Capítulo 5A caixa-preta do caminhão: uma curva conta a viagem inteira

Gráficos do movimento (s×t, v×t, a×t)

A denúncia viu a linha do tacógrafo despencar e gritou "desceu a serra embalado"; a estrada era plana — o que desce no disco é a velocidade, e a área embaixo dela contou 250 metros, só 50 de freio.

O caso: a testemunha de papel

A denúncia chegou por telefone à transportadora: um dos caminhões da empresa teria passado "voando" pelo trecho da rodovia em frente a um posto de fiscalização e freado "em cima", já quase na barreira. O motorista negou. Não havia câmera, não havia radar — mas havia uma testemunha que viaja dentro de todo caminhão e não tem motivo para mentir: o tacógrafo.

Dentro do painel, uma agulha risca num disco de papel, a cada instante, a velocidade do caminhão. O disco dá uma volta por dia; no fim da viagem, a curva que ficou gravada nele é a viagem inteira: onde acelerou, onde andou constante, onde parou, onde correu demais. A perícia da empresa abriu o disco e leu os últimos 15 segundos. Nos primeiros 10, a agulha ficou parada em 72 km/h, que são 20 m/s — abaixo dos 80 km/h do trecho. Nos 5 finais, a curva desceu em linha reta até o zero.

Quem fez a denúncia também olhou o disco, e viu outra coisa: "a linha despenca no fim — ele desceu a serra embalado e freou em cima". Só que ali a estrada é plana. O que desce no disco não é a estrada, é a velocidade. A linha que cai é a frenagem, e ela conta mais: a velocidade caiu 20 m/s em 5 s, uma desaceleração de 4 m/s², firme e sem susto. E a área embaixo da curva — o retângulo dos 10 s mais o triângulo da frenagem — mede quanto o caminhão andou: 250 metros, dos quais só os últimos 50 foram de freio.

O motorista era inocente, e quem o salvou foi um gráfico lido direito. Este capítulo ensina a ler os três gráficos do movimento — posição, velocidade e aceleração contra o tempo — e a tirar deles tudo o que eles guardam. E começa pelo aviso que a denúncia esqueceu, desenvolvido na seção do gráfico que não é o caminho: o desenho de um gráfico nunca é o desenho da estrada.

O gráfico s × t: a inclinação é a velocidade

O capítulo 3 já desenhou o primeiro gráfico: a posição no eixo vertical, o tempo no horizontal. No movimento uniforme ele é uma reta, e a inclinação dessa reta — quanto a posição sobe dividido por quanto o tempo avança — é a velocidade.

Esse gráfico tem três formas que a prova pede para reconhecer. Reta inclinada: a posição muda o mesmo tanto a cada segundo, velocidade constante, movimento uniforme. Reta horizontal: a posição não muda, o móvel está parado. Curva em forma de parábola: a inclinação muda de instante para instante, então a velocidade muda — é o movimento uniformemente variado do capítulo 4, cuja equação da posição tem um t².

Numa reta, ler a velocidade é pegar dois pontos. Se o gráfico passa por 10 m em t = 0 e por 60 m em t = 5 s, a posição subiu 50 m em 5 s, e a velocidade é 50 ÷ 5 = 10 m/s. Numa parábola, a inclinação muda a cada ponto; a velocidade num instante é a inclinação da reta que apenas toca a curva naquele ponto — a reta tangente. Curva ficando mais íngreme, velocidade crescendo; curva se deitando, velocidade diminuindo; no topo de um morro do gráfico, a tangente é horizontal e a velocidade, naquele instante, é zero.

Guarde a imagem que vale para o capítulo inteiro: o gráfico s × t é o extrato bancário do movimento. O extrato diz quanto você tinha em cada dia — e não diz nada sobre o caminho que você fez até o banco. O gráfico da posição diz onde o móvel estava em cada instante, contado a partir da origem que você escolheu; e não diz nada sobre a forma da estrada.

O gráfico não é o caminho

Eis o erro da denúncia, na sua forma mais pura. Uma bola rola num piso reto e plano: sai da origem, se afasta 12 m em 3 s e volta, chegando outra vez à origem em t = 6 s. O gráfico da posição dela tem a forma de um morro — sobe, faz a curva no alto e desce.

A bola subiu um morro? Não. A bola andou numa reta, foi e voltou. O "morro" é só o jeito de o gráfico mostrar que a posição cresceu e depois diminuiu. Onde o gráfico está no alto, a bola está longe da origem; onde está embaixo, perto. A trajetória — o desenho do caminho — está no chão, e ele é uma linha reta.

O capítulo 3 plantou esse aviso numa frase; aqui ele vira regra. Um gráfico de velocidade que "desce" é um móvel freando, numa estrada que pode ser plana ou até uma subida. Um gráfico de posição que faz um "vale" é um móvel que foi para trás e voltou. Quem lê a curva como paisagem condena o motorista inocente.

O gráfico v × t: inclinação e área

O disco do tacógrafo é um gráfico v × t, e ele guarda duas informações diferentes em dois lugares diferentes. A primeira está na inclinação. O capítulo 4 mostrou que, no MUV, o gráfico da velocidade é uma reta, e que a inclinação dessa reta é a aceleração: quanto a velocidade muda dividido pelo tempo. Na frenagem do caso, a velocidade caiu de 20 m/s para zero em 5 s: inclinação (0 − 20) ÷ 5 = −4 m/s².

A segunda informação está na área entre a curva e o eixo do tempo, e ela é a grande ferramenta deste capítulo. Num patamar de velocidade constante, a área é um retângulo: base (tempo) vezes altura (velocidade) — e tempo vezes velocidade é distância. Num trecho de MUV, a área é um triângulo ou um trapézio, e continua medindo a distância, como o capítulo 4 conferiu com o arranque de 40 m.

No caso, a área do patamar é 20 × 10 = 200 m e a área do triângulo da frenagem é 5 × 20 ÷ 2 = 50 m. Somadas, 250 m em 15 s. A velocidade média do trecho sai daí, com a regra do capítulo 3: 250 ÷ 15 ≈ 16,7 m/s, que são exatamente 60 km/h. O caminhão não passou "voando" por lugar nenhum.

Movimentos em etapas: some as figuras

Movimentos reais raramente têm um trecho só. O caminhão sai do posto, acelera, roda constante, freia no pedágio. No gráfico v × t isso vira uma sequência de figuras simples — triângulos nas rampas, retângulos nos patamares, trapézios quando a rampa não começa do zero — e a distância total é a soma das áreas. Não há fórmula nova: cada figura se calcula do jeito que a geometria ensina, e a física só pede para somar.

Área abaixo do eixo: o deslocamento que volta

O gráfico da velocidade pode atravessar o eixo do tempo. Acima do eixo, a velocidade é positiva e o móvel anda a favor do sentido que você escolheu; abaixo, ela é negativa e o móvel anda contra. A área abaixo do eixo continua sendo deslocamento — só que negativo: é o móvel voltando.

Tome um carrinho que anda a +10 m/s durante 4 s e depois a −10 m/s durante 2 s. Acima do eixo, a área é 10 × 4 = 40 m: ele avançou 40 m. Abaixo, a área é 10 × 2 = 20 m, com sinal negativo: ele voltou 20 m. O deslocamento é a soma com os sinais, 40 − 20 = 20 m — ele terminou 20 m à frente de onde começou. Já a distância percorrida soma tudo sem sinal, 40 + 20 = 60 m, porque as rodas giraram nos dois sentidos. É a separação do capítulo 2, deslocamento contra distância, lida agora num gráfico.

O gráfico a × t: a área é a variação da velocidade

O terceiro gráfico é o mais simples e o que menos aparece. No MUV, a aceleração é constante, então o gráfico a × t é um patamar, uma reta horizontal. A inclinação dele não conta nada de interessante aqui; o que conta é a área, e ela segue a mesma lógica dos outros dois: aceleração vezes tempo é quanto a velocidade mudou.

Um carro que acelera a 2 m/s² durante 6 s tem, embaixo do patamar, um retângulo de área 2 × 6 = 12 m/s. Esse é o quanto a velocidade dele aumentou. Se ele partiu do repouso, terminou a 12 m/s; se já vinha a 5 m/s, terminou a 17 m/s. Repare na cadeia que se forma, de baixo para cima: a área de a × t dá a variação da velocidade; a área de v × t dá a variação da posição.

Um movimento, três gráficos

Juntar os três gráficos de um mesmo movimento é o melhor treino para não confundir nenhum deles. Tome um carro que parte do repouso, na origem, com aceleração constante de 2 m/s², e observe-o durante 4 s.

O gráfico a × t é um patamar em 2 m/s²; a área dele até 4 s é 2 × 4 = 8 m/s, e de fato a velocidade final é 8 m/s. O gráfico v × t é uma reta de 0 a 8 m/s; a área do triângulo é 4 × 8 ÷ 2 = 16 m, e de fato a posição final é 16 m, porque s = t² (metade de 2, vezes t²). O gráfico s × t é uma parábola que passa por 1, 4, 9 e 16 m nos quatro primeiros segundos, cada vez mais íngreme — e a inclinação dela em t = 4 s é 8 m/s, a velocidade daquele instante.

Uma propriedade do MUV fecha o círculo e vale a pena guardar: a velocidade média de um intervalo é a velocidade no instante do meio. De 0 a 4 s, o carro andou 16 m, média de 16 ÷ 4 = 4 m/s — e em t = 2 s, o meio do intervalo, a velocidade era exatamente 2 × 2 = 4 m/s. O Exemplo 5 usa isso para ler uma velocidade direto numa parábola.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo, a "fórmula" é quase sempre uma leitura de gráfico: inclinação ou área. Antes dos três tempos, leia os eixos e as unidades.

Radar ENEM

Gráfico é um dos assuntos preferidos do ENEM em mecânica, porque testa leitura, e não decoreba. A questão típica traz um gráfico v × t de um veículo em etapas — arrancada, trecho constante, frenagem — e pergunta a distância percorrida.

O distrator clássico é o retângulo inteiro: 10 m/s vezes 10 s, 100 m, na alternativa para quem esquece que as rampas são triângulos. Os outros formatos frequentes são a inclinação de s × t ou de v × t (velocidade ou aceleração a partir de dois pontos), o reconhecimento da forma (reta, parábola, patamar: que movimento é este?) e a área abaixo do eixo, em que se pede o deslocamento de um móvel que foi e voltou.

Resumo em cinco peças

1. No gráfico s × t, a inclinação é a velocidade: reta inclinada é MU, parábola é MUV, patamar é parado.
2. No gráfico v × t, a inclinação é a aceleração e a área embaixo da curva é o deslocamento.
3. No gráfico a × t, a área é a variação da velocidade.
4. O gráfico não é a trajetória: o eixo vertical é posição, velocidade ou aceleração — nunca a altura da estrada.
5. Área abaixo do eixo conta negativa no deslocamento; na distância percorrida, todas as áreas somam.

Se for guardar uma frase só, guarde o disco do caminhão: a linha que desce não é uma serra, é uma frenagem — e a área embaixo dela conta 50 metros.

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