Capítulo 8O que o conta-giros do carro está contando

Movimento circular uniforme

O conta-giros marca 3 000 nas duas marchas e o carro anda o dobro numa delas; na parede, três ponteiros giram no mesmo eixo e o dos segundos é 60 vezes mais rápido — girar igual não é andar igual, e nem parece, mas todos eles estão acelerando.

O caso: 3 000 no painel, três ponteiros no mostrador

Noite, estrada vazia. No painel, ao lado do velocímetro, há um segundo mostrador que quase ninguém lê: o conta-giros. A agulha marca 3 000. Três mil o quê? Não é quilômetro por hora, porque o carro vai a 100. Não é metro, não é segundo. E há uma segunda estranheza: o motorista passa da terceira para a quinta marcha, o conta-giros volta aos mesmos 3 000 — e o carro anda o dobro. O motor gira igual; o carro, não.

A resposta está pendurada na parede de qualquer sala. O relógio tem três ponteiros presos no mesmo eixo, girando no mesmo mostrador, e nenhum deles anda na mesma velocidade que o outro. O dos segundos dá uma volta a cada minuto; o dos minutos, uma a cada hora. O dos segundos é 60 vezes mais rápido — e, no entanto, os dois giram "sempre igual", sem acelerar nem frear em nenhum ponto da volta.

Girar sempre igual tem nome: movimento circular uniforme. Este capítulo aprende a medi-lo com quatro números — período, frequência, velocidade angular e velocidade linear —, descobre que ele esconde uma aceleração que o velocímetro não mostra, e termina no que o conta-giros conta de verdade: rotações por minuto, o mesmo 3 000 que a transmissão transforma em velocidades diferentes conforme a marcha. O relógio, o conta-giros e a bicicleta obedecem às mesmas três regras.

Período e frequência: quanto dura uma volta

Todo movimento circular uniforme se repete: a cada volta, o ponto passa pelo mesmo lugar, com a mesma rapidez. Quando algo se repete, há duas perguntas naturais. Quanto tempo dura uma repetição? Quantas repetições cabem em um segundo? As respostas são o período e a frequência, os mesmos dois números que a série de Ondulatória usou para o vaivém de uma onda — aqui, a repetição é uma volta completa.

Os dois são escalares: um tempo e uma contagem. Nenhum deles ganha seta. E o hertz tem um parente que aparece em todo painel de carro, furadeira e liquidificador: a rotação por minuto. Rpm é frequência medida em minutos em vez de segundos. Como um minuto tem 60 segundos, a conversão é uma divisão só.

O relógio da parede entrega os três períodos de cabeça. O ponteiro dos segundos dá uma volta em 60 s; o dos minutos, em uma hora, 3 600 s; o das horas, em doze horas, 43 200 s. As frequências são os inversos: 1/60 Hz, 1/3 600 Hz e 1/43 200 Hz. Números pequenos, porque relógio é lento; mas a comparação entre eles já responde metade do caso: o período dos minutos é 60 vezes o dos segundos, e a frequência, 60 vezes menor.

Velocidade angular: quanto ângulo por segundo

Período e frequência dizem quantas voltas; não dizem quanto de volta. Para medir "quanto de volta" a cada segundo, é preciso medir ângulo, e a física mede ângulo de um jeito que não é o grau. É o radiano: o ângulo cujo arco tem o comprimento do raio. Uma volta completa tem um arco de 2πR, logo vale 2π radianos, cerca de 6,28 rad; meia volta é π rad; um quarto de volta, π/2 ≈ 1,57 rad. Um radiano é um pouco menos que 60°: aproximadamente 57°.

A vantagem do radiano é uma só, e é grande: com o ângulo em radianos, o comprimento do arco é o ângulo vezes o raio. Um ângulo de 2 rad num raio de 3 m abre um arco de 6 m; a volta inteira, 2π rad, abre 2πR, que é o comprimento da circunferência. Grau não faz isso; radiano faz.

Uma roda a 60 rpm dá uma volta por segundo: f = 1 Hz, T = 1 s, e ω = 2π/1 ≈ 6,28 rad/s, que este livro arredonda para 6,3 rad/s. O motor a 3 000 rpm, 50 Hz, tem ω = 2π × 50 ≈ 314 rad/s. O ponteiro dos segundos, com T = 60 s, tem ω = 2π/60 ≈ 0,105 rad/s; o dos minutos, 2π/3 600 ≈ 0,00175 rad/s — sessenta vezes menos, porque o período é sessenta vezes mais. A velocidade angular é a régua justa para comparar ponteiros: mede quanto cada um gira, sem se importar com o tamanho de cada um.

Velocidade linear: quanto caminho por segundo

Agora a pergunta que o velocímetro responde: quantos metros o ponto percorre por segundo. Em uma volta, ele percorre a circunferência inteira, 2πR, no tempo T. Logo a velocidade linear é v = 2πR/T. Como 2π/T é ω, a mesma conta se escreve v = ωR — e essa forma diz tudo: para o mesmo giro, quem está mais longe do centro anda mais.

O disco da figura dá uma volta por segundo. O ponto a 0,5 m do centro percorre 2π × 0,5 ≈ 3,1 m a cada segundo; o ponto da borda, a 1 m, percorre 2π × 1 ≈ 6,3 m. Os dois varrem o mesmo ângulo, e um anda o dobro do outro. É por isso que, num carrossel, a criança no cavalo de fora sente mais vento que a do cavalo de dentro: mesma ω, raio maior, velocidade maior.

A velocidade linear é vetor. O módulo é v = ωR, mas a seta é sempre tangente à circunferência, apontando para onde o ponto iria se soltasse — a pedra da funda sai reta, pela tangente, não pelo raio. Guarde isso, porque é a chave da próxima seção.

A aceleração que o velocímetro não mostra: centrípeta

Aqui mora o erro mais repetido sobre o movimento circular: "a velocidade é constante, então não há aceleração". O velocímetro parado em 36 km/h numa rotatória parece confirmar. Mas o velocímetro mostra só o módulo. A velocidade é uma seta, e numa curva a seta gira o tempo todo — aponta para o norte, depois para o oeste, depois para o sul. Uma velocidade que muda de direção é uma velocidade que muda; e velocidade que muda é aceleração, por definição, mesmo com o módulo travado.

Para onde aponta essa aceleração? Ela não muda o módulo da velocidade, então não pode ter nada ao longo da seta de velocidade — não empurra para a frente nem freia. Só sobra a direção perpendicular à velocidade, e, na circunferência, perpendicular à tangente é o raio. A aceleração aponta para o centro, a cada instante, e por isso se chama centrípeta: "que busca o centro".

Um carro a 10 m/s numa curva de 50 m de raio tem aceleração centrípeta de 10²/50 = 100/50 = 2 m/s². A mesma curva a 20 m/s exigiria 400/50 = 8 m/s², quatro vezes mais — e é por isso que curva fechada em alta velocidade é perigosa: o que faz o carro ficar na curva precisa produzir uma aceleração que cresce com o quadrado da velocidade. Quem produz essa aceleração — o atrito do pneu, a tração de um fio, o peso de um satélite — é assunto do capítulo 14; aqui só medimos quanto ela vale.

Transmissão: correia, eixo e engrenagem

Falta explicar o carro que anda o dobro com o motor girando igual. Máquinas que giram raramente giram sozinhas: o motor gira um eixo, o eixo move uma engrenagem, a engrenagem move outra, e no fim a roda gira. Cada ligação transmite o giro com uma regra própria, e são só duas.

Na figura, a polia 1 tem 10 cm de raio e gira a 2 Hz; a correia sai dela a 2π × 0,10 × 2 ≈ 1,26 m/s e chega à polia 2 com essa mesma velocidade. Como a polia 2 tem 20 cm de raio, o dobro, ela precisa de metade das voltas para engolir o mesmo comprimento de correia: 1 Hz. A regra é sempre a mesma: raio duas vezes maior, frequência duas vezes menor.

A bicicleta usa as duas regras numa pedalada só. O pedal e a coroa estão no mesmo eixo: mesma ω. A corrente liga a coroa à catraca: mesma v na borda das duas. A catraca e a roda traseira estão no mesmo eixo: mesma ω de novo. Com a coroa de 10 cm e a catraca de 5 cm, cada volta do pedal vira duas voltas da catraca — e da roda. Pedalando a 1 Hz, a roda gira a 2 Hz; com 0,35 m de raio, a borda da roda anda a 2π × 0,35 × 2 ≈ 4,4 m/s, uns 16 km/h. Passar a corrente para uma catraca menor aumenta a frequência da roda com o mesmo pedal: a marcha "mais pesada" da bicicleta é a de catraca menor.

O caso resolvido: o painel e o mostrador

O conta-giros conta rotações por minuto do motor: 3 000 rpm são 50 voltas por segundo, um período de 0,02 s, uma velocidade angular de 314 rad/s. Entre o motor e a roda há a caixa de marchas, que é um conjunto de engrenagens — e engrenagem obedece à primeira regra: raio menor, frequência maior. Cada marcha liga o motor à roda por um par de engrenagens diferente, e por isso a mesma rotação do motor vira rotações diferentes da roda.

Num carro de exemplo, com o motor a 3 000 rpm, a terceira marcha faz a roda girar a 450 rpm e a quinta, a 900 rpm — o dobro. A roda é a mesma, com 0,3 m de raio, e v = 2πR·f: em terceira, 2π × 0,3 × 7,5 ≈ 14,1 m/s, cerca de 51 km/h; em quinta, 2π × 0,3 × 15 ≈ 28,3 m/s, cerca de 102 km/h. O motor não fez mais força nem girou mais depressa; a caixa de marchas trocou a razão entre os raios, e a roda dobrou a frequência. O conta-giros não mede velocidade do carro. Mede a frequência do motor, e a marcha decide o que ela vira na roda.

E o relógio? Os três ponteiros estão no mesmo eixo, mas não presos um ao outro: um mecanismo de engrenagens dentro do relógio dá a cada um a sua frequência, exatamente como a caixa de marchas faz com a roda. O ponteiro dos segundos tem ω = 2π/60 rad/s; o dos minutos, 2π/3 600 rad/s. A razão entre os dois é 3 600/60 = 60: o dos segundos é 60 vezes mais rápido, como a abertura prometeu. E a ponta dele, num ponteiro de 15 cm, anda a 2π × 0,15/60 ≈ 0,016 m/s — 1,6 cm por segundo, com uma aceleração centrípeta minúscula apontando para o eixo, o tempo inteiro, mesmo girando sempre igual.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos deste capítulo há um passo antes dos três: converter para segundos e hertz — rpm vira Hz dividindo por 60, e centímetros viram metros — e desenhar as duas setas, a velocidade tangente e a aceleração para o centro.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo quase sempre pela transmissão: bicicleta com coroa e catraca, polias ligadas por correia, engrenagens de uma máquina. A pergunta pede a frequência, a velocidade ou a razão entre duas peças, e a resposta depende de uma escolha só — o que é igual entre elas. Em segundo lugar vêm rpm, período e frequência, com a divisão por 60 escondida, e a afirmação conceitual sobre a aceleração no movimento uniforme.

Um ciclista pedala a 1 Hz numa bicicleta com coroa de 10 cm e catraca de 5 cm de raio; qual é a frequência da roda? A corrente impõe a mesma velocidade linear: 10 × 1 = 5 × f, e f = 2 Hz. E o distrator? 0,5 Hz, posto ali para quem aplica a regra ao contrário e acha que a catraca menor gira mais devagar. Com a roda de 0,35 m, a velocidade da bicicleta sai de v = 2πR·f ≈ 4,4 m/s, uns 16 km/h — e a alternativa com 2,2 m/s espera quem esqueceu que a catraca dobrou a frequência do pedal.

Resumo em cinco peças

1. Período é o tempo de uma volta; frequência é voltas por segundo: f = 1/T. Rpm vira Hz dividindo por 60.
2. Velocidade angular ω = 2π/T, em rad/s; velocidade linear v = ωR, tangente à trajetória.
3. O circular uniforme acelera: a centrípeta, v²/R, para o centro, muda a direção de v, não o módulo.
4. Correia, corrente ou dentes: mesma velocidade linear. Mesmo eixo: mesma velocidade angular.
5. Menor raio, maior frequência: na correia, a polia menor gira mais; no mesmo eixo, a roda maior anda mais.

Se for guardar uma frase só, guarde o relógio: três ponteiros no mesmo eixo, e o dos segundos é o mais rápido — acelerando para o centro o tempo inteiro, mesmo girando sempre igual.

Lista de exercícios no app