos dois caminhos, o que é a conferência. No gráfico, é o ponto onde as retas se cruzam.

Repare que 100 m dividido por 10 s dá 10 m/s, que é 4 + 6: em sentidos contrários, os dois móveis "fecham" a distância entre eles com a soma das velocidades. É um jeito rápido de conferir o instante do encontro — e de desconfiar de uma resposta como 25 s, que sairia de quem dividisse os 100 m só pelos 4 m/s de um deles.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos deste capítulo há um passo antes dos três, herdado do capítulo 2: diga de onde você está olhando — origem, sentido positivo e instante zero.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo em quatro formatos, e o primeiro é o próprio caso: velocidade média em duas etapas, quase sempre com distâncias iguais e velocidades diferentes, com a média simples plantada entre as alternativas.

Ida a 90 km/h e volta a 60 km/h, 180 km em cada sentido: 2 h de ida, 3 h de volta, 360 km em 5 h — 72 km/h. O distrator? 75 km/h, a média simples, ali de propósito. Os outros três formatos são a leitura da função horária (a prova dá s = 50 + 20t e pergunta a posição num instante, ou a velocidade, ou o instante em que o móvel passa por certo marco), o encontro ou a ultrapassagem de dois móveis (igualar as funções) e a leitura do gráfico s × t de uma reta (inclinação é velocidade; reta descendo é velocidade negativa).

Resumo em cinco peças

1. Velocidade média é deslocamento dividido por tempo — some as distâncias, some os tempos, divida; nunca faça a média das velocidades.
2. Movimento uniforme: velocidade constante em módulo, direção e sentido; deslocamentos iguais em tempos iguais; aceleração zero.
3. Função horária: s = s0 + v × t. O primeiro número é onde começou; o segundo, quanto anda por unidade de tempo.
4. No gráfico s × t o MU é uma reta, e a inclinação é a velocidade; no gráfico v × t é um patamar.
5. Encontro: mesma posição, mesmo instante — iguale as funções horárias.

Se for guardar uma frase só, guarde o motorista: foi a 60, voltou a 40, e a média deu 48, porque as três horas a 40 pesam mais que as duas a 60.

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