Capítulo 6A pena e o martelo que caíram juntos na Lua

Queda livre e lançamento vertical

Em 1971, na Lua, um astronauta soltou um martelo e uma pena ao mesmo tempo, e os dois tocaram o chão juntos: sem ar, a massa não entra na conta — Galileu sabia disso uns 350 anos antes.

O caso: uma briga de dois mil anos, resolvida ao vivo

Em 2 de agosto de 1971, perto do fim da última caminhada da missão Apollo 15 na Lua, o comandante David Scott parou diante da câmera de televisão com um objeto em cada mão. Na direita, um martelo de geólogo, de mais de um quilo. Na esquerda, uma pena de falcão, que quase nada pesa. Ergueu os dois à mesma altura, pouco mais de um metro e meio acima do chão, e soltou ao mesmo tempo.

Os dois caíram lado a lado, devagar — a gravidade da Lua é cerca de um sexto da nossa — e tocaram o chão no mesmo instante. Scott comentou para as câmeras que aquilo confirmava o que Galileu tinha dito: o martelo não caiu mais depressa por ser mais pesado. A cena durou pouco mais de um segundo e encerrou uma discussão que tinha começado dois mil anos antes, com Aristóteles, e que Galileu tinha resolvido no papel e nos planos inclinados uns 350 anos antes de alguém poder fazer o teste num lugar sem ar.

Na Terra, o mesmo gesto dá outro resultado: o martelo cai logo e a pena flutua, balança e demora. Quem atrapalha a pena é o ar, não a gravidade. Tire o ar, e tudo cai do mesmo jeito, com a mesma aceleração, qualquer que seja a massa. Essa aceleração tem nome e símbolo — a aceleração da gravidade, g —, e com ela o movimento de queda vira um caso particular do MUV do capítulo 4. É o que este capítulo faz: queda livre, lançamento vertical para cima, a altura máxima e o espelho entre a subida e a descida, que a seção da simetria mostra no gráfico.

Aristóteles, Galileu e o ar

Durante quase dois mil anos, a resposta aceita para "o que cai mais rápido?" foi a de Aristóteles: o mais pesado. Parece óbvio — solte uma pedra e uma folha de papel, e a pedra chega antes. O raciocínio falha num ponto só: ele mistura duas coisas, a gravidade e o ar.

Galileu separou as duas. Com bolas rolando em planos inclinados, que deixam a queda lenta o bastante para ser medida com relógios de água, ele mostrou que a velocidade de uma bola cresce o mesmo tanto em tempos iguais, e que bolas de pesos diferentes fazem isso juntas. O que atrasa a folha de papel é o ar, que a empurra para cima com uma força grande perto do peso pequeno dela. Amasse a folha numa bolinha e ela passa a cair quase junto com a pedra: o peso é o mesmo, o que mudou foi o ar.

Queda livre: um MUV com a aceleração da gravidade

Queda livre é o movimento de um corpo solto, sem ar atrapalhando, sob a ação só da gravidade. Perto da superfície da Terra, a aceleração vale cerca de 9,8 m/s²; a prova e esta série usam g = 10 m/s², uma aproximação que deixa as contas limpas e erra por pouco mais de 2%. Na Lua, g vale cerca de 1,6 m/s².

A queda livre é o MUV do capítulo 4, com três simplificações: o corpo parte do repouso, a trajetória é vertical e a aceleração é sempre g. Escolha o eixo apontando para baixo, com a origem no ponto de onde o corpo foi solto, e as equações do capítulo 4 ficam curtas.

Solte uma bola do alto. Depois de 1 s, ela está a 10 m/s e caiu 5 m; depois de 2 s, a 20 m/s e caiu 20 m; depois de 3 s, a 30 m/s e caiu 45 m; depois de 4 s, a 40 m/s e caiu 80 m. A velocidade cresce em passos iguais, a distância em passos cada vez maiores — 5, 15, 25 e 35 m em cada segundo. É a assinatura do MUV, a mesma do arranque do carro no capítulo 4.

Para cima ou para baixo: o eixo é você quem escolhe

A regra da série continua valendo, e aqui ela pesa mais do que nunca: antes de qualquer conta, diga de onde você está olhando. Num movimento vertical, o eixo pode apontar para baixo ou para cima, e a escolha muda os sinais — nunca a física.

Com o eixo para baixo, g entra positiva: a = +10 m/s². É o jeito mais simples para um corpo só caindo. Com o eixo para cima, g aponta contra o eixo e entra negativa: a = −10 m/s². É o jeito mais natural quando o corpo é atirado para cima, porque a subida fica positiva. As duas escolhas dão a mesma resposta física; o que não pode é trocar de eixo no meio da conta.

Lançamento vertical: subir é frear

Agora atire a bola para cima, a 20 m/s. Com o eixo para cima e a origem na mão, a velocidade começa positiva e a aceleração é −10 m/s²: sinais contrários, e o capítulo 4 já disse o que isso significa — a bola freia. A cada segundo ela perde 10 m/s. Depois de 1 s, sobe a 10 m/s; depois de 2 s, a velocidade é zero: é o ponto mais alto. Depois disso, a aceleração continua a mesma, a velocidade fica negativa, e a bola desce ganhando velocidade.

Pense num elevador de vidro que sobe freando: você sente a desaceleração, ele para por um instante no alto e começa a descer, ganhando velocidade. A bola faz isso sem motor nenhum, e com um detalhe que confunde muita gente: a aceleração é a mesma o tempo inteiro. Na subida, no topo e na descida, ela é g, para baixo. O que muda de sinal é a velocidade.

As equações são as do capítulo 4, com a = −g no eixo para cima: v = v0 − g × t e h = v0 × t − g × t² ÷ 2. Com v0 = 20 m/s: a bola para quando 20 − 10t = 0, em t = 2 s, e nesse instante está a h = 20 × 2 − 5 × 4 = 20 m. Em t = 4 s, h = 20 × 4 − 5 × 16 = 0: está de volta à mão.

A descida é o espelho da subida

Olhe outra vez os números: 2 s para subir, 2 s para descer. Aos 15 m de altura, a bola passa subindo a 10 m/s e passa descendo a 10 m/s. Na mão, sai a 20 m/s para cima e volta a 20 m/s para baixo. Sem ar, a descida é o espelho da subida.

O gráfico v × t do lançamento vertical é uma reta só, do começo ao fim — a inclinação é a aceleração, e ela não muda. A reta cruza o eixo no instante do topo, 2 s, e as duas áreas, a de cima e a de baixo, são triângulos iguais: +20 m na subida, −20 m na descida. Somadas com sinal, dão zero, porque a bola voltou ao ponto de partida. É a leitura de área do capítulo 5 confirmando o que o relógio já dizia.

A altura máxima com Torricelli

Quanto sobe uma bola atirada a 30 m/s? O tempo não importa para a pergunta, e o capítulo 4 tem a equação certa para isso: Torricelli. No topo, v = 0; a aceleração é −10 m/s² no eixo para cima; o deslocamento é a altura máxima. Então 0 = v0² − 2 × g × h, e a altura máxima é h = v0² ÷ (2 × g).

Com v0 = 30 m/s: h = 900 ÷ 20 = 45 m. É a mesma conta da frenagem do capítulo 4 — o 900 é o quadrado do 30 —, e ela tem a mesma consequência: a altura máxima cresce com o quadrado da velocidade de saída. Metade da velocidade, 15 m/s, dá 225 ÷ 20 = 11,25 m, um quarto da altura. O dobro da velocidade dá quatro vezes a altura.

E há uma conferência bonita, que junta tudo: 45 m é exatamente a altura da qual uma bola solta leva 3 s para cair e chega ao chão a 30 m/s. Subir 45 m partindo a 30 m/s é o filme da queda de 45 m passado de trás para a frente — a simetria de novo.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Neste capítulo, o passo antes dos três tempos é decisivo: diga para onde aponta o eixo, porque é ele que dá o sinal de g.

Radar ENEM

O ENEM cobra queda livre de quatro jeitos: o tempo de queda a partir de uma altura, a altura máxima de um lançamento vertical, a pergunta conceitual sobre o ponto mais alto e a comparação de quedas de corpos com massas diferentes.

Na comparação de quedas, o distrator é Aristóteles: uma alternativa diz que o corpo dez vezes mais pesado chega dez vezes mais rápido. Nenhuma das equações deste capítulo tem a massa — ela não tem como mudar o tempo de queda. Na questão do topo, o distrator é "velocidade e aceleração nulas"; a aceleração no topo é g. E na altura máxima, o tropeço é esquecer o quadrado: a 40 m/s a bola sobe 80 m, não o dobro dos 20 m que subiria a 20 m/s.

Resumo em cinco peças

1. Sem ar, tudo cai com a mesma aceleração, g ≈ 10 m/s² na Terra, qualquer que seja a massa.
2. Na queda a partir do repouso, a altura percorrida é h = g × t² ÷ 2.
3. A velocidade na queda cresce 10 m/s a cada segundo: v = g × t.
4. No ponto mais alto de um lançamento vertical, v = 0 — e a aceleração continua sendo g, para baixo.
5. Subida e descida são espelhos: mesmo tempo, mesma velocidade em cada altura, e a altura máxima é v0² ÷ (2 × g).

Se for guardar uma frase só, guarde a Lua: um martelo e uma pena, soltos juntos num lugar sem ar, tocaram o chão no mesmo instante — e Galileu, que nunca viu a cena, já sabia.

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