Capítulo 7As duas balas que tocam o chão juntas
Lançamento horizontal e oblíquo
Uma bala disparada na horizontal e outra apenas solta, da mesma altura e no mesmo instante, tocam o chão juntas — a que voou 500 m e a que caiu no lugar —, porque avançar é uma coisa e cair é outra, e as duas acontecem ao mesmo tempo sem se atrapalhar.
Neste capítulo você vai
- Separar um arremesso em dois movimentos independentes: movimento uniforme na horizontal e queda livre na vertical, no mesmo relógio
- Calcular o tempo de queda só pela altura e o alcance pela velocidade horizontal, do pacote do avião à bola que rola da mesa
- Decompor a velocidade de um lançamento oblíquo com 37° e 53° para achar subida, altura máxima e alcance — e ver por que ângulos complementares chegam ao mesmo lugar
Assista ao episódio 7
Este capítulo acompanha o episódio 7 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: a bala que voou e a bala que caiu
Duas balas, a mesma altura do chão, o mesmo instante. Uma é disparada na horizontal e sai a centenas de metros por segundo. A outra é apenas solta: a mão abre, e ela cai. A primeira voa 500 m antes de tocar o chão; a segunda cai ali mesmo, aos pés de quem a soltou. Qual das duas chega ao chão primeiro?
As duas chegam juntas. Não "quase juntas": no mesmo instante, com um único toque no chão — uma a 500 m dali, a outra no lugar. Quem vê pela primeira vez desconfia; quem repete o experimento no laboratório, com dois disparadores acionados juntos e um microfone no chão, ouve um único toque. A bala que voou não ganhou tempo por ser rápida, nem perdeu: os 500 m para a frente não aceleraram nem atrasaram a queda em nada.
É isso que o piloto de um avião de suprimentos sabe quando solta o pacote muito antes de passar sobre o alvo. O pacote não cai em linha reta para baixo: ele sai com a velocidade do avião, mantém essa velocidade para a frente enquanto cai, e a queda dura o mesmo tempo que duraria se o avião estivesse parado no ar. Este capítulo explica por que o ir para a frente e o cair não se atrapalham, e usa essa ideia para prever onde o pacote cai, quanto tempo um objeto fica no ar e a que distância chega um arremesso inclinado. A ferramenta que fecha o capítulo, na seção do lançamento oblíquo, é conhecida do capítulo 2: o triângulo de 37° e 53°, com os seus 0,6 e 0,8.
Independência dos movimentos: dois olhares para o mesmo voo
A ideia é de Galileu, e é a mais importante do capítulo. Um objeto lançado faz duas coisas ao mesmo tempo: avança na horizontal e cai na vertical. Galileu percebeu que essas duas coisas não interferem uma na outra. A horizontal não sabe que o objeto está caindo; a vertical não sabe que ele está avançando. Cada uma segue a sua própria lei, e as duas usam o mesmo relógio.
Imagine duas pessoas descrevendo o mesmo arremesso. Uma só olha de cima, como um drone parado sobre o campo: ela vê um ponto andando em linha reta, a passos iguais a cada segundo — um movimento uniforme, o do capítulo 3. A outra só olha de lado, com o olho na altura do chão: ela vê um ponto descendo, cada segundo mais depressa — uma queda livre, a do capítulo 6. As duas estão certas ao mesmo tempo, e o voo real é a soma das duas descrições.
Definição
Independência dos movimentos
- Um arremesso é a sobreposição de dois movimentos, um em cada eixo, que acontecem ao mesmo tempo e não interferem um no outro.
- Horizontal: movimento uniforme. A velocidade horizontal não muda, porque não há aceleração nesse eixo.
- Vertical: queda livre (ou lançamento vertical), com aceleração g = 10 m/s² para baixo — a mesma do capítulo 6.
- O tempo é um só: o instante em que a horizontal termina de andar é o instante em que a vertical termina de cair.
Duas condições valem em todo o capítulo, como na série inteira: g = 10 m/s² e sem resistência do ar. Com ar, uma pena e um projétil se comportariam de modos diferentes; sem ar, a única coisa que age sobre o objeto depois da saída é a gravidade, e ela só puxa para baixo. É por isso que a horizontal fica em paz.
Atenção
A gravidade não tem componente horizontal
A aceleração g aponta para baixo, e só para baixo. Ela muda a velocidade vertical a cada segundo — mas a velocidade horizontal, uma vez lançada, não recebe empurrão nem freio de ninguém: fica do mesmo tamanho até o objeto tocar o chão. Se em alguma conta o g estiver multiplicando um tempo para achar a distância horizontal, a conta misturou os eixos.
Volte às duas balas. A que foi solta só tem o movimento vertical. A que foi disparada tem os dois — mas o vertical dela é idêntico ao da outra: parte da mesma altura, com velocidade vertical zero, sob o mesmo g. Duas quedas iguais levam o mesmo tempo. A diferença entre as duas balas está toda na horizontal, e a horizontal não interfere na queda.
Lançamento horizontal: o tempo de queda só depende da altura
O caso das balas é o lançamento horizontal: a velocidade inicial é toda horizontal, e a vertical começa do zero. Antes da conta, o combinado da série: diga de onde você está olhando. A origem fica no ponto de saída; o eixo x é horizontal, positivo no sentido de v₀; o eixo y é vertical, positivo para baixo, porque é para baixo que tudo acontece neste movimento; e o cronômetro zera no instante da largada.
Definição
Lançamento horizontal
Com a origem no ponto de saída, x no sentido de v₀ e y para baixo:
- Horizontal (MU): x = v₀ × t. A velocidade horizontal vale v₀ o tempo todo.
- Vertical (queda livre): y = g × t² ÷ 2, e a velocidade vertical cresce como vy = g × t.
- Tempo de queda: o instante em que y chega à altura h de onde o objeto saiu. De h = g × t² ÷ 2 sai t = √(2 × h ÷ g).
Repare no que não entra na fórmula do tempo de queda: a velocidade v₀. O tempo para cair de uma altura h é o mesmo para a bala disparada, para a bala solta e para um pacote que sai de um avião — tudo o que importa é h e g. Com g = 10 m/s², a conta fica simples, e vale a pena guardar quatro alturas de cor.
| Altura de queda | Tempo de queda |
|---|---|
| 5 m | 1 s |
| 20 m | 2 s |
| 45 m | 3 s |
| 80 m | 4 s |
De 5 m, por exemplo: t = √(2 × 5 ÷ 10) = √1 = 1 s. De 80 m: t = √(2 × 80 ÷ 10) = √16 = 4 s. Dobrar a altura não dobra o tempo; para dobrar o tempo é preciso quadruplicar a altura, porque a altura cresce com o quadrado do tempo.
Atenção
O tempo de queda não sabe quanto vale v₀
Uma bala a 500 m/s e uma bola largada da mão caem da mesma altura no mesmo tempo. Se a questão dá a velocidade do avião e pergunta o tempo até o pacote chegar ao chão, a velocidade é informação para a próxima pergunta, a do alcance — não para esta. Quem usa v₀ para achar o tempo de queda está resolvendo um problema que não existe.
Dica ENEM
Dica ENEM: primeiro o tempo, depois o resto
Em todo lançamento horizontal a ordem é a mesma: (1) da altura, tire o tempo de queda; (2) com o tempo, ache a distância horizontal; (3) se pedirem a velocidade ao tocar o chão, ache vy = g × t e some com v₀ por Pitágoras. O tempo é a ponte entre os dois eixos — é ele que a vertical entrega para a horizontal usar.
Alcance: a horizontal anda enquanto a vertical cai
Durante o tempo de queda, a horizontal não ficou parada: andou a v₀ constante. A distância horizontal que o objeto percorre até tocar o chão se chama alcance, e sai direto do movimento uniforme.
Definição
Alcance
Alcance (A) é a distância horizontal entre o ponto de saída e o ponto em que o objeto toca o chão: A = v₀ × t, com t o tempo de queda. É o MU da horizontal durando exatamente o tempo que a vertical levou para cair.
Tome o avião do caso, em voo horizontal a 100 m/s, 500 m acima de um campo, que solta um pacote. Referencial: origem no ponto em que o pacote é solto, x no sentido do voo, y para baixo. Da altura sai o tempo: t = √(2 × 500 ÷ 10) = √100 = 10 s. Do tempo sai o alcance: A = 100 × 10 = 1 000 m. O piloto tem de soltar o pacote um quilômetro antes do alvo.
E há um detalhe que a figura mostra e a prova adora: enquanto cai, o pacote continua a 100 m/s na horizontal, exatamente a velocidade do avião. Em cada instante ele está bem embaixo do avião — a 5 s, os dois andaram 500 m; a 10 s, 1 000 m. Visto da cabine, o pacote parece descer em linha reta; visto do chão, ele descreve a curva da figura. Os dois observadores estão certos: é a independência dos movimentos vista de dois referenciais.
Dica ENEM
Dica ENEM: o pacote não fica para trás
Sem resistência do ar, o objeto solto de um avião, de um trem ou de uma bicicleta em movimento uniforme cai na vertical do ponto de onde foi solto, no referencial do veículo — isto é, sempre embaixo dele. A alternativa "o pacote cai atrás do avião" está na prova para quem imagina que a velocidade horizontal se perde ao soltar; ela não se perde, porque nada a freia.
Lançamento oblíquo: decompor a velocidade inicial
Agora a velocidade inicial é inclinada: uma bola chutada, um jato de água, um projétil disparado para cima e para a frente. É o lançamento oblíquo, e ele se resolve com a ferramenta do capítulo 2: um vetor inclinado é a soma de duas sombras, uma em cada eixo. A velocidade inicial v₀, que faz um ângulo θ com a horizontal, vira duas velocidades iniciais — uma para o MU da horizontal e outra para o lançamento vertical.
Definição
Lançamento oblíquo: as duas velocidades iniciais
Para v₀ inclinada de um ângulo θ com a horizontal:
- componente horizontal: v₀x = v₀ × cos θ — a velocidade do MU, que não muda;
- componente vertical: v₀y = v₀ × sen θ — a velocidade inicial do lançamento vertical, que diminui na subida, zera no topo e cresce na descida.
Com 37°: cos 37° = 0,8 e sen 37° = 0,6. Com 53°, os dois trocam de lugar.
Tome o disparo que vai servir de exemplo para o resto do capítulo: v₀ = 50 m/s a 37°. A componente horizontal é v₀x = 50 × 0,8 = 40 m/s; a vertical, v₀y = 50 × 0,6 = 30 m/s. Pitágoras confere: √(40² + 30²) = √2 500 = 50 m/s. O 30, 40, 50 é o triângulo 3, 4, 5 vezes dez, como no capítulo 2. De agora em diante o problema tem dois movimentos: um MU a 40 m/s na horizontal e um lançamento vertical a 30 m/s para cima — e os dois começam no mesmo instante.
Aqui o referencial muda de cabeça, e é preciso dizer isso antes de qualquer conta: a origem continua no ponto de saída e x continua no sentido do voo, mas o eixo y fica positivo para cima, porque o objeto primeiro sobe. Com isso a aceleração é −g, e a velocidade vertical em cada instante é vy = v₀y − g × t, exatamente a fórmula do lançamento vertical do capítulo 6.
Atenção
Componente nunca sai maior que o módulo
Se v₀x ou v₀y deu mais que v₀, a conta dividiu onde era para multiplicar, ou trocou seno por cosseno num ângulo maior que 45°. Antes de seguir, feche o triângulo: as duas componentes elevadas ao quadrado e somadas têm de devolver v₀². Para 40 e 30, 1 600 + 900 = 2 500 = 50². Fechou; pode continuar.
Subida, altura máxima e alcance
Com as duas velocidades iniciais na mão, o lançamento oblíquo vira dois problemas conhecidos. O vertical é o do capítulo 6: uma bola lançada para cima a 30 m/s. Ela sobe desacelerando 10 m/s a cada segundo, e a velocidade vertical zera quando g × t = v₀y, isto é, em t = v₀y ÷ g = 30 ÷ 10 = 3 s. Esse é o tempo de subida. A altura nesse instante é a altura máxima: por Torricelli, com a velocidade vertical final igual a zero, H = v₀y² ÷ (2 × g) = 900 ÷ 20 = 45 m. E a descida é o espelho da subida: mais 3 s, e o objeto volta à altura de onde saiu. Tempo total no ar: 6 s.
Enquanto isso, a horizontal andou o tempo inteiro a 40 m/s. Nos 6 s em que o objeto ficou no ar, ela percorreu A = v₀x × t total = 40 × 6 = 240 m. Esse é o alcance do lançamento oblíquo: a mesma fórmula do horizontal, com v₀x no lugar de v₀ e o tempo total de voo no lugar do tempo de queda. O tempo, de novo, é a ponte: a vertical decide quanto tempo o voo dura; a horizontal decide quanto se anda nesse tempo.
Atenção
No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero — a aceleração, não
No topo do arco o objeto parou de subir e ainda não começou a descer: vy = 0. Mas ele não está parado: a horizontal continua a 40 m/s, e a velocidade nesse instante é 40 m/s, na horizontal. E a aceleração continua sendo g = 10 m/s², para baixo, o tempo inteiro — é ela que faz a velocidade vertical passar de zero para negativa no instante seguinte. Aceleração zero no topo é um dos erros que a prova mais gosta de oferecer.
A trajetória que a figura mostra é a soma das duas descrições, e tem nome: parábola. Não é preciso desenhá-la com precisão para resolver problema nenhum; basta saber que ela é simétrica em relação ao ponto mais alto, porque a subida e a descida da vertical são espelhos, e a horizontal anda sempre igual. Da simetria saem dois atalhos: o tempo total é o dobro do tempo de subida, e a velocidade ao tocar o chão tem o mesmo módulo da velocidade de saída — 50 m/s, com a componente vertical agora apontando para baixo.
Ângulos complementares: 37° e 53°, o mesmo alcance
Repita o disparo com os mesmos 50 m/s, mas a 53°. Os dois números trocam de lugar: v₀x = 50 × 0,6 = 30 m/s e v₀y = 50 × 0,8 = 40 m/s. A vertical agora parte mais forte: sobe por 40 ÷ 10 = 4 s, chega a H = 40² ÷ 20 = 1 600 ÷ 20 = 80 m e fica 8 s no ar. A horizontal, mais fraca, anda a 30 m/s durante esses 8 s: A = 30 × 8 = 240 m. O mesmo alcance do disparo a 37°.
Não é coincidência. Dois ângulos que somam 90° são complementares, e o seno de um é o cosseno do outro. Ao trocar 37° por 53°, v₀x e v₀y trocam de valor: um disparo ganha na vertical o que perde na horizontal. O de 53° fica mais tempo no ar, mas anda mais devagar para a frente; o de 37° anda mais depressa, mas cai antes. O produto dá o mesmo alcance.
| Ângulo | v₀x e v₀y | H e alcance |
|---|---|---|
| 37° | 40 e 30 m/s | 45 m e 240 m |
| 53° | 30 e 40 m/s | 80 m e 240 m |
Dica ENEM
Dica ENEM: 45° é o meio do caminho
Entre os ângulos complementares, o que fica exatamente no meio é 45° — e é ele que dá o alcance máximo para uma dada velocidade: com 50 m/s, 250 m, um pouco mais que os 240 m de 37° e 53°. A prova usa isso de dois jeitos: pergunta qual ângulo alcança mais longe (45°) ou dá dois disparos com ângulos que somam 90° e pergunta qual chega mais longe (nenhum: empatam). Quem chega mais alto e fica mais tempo no ar é sempre o de maior ângulo.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos deste capítulo há dois passos antes dos três: declarar o referencial (origem, sentido de cada eixo, instante zero) e separar o movimento em dois, um por eixo. Depois disso, cada eixo é um problema que os capítulos 3 e 6 já resolveram.
Exemplo 1 — O pacote do avião
Um avião em voo horizontal a 100 m/s, a 500 m de altura, solta um pacote. Quanto tempo o pacote leva para chegar ao chão e a que distância horizontal do ponto em que foi solto ele cai? (g = 10 m/s², sem resistência do ar; origem no ponto de largada, y para baixo)
Fórmula. t = √(2 × h ÷ g) ; A = v₀ × t
Substituição. t = √(2 × 500 ÷ 10) = √100 ; A = 100 × 10
Resultado. t = 10 s ; A = 1 000 m
Conferência. em 10 s o avião também andou 100 × 10 = 1 000 m — o pacote cai bem embaixo dele. A altura só serviu para o tempo; a velocidade só serviu para a distância.
Exemplo 2 — As duas balas
De uma altura de 5 m, no mesmo instante, uma bala é disparada na horizontal a 500 m/s e outra é solta do repouso. Quanto tempo cada uma leva até o chão, e a que distância horizontal cada uma toca o chão? (origem no ponto de partida, y para baixo)
Fórmula. t = √(2 × h ÷ g), para as duas ; A = v₀ × t
Substituição. t = √(2 × 5 ÷ 10) = √1 ; disparada: A = 500 × 1 ; solta: A = 0 × 1
Resultado. t = 1 s para as duas ; disparada: A = 500 m ; solta: A = 0
Conferência. as duas verticais são idênticas — mesma altura, velocidade vertical inicial zero, mesmo g — e por isso os tempos empatam. A diferença de 500 m está inteira na horizontal, que não interfere na queda.
Exemplo 3 — Cinquenta a trinta e sete graus
Um projétil é lançado do chão a 50 m/s, inclinado 37° com a horizontal (sen 37° = 0,6; cos 37° = 0,8). Quais são as componentes da velocidade inicial, o tempo de subida, a altura máxima, o tempo total de voo e o alcance? (origem no ponto de saída, y para cima)
Fórmula. v₀x = v₀ × cos 37° ; v₀y = v₀ × sen 37° ; t subida = v₀y ÷ g ; H = v₀y² ÷ (2 × g) ; t total = 2 × t subida ; A = v₀x × t total
Substituição. v₀x = 50 × 0,8 ; v₀y = 50 × 0,6 ; t subida = 30 ÷ 10 ; H = 900 ÷ 20 ; t total = 2 × 3 ; A = 40 × 6
Resultado. v₀x = 40 m/s ; v₀y = 30 m/s ; t subida = 3 s ; H = 45 m ; t total = 6 s ; A = 240 m
Conferência. 45 m é a altura que, na tabela das quedas, leva 3 s para cair — a descida espelha a subida. E 40² + 30² = 2 500 = 50²: as componentes fecham o triângulo.
Exemplo 4 — Os mesmos cinquenta, a cinquenta e três graus
O mesmo projétil é lançado a 50 m/s, agora a 53° (sen 53° = 0,8; cos 53° = 0,6). Altura máxima, tempo total e alcance? (origem no ponto de saída, y para cima)
Fórmula. v₀x = v₀ × cos 53° ; v₀y = v₀ × sen 53° ; H = v₀y² ÷ (2 × g) ; t total = 2 × v₀y ÷ g ; A = v₀x × t total
Substituição. v₀x = 50 × 0,6 ; v₀y = 50 × 0,8 ; H = 1 600 ÷ 20 ; t total = 2 × 40 ÷ 10 ; A = 30 × 8
Resultado. v₀x = 30 m/s ; v₀y = 40 m/s ; H = 80 m ; t total = 8 s ; A = 240 m
Conferência. sobe mais (80 m contra 45 m) e fica mais tempo no ar (8 s contra 6 s), mas anda mais devagar para a frente (30 m/s contra 40 m/s): o alcance empata em 240 m, como os ângulos complementares prometem.
Exemplo 5 — A velocidade no topo e no chão
No disparo do Exemplo 3 (50 m/s a 37°), qual é a velocidade do projétil no ponto mais alto, qual é a aceleração nesse ponto e com que velocidade ele toca o chão? (origem no ponto de saída, y para cima)
Fórmula. no topo: vy = 0 e v = v₀x ; a = g o tempo todo ; no chão: vy = v₀y − g × t total ; v = √(v₀x² + vy²)
Substituição. v = 40 ; a = 10 ; vy = 30 − 10 × 6 = 30 − 60 ; v = √(40² + 30²) = √(1 600 + 900) = √2 500
Resultado. no topo: v = 40 m/s, na horizontal ; a = 10 m/s², para baixo ; no chão: vy = −30 m/s e v = 50 m/s
Conferência. o sinal negativo de vy diz "para baixo", contra o eixo. O módulo no chão é igual ao da saída, 50 m/s — a simetria do arco. E no topo o projétil não parou nem deixou de ser puxado: só a vertical zerou.
Radar ENEM
O ENEM cobra este capítulo quase sempre com o próprio caso disfarçado: um objeto solto ou lançado de um veículo em movimento — o pacote do avião, a bola que rola da mesa — e a pergunta quer o tempo de queda, o alcance, ou onde o objeto cai em relação ao veículo.
Um avião a 60 m/s, a 180 m de altura, deve soltar um pacote para atingir um alvo no chão; a que distância horizontal do alvo o piloto solta? Da altura sai o tempo: √(2 × 180 ÷ 10) = √36 = 6 s. Do tempo sai a distância: 60 × 6 = 360 m antes do alvo. O distrator? "Em cima do alvo", para quem imagina que o pacote cai reto. Os outros formatos são a decomposição com 37° e 53° (a prova entrega 0,6 e 0,8 e pergunta a altura máxima ou o alcance), a velocidade e a aceleração no ponto mais alto (velocidade só horizontal; aceleração g) e a comparação de dois disparos — dois ângulos complementares, ou duas velocidades iniciais da mesma altura, com a pergunta "qual cai primeiro".
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Usar v₀ para achar o tempo de queda — o tempo sai só da altura: t = √(2h ÷ g). A velocidade entra depois, no alcance (Exemplo 1).
- Achar que o objeto mais rápido cai antes — duas quedas da mesma altura duram o mesmo tempo, com ou sem velocidade horizontal (Exemplo 2).
- Dizer que a aceleração é zero no topo — a velocidade vertical é zero; a aceleração continua g, e a velocidade total é a componente horizontal (Exemplo 5).
- Trocar seno e cosseno na decomposição — a componente junto do ângulo usa o cosseno; a oposta usa o seno (Exemplos 3 e 4).
- Multiplicar o alcance por v₀ em vez de por v₀x — no oblíquo, a horizontal anda com a componente, não com o módulo (Exemplo 3).
Resumo em cinco peças
- Um arremesso é dois movimentos juntos: horizontal em MU, vertical em queda livre; um não mexe no outro.
- O tempo de queda depende só da altura: t = √(2h ÷ g). A velocidade horizontal não entra.
- Alcance é a horizontal andando durante o tempo que a vertical levou: A = v₀x × t.
- Lançamento oblíquo: decompõe-se v₀ com cos θ e sen θ; no topo vy = 0, mas a aceleração é g.
- Ângulos complementares, como 37° e 53°, dão o mesmo alcance; o maior sobe mais e fica mais tempo no ar.
Se for guardar uma frase só, guarde as duas balas: a que voou 500 m e a que caiu no lugar tocam o chão juntas, porque cair é uma coisa e avançar é outra.
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