Capítulo 4A marca de pneu que entregou a velocidade do carro

Movimento uniformemente variado, Torricelli e distância de frenagem

Noventa metros de borracha no asfalto disseram 108 km/h a quem jurava 54 — dobrar a velocidade não dobra a distância para parar, quadruplica, e a marca de pneu não negocia.

O caso: noventa metros de borracha no asfalto

A perícia chegou depois de tudo. O carro já estava na oficina, o motorista já tinha contado a sua versão e nenhuma câmera apontava para aquele trecho de avenida. Sobrou uma testemunha só: uma marca preta de pneu no asfalto, do ponto em que as rodas travaram até o ponto em que o carro parou. Mediram com a trena: 90 metros.

O motorista jurava que vinha abaixo do limite da via, que era de 60 km/h. Disse 54 km/h, e falava sério. O problema é que 90 metros de marca não combinam com 54 km/h. Naquele asfalto seco, com os pneus travados, um carro perde velocidade a cerca de 5 metros por segundo a cada segundo — é o número que a perícia mede no próprio local, e de onde ele vem é assunto do capítulo 12, o do atrito. Com esse número e com o comprimento da marca, a velocidade de antes da frenagem sai de uma conta de duas linhas: 30 m/s, ou 108 km/h. O dobro do que ele disse.

E a diferença entre os dois números não é uma questão de opinião nem de perícia rigorosa. Se o carro estivesse mesmo a 54 km/h, a marca teria 22,5 metros — um quarto do que havia no chão. É essa a frase que este capítulo vai provar: dobrar a velocidade não dobra a distância para parar, quadruplica. Foi isso que entregou o motorista.

Para chegar lá, o capítulo precisa de uma grandeza nova. Nos capítulos anteriores a velocidade não mudava: o movimento uniforme é o do metrônomo, tique, 5 metros, tique, 5 metros. Agora a velocidade muda — e o que mede essa mudança é a aceleração. Dela saem três equações, uma delas capaz de responder à pergunta da perícia sem saber quanto tempo a frenagem durou, e é a equação de Torricelli que faz esse serviço.

Aceleração: quanto a velocidade muda por segundo

Um carro parado no semáforo arranca. Um segundo depois o velocímetro marca 18 km/h; dois segundos depois, 36 km/h; quatro segundos depois, 72 km/h. Em metros por segundo, a leitura é mais limpa: 0, depois 5, depois 10, e 20 m/s no quarto segundo. A cada segundo que passa, a velocidade ganha os mesmos 5 m/s.

Esse "quanto a velocidade muda por segundo" é a aceleração. Para calculá-la, a receita é a mesma de toda taxa de variação: pegue o quanto a grandeza mudou e divida pelo tempo em que a mudança aconteceu.

A unidade sai da própria divisão: metro por segundo, dividido por segundo, dá metro por segundo ao quadrado (m/s²). O nome soa estranho e a leitura é simples: 5 m/s² quer dizer "5 metros por segundo, a cada segundo". No caso do arranque, a = (20 − 0) ÷ 4 = 5 m/s². No SI é m/s²; o folheto do carro prefere dizer "de 0 a 100 km/h em tantos segundos", que é a mesma ideia em outras unidades.

Vale a frase ao contrário também, porque ela é o tropeço mais comum do capítulo: aceleração zero não quer dizer parado. Aceleração zero quer dizer velocidade constante — que pode ser zero, mas pode ser 900 km/h de avião em cruzeiro. Todo o capítulo 3 tratou de movimentos com aceleração zero, e nenhum deles estava parado.

Guarde a cena, que vale para todo o capítulo: a aceleração é o pé no pedal e a velocidade é o ponteiro. Pé firme no pedal e ponteiro parado é coisa que não existe — se o pé está no pedal, o ponteiro está mudando. E quando o movimento tem aceleração constante, com o mesmo acréscimo de velocidade em cada segundo, ele ganha nome: movimento uniformemente variado, o MUV deste capítulo. Uniformemente variado não é contradição: o que varia é a velocidade, e o que é uniforme é a variação.

Os sinais: acelerar, frear e dar ré

Aceleração é vetor, e num movimento em linha reta o vetor se resume a um sinal, exatamente como a velocidade no capítulo 3: positivo, a favor do eixo que você escolheu; negativo, contra ele. O combinado da série continua valendo antes de qualquer conta — diga de onde você está olhando: origem, sentido positivo, instante zero.

Com dois sinais em jogo, o da velocidade e o da aceleração, há só duas situações possíveis, e nenhuma delas tem a ver com o sinal da aceleração sozinho.

O caso mais interessante é o do móvel que freia e não para: ele freia, zera, e continua. Uma bola chutada ladeira acima sobe cada vez mais devagar, para por um instante e volta descendo; a aceleração, nesse tempo todo, aponta sempre ladeira abaixo, sem mudar de sinal. É a velocidade que troca de sinal ao passar pelo zero. O Exemplo 5 faz essa conta em números.

A velocidade a cada instante: v = v0 + a × t

Se a velocidade ganha os mesmos 5 m/s a cada segundo, prever a velocidade em qualquer instante é multiplicar e somar. Depois de t segundos, o móvel ganhou a × t de velocidade; some isso à velocidade que ele já tinha no instante zero e está pronto.

O carro do arranque tem v0 = 0 e a = 5 m/s², então v = 5t: em t = 4 s, v = 5 × 4 = 20 m/s. E a leitura funciona ao contrário, o que a prova adora: recebeu v = 10 − 2t e já sabe duas coisas sem fazer conta nenhuma — a velocidade inicial é 10 m/s e a aceleração é −2 m/s². Os sinais são contrários, então esse móvel está freando; e em t = 5 s a velocidade chega a zero, porque 10 − 2 × 5 = 0.

No gráfico da velocidade pelo tempo, essa equação é uma reta, e a inclinação dela é a aceleração — a mesma leitura que o capítulo 3 fez no gráfico da posição, um degrau acima. Reta subindo, aceleração positiva; reta descendo, aceleração negativa; reta horizontal, aceleração zero e velocidade constante, o movimento uniforme.

A posição a cada instante: s = s0 + v0·t + a·t²÷2

Saber a velocidade em cada instante não diz onde o móvel está. No movimento uniforme bastava multiplicar velocidade por tempo, mas agora a velocidade muda a cada instante — e multiplicar qual delas? A saída é a velocidade média do trecho, que no MUV tem uma propriedade boa: como a velocidade cresce em ritmo constante, a média entre a inicial e a final serve, e a posição sai de uma equação só.

Volte ao arranque, com s0 = 0, v0 = 0 e a = 5 m/s². A equação fica s = 5 × t² ÷ 2, isto é, s = 2,5t². Em t = 1 s o carro andou 2,5 m; em t = 2 s, 10 m; em t = 3 s, 22,5 m; em t = 4 s, 40 m. Repare no desenho: os intervalos entre posições vizinhas crescem — 2,5 m no primeiro segundo, 7,5 m no segundo, 12,5 m no terceiro, 17,5 m no quarto. É o contrário do metrônomo do capítulo 3, em que cada tique valia o mesmo pedaço de estrada.

Quando a equação vem pronta, os coeficientes contam tudo. Em s = 2 + 3t + t² (no SI), o 2 é a posição inicial, o 3 é a velocidade inicial e o coeficiente do t² é a metade da aceleração — então a = 2 m/s². Esse meio é a pegadinha mais barata da prova: quem lê o 1 do t² como aceleração erra por um fator dois. E uma ponte para a trilha de matemática: s = s0 + v0t + at²÷2 é uma função quadrática, a mesma f(x) = ax² + bx + c; no gráfico da posição pelo tempo, o MUV é uma parábola, não mais a reta do movimento uniforme.

A área que mede a distância

Há um segundo jeito de achar os 40 m, e ele vale a pena porque volta no capítulo 5. Olhe outra vez o gráfico da velocidade pelo tempo do arranque: a reta sai do zero e chega a 20 m/s em 4 s, e embaixo dela fica um triângulo de base 4 s e altura 20 m/s. A área desse triângulo é 4 × 20 ÷ 2 = 40 — exatamente os 40 metros que a equação deu.

Torricelli: a conta que dispensa o relógio

A perícia do caso não tinha o tempo da frenagem. Ninguém cronometrou nada; havia a marca no chão, 90 metros, e o número do asfalto, 5 m/s². As duas equações do MUV, as duas, pedem o tempo. Precisamos de uma terceira, em que o tempo não apareça.

Ela existe, e nasce das duas que já temos: isole o tempo em v = v0 + a × t, substitua na equação da posição, arrume os termos e o t desaparece. O resultado é a equação de Torricelli, batizada em homenagem a Evangelista Torricelli, matemático italiano do século XVII.

Agora o caso. O eixo aponta no sentido da viagem, a origem é o ponto em que as rodas travaram. O carro parou, então v = 0. A aceleração se opõe ao movimento: a = −5 m/s². E o deslocamento é o comprimento da marca: 90 m. Substituindo: 0 = v0² + 2 × (−5) × 90, isto é, 0 = v0² − 900, logo v0² = 900 e v0 = 30 m/s. Em quilômetros por hora, 30 × 3,6 = 108 km/h. A marca no asfalto acabou de dizer a velocidade do carro, e o Exemplo 3 refaz a conta em três tempos.

Por que a placa diz 60: a frenagem cresce com o quadrado

Ponha a equação de Torricelli de cabeça para baixo e ela responde à pergunta do trânsito: dada a velocidade, de quanto espaço um carro precisa para parar? Com v = 0, sobra v0² = 2 × a × d, e a distância de frenagem é d = v0² ÷ (2 × a). O que salta aos olhos é o quadrado no numerador: a velocidade entra ao quadrado, a distância não perdoa.

Com os mesmos 5 m/s² do asfalto do caso, a tabela sai direto.

Leia as duas linhas destacadas. A 54 km/h o carro para em 22,5 m; a 108 km/h, o dobro da velocidade, ele precisa de 90 m — quatro vezes mais, não duas. Triplicar a velocidade multiplica a distância por nove. A razão está na álgebra: se a velocidade dobra, o quadrado dela fica quatro vezes maior, e é o quadrado que manda na conta. É esse fator que responde por que a placa da cidade diz 60 e não 100, e é ele que entregou o motorista do caso.

O trecho que se anda antes de frear

Falta um pedaço da história, e ele é o que a educação para o trânsito chama de distância de reação. Entre ver o obstáculo e o pé chegar ao freio passa um tempo — cerca de 1 segundo para um motorista atento —, e nesse tempo o carro não freou nada: andou com a velocidade que tinha. A 30 m/s, é 1 × 30 = 30 metros percorridos antes de a marca começar.

A distância total até a parada é a soma das duas: a de reação, que cresce junto com a velocidade, e a de frenagem, que cresce com o quadrado dela. A 54 km/h dá 15 + 22,5 = 37,5 m. A 108 km/h dá 30 + 90 = 120 m — mais de três vezes a distância, com o dobro da velocidade. Guarde o desenho: é a figura que o ENEM desenha quando fala de segurança no trânsito.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Como nos capítulos anteriores, há um passo antes dos três: diga de onde você está olhando — origem, sentido positivo e instante zero.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo, quase sempre, dentro de uma situação de trânsito: um carro que freia, uma placa de limite, uma campanha de segurança. O que ele testa não é decorar as três equações, é escolher a certa — e não perder o quadrado da velocidade no caminho.

Dobrar 36 km/h para 72 km/h muda a marca de 10 m para 40 m, quatro vezes maior. O distrator plantado é 20 m, o dobro — a alternativa de quem tratou a distância como proporcional à velocidade. Os outros formatos frequentes são a leitura dos coeficientes de uma equação da posição (com o meio da aceleração escondido no t²), o cálculo direto com Torricelli (duas velocidades e uma distância, sem tempo), e a discussão de sinais: um móvel com aceleração negativa que ganha velocidade porque está de ré.

Resumo em cinco peças

1. Aceleração é a variação da velocidade dividida pelo tempo: a = (v − v0) ÷ t, em m/s². Ela é o pé no pedal, não o ponteiro.
2. A velocidade num instante: v = v0 + a × t. No gráfico v × t é uma reta, e a inclinação dela é a aceleração.
3. A posição num instante: s = s0 + v0 × t + a × t² ÷ 2. O coeficiente do t² é a metade da aceleração, e no gráfico s × t o MUV é uma parábola.
4. Torricelli liga velocidades e distância sem o tempo: v² = v0² + 2 × a × (s − s0).
5. A distância de frenagem cresce com o quadrado da velocidade: o dobro da velocidade pede quatro vezes o espaço para parar.

Se for guardar uma frase só, guarde a marca do asfalto: 90 metros de borracha disseram 108 km/h, e a 54 km/h teriam sido 22,5 m. O quadrado da velocidade não negocia.

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