Capítulo 9O canhão que recua e o animal que nada para trás
Conservação da quantidade de movimento
O canhão anda para trás quando dispara, e o calamar anda para trás para ir para a frente — porque dois corpos que se empurram partindo do repouso levam quantidades de movimento iguais e opostas, e o total, antes e depois, dá zero.
Neste capítulo você vai
- Declarar o sistema e os instantes antes de toda conta e reconhecer um sistema isolado: força externa resultante zero, quantidade de movimento total constante
- Calcular recuo, explosão em duas partes e propulsão a jato com m um v um igual a menos m dois v dois — do canhão ao calamar, dos patinadores ao astronauta
- Separar as duas contabilidades: a explosão cria energia cinética, um escalar, e não cria quantidade de movimento, um vetor que soma zero
Assista ao episódio 9
Este capítulo acompanha o episódio 9 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: o canhão que anda para trás
Um canhão antigo de bronze, montado numa carreta de rodas, sobre um piso de pedra. A pólvora queima, a bala sai pela boca — e o canhão inteiro rola para trás. Quem já viu um disparo desses sabe que o recuo não é detalhe: a carreta desliza um bom pedaço, e as tripulações de outros séculos deixavam espaço atrás da peça exatamente por isso. Nada empurrou o canhão por fora. O que o empurrou foi a mesma explosão que empurrou a bala, só que no sentido contrário.
Os números deste capítulo são redondos de propósito, escolhidos para a conta e não medidos num canhão específico: uma peça de 1 000 kg dispara uma bala de 10 kg a 200 m/s. A bala é cem vezes mais leve que o canhão e sai cem vezes mais rápida do que ele recua: 2 m/s para trás. Cem vezes de um lado, cem vezes do outro. Não é coincidência; é a lei deste capítulo.
O mesmo princípio move um animal. O calamar, um molusco do grupo das lulas, nada para trás para ir para a frente: enche a cavidade do manto de água e a expulsa num jato por um sifão. A água sai para um lado; o animal vai para o outro. Um estudo de 2022 sobre propulsão a jato em lulas e calamares (Zhu e Xiao) registra que a espécie Loligo opalescens escapa a cerca de dez comprimentos de manto por segundo; larvas de Loligo vulgaris chegam a 25 comprimentos por segundo, e espécies chamadas "voadoras", a 37. O calamar de 1,5 kg que vai fazer contas mais adiante é uma idealização didática, não uma medida — o dado real é a velocidade em comprimentos de manto.
Canhão e bala, calamar e água: em cada caso são dois corpos que se empurram partindo do repouso. Antes, a quantidade de movimento total é zero. Depois, continua zero. Este capítulo diz por que isso acontece, começando pela ideia de sistema isolado e terminando com o ponto que mais engana: a explosão cria energia cinética, mas não cria quantidade de movimento.
O sistema isolado
O capítulo 8 apresentou a quantidade de movimento, p = m·v, um vetor, e o impulso, I = F·Δt, que é igual à variação de p. Uma força externa muda a quantidade de movimento de um corpo. A pergunta deste capítulo é o passo seguinte: e se não houver força externa? Para responder, é preciso antes escolher o sistema — o conjunto de corpos de que se está falando.
Definição
Sistema isolado
- Sistema é o conjunto de corpos que você escolhe estudar: canhão + bala, calamar + água, os dois patinadores.
- Força interna é a que um corpo do sistema faz em outro corpo do sistema. Ela sempre vem em par: ação e reação, iguais e opostas — a terceira lei de Newton, do capítulo 11 do livro da Mecânica I.
- Sistema isolado é aquele em que a força externa resultante é zero na direção estudada. Basta ser isolado naquela direção: o canhão + bala é isolado na horizontal, mesmo com peso e normal agindo na vertical.
No disparo, os gases da pólvora empurram a bala para a frente e o canhão para trás. Essas duas forças são internas ao sistema canhão + bala: são o par ação e reação, com o mesmo módulo e o mesmo tempo de duração. Na vertical, o peso e a normal do piso se cancelam. Na horizontal, durante o instante do disparo, não há força de fora que valha alguma coisa diante da explosão — o atrito das rodas é pequeno demais para contar nesse tempo. É isso que o cartão da figura declara: forças externas horizontais, nenhuma.
Atenção
O sistema é escolha sua — e a escolha muda o que é externo
Se você chamar de sistema só a bala, a força dos gases é externa a ela, e a quantidade de movimento da bala muda (de zero a 2 000 kg·m/s). Se chamar de sistema canhão + bala, a mesma força passa a ser interna, e a quantidade de movimento do conjunto não muda. A força é a mesma; o que mudou foi a linha tracejada. Por isso a conta de conservação começa sempre dizendo qual é o sistema.
Dica ENEM
Dica ENEM: sistema e instantes antes de qualquer conta
Antes de escrever a primeira igualdade, escreva três coisas: o sistema ("canhão + bala"), o antes ("tudo em repouso") e o depois ("bala a 200 m/s, canhão a v"). É o mesmo hábito do referencial declarado da cinemática e do nível de referência da energia potencial. Sem isso, a igualdade não tem dono, e a prova cobra exatamente o sinal que se perde quando não se diz para que lado é o positivo.
Antes e depois: a quantidade de movimento total não muda
Junte as duas ideias: força interna vem em par de ação e reação, e impulso é força vezes tempo. O impulso que os gases dão à bala e o impulso que dão ao canhão têm o mesmo módulo, o mesmo tempo e sentidos opostos. Somados, dão zero. Se a soma dos impulsos internos é zero e não há impulso externo, a quantidade de movimento total do sistema não pode mudar. Ela é a mesma antes e depois — seja qual for a violência do que aconteceu no meio.
Definição
Conservação da quantidade de movimento
Num sistema isolado, a quantidade de movimento total antes é igual à de depois: pantes = pdepois. A igualdade é vetorial: vale para cada direção, com sinal. Em uma dimensão, escolha um sentido positivo e escreva cada p = m·v com o sinal da velocidade; a soma antes é igual à soma depois.
Repare no que a lei não diz. Ela não diz que cada corpo mantém a sua quantidade de movimento — a bala saiu de zero para 2 000 kg·m/s. Ela não diz que nada acontece — houve uma explosão. Diz só que a soma é a mesma. É uma lei de contabilidade: o que um corpo ganha, outro corpo do sistema perde, no mesmo instante e na mesma medida. Foi por isso que o capítulo 8 fez questão de tratar p como vetor. Duas quantidades de movimento de 2 000 kg·m/s em sentidos opostos não somam 4 000: somam zero. Se você somar módulos, a conservação some da conta. Daí a regra de desenho da série, na tabela: seta só para o que tem sentido; a energia cinética, quando entrar nesta história, entra como barra.
| Grandeza | Natureza | No desenho |
|---|---|---|
| quantidade de movimento | vetor | seta |
| energia cinética | escalar | barra |
| massa | escalar | número |
O recuo: do repouso, duas setas opostas
Agora a conta do canhão, nos três tempos da série e com o sistema declarado. Sistema: canhão + bala. Antes: tudo parado, p total = 0. Depois: a bala vai a 200 m/s e o canhão a uma velocidade v que se quer descobrir. Sentido positivo: o da bala.
Antes, 0. Depois, 1 000 × v + 10 × 200. Igualando: 1 000 × v + 2 000 = 0, logo v = −2 m/s. O sinal negativo é a resposta física: o canhão vai para trás, a 2 m/s. Escrita de outro jeito, a mesma igualdade fica m₁v₁ = −m₂v₂: a quantidade de movimento de um é a do outro com o sinal trocado.
| Corpo | m × v | p (kg·m/s) |
|---|---|---|
| bala | 10 × 200 | +2 000 |
| canhão | 1 000 × (−2) | −2 000 |
| total | — | 0 |
Definição
Recuo: a igualdade do repouso
Quando dois corpos partem do repouso e se empurram, m₁v₁ = −m₂v₂. As quantidades de movimento têm o mesmo módulo e sentidos opostos, e as velocidades ficam na razão inversa das massas: o corpo cem vezes mais leve sai cem vezes mais rápido. É o recuo de toda arma, o salto de quem pula de um barco, o empurrão entre dois patinadores.
Uma imagem guarda a lei inteira: a quantidade de movimento é uma gangorra com o zero no meio. Se um lado sobe, o outro desce na mesma medida. Não importa quanta energia a explosão inventou, nem quanto barulho fez: a gangorra continua equilibrada no zero. A figura mostra isso de um jeito que vale a pena olhar duas vezes — as duas setas postas ponta a cauda voltam ao ponto de partida, e no lugar onde toda soma de vetores desenha a resultante não há nada. A resultante não se desenha porque é zero.
Atenção
Zero no total não é zero em cada corpo
A soma das quantidades de movimento é zero; a de cada corpo, não. A bala carrega 2 000 kg·m/s para a frente e o canhão, 2 000 kg·m/s para trás. Quem lê "conservação" como "nada se move" erra a questão inteira: as duas coisas se movem, e é justamente por se moverem em sentidos opostos, com o mesmo módulo, que o total continua zero.
Dica ENEM
Dica ENEM: o leve sai mais rápido, na razão das massas
Em todo recuo do repouso, v₁ ÷ v₂ = m₂ ÷ m₁. Massa cem vezes menor, velocidade cem vezes maior. A prova costuma dar as duas massas e uma velocidade e pedir a outra: divida as massas e multiplique. Se a resposta der o corpo pesado mais rápido que o leve, a fração ficou invertida.
A explosão em duas partes
A mesma conta vale quando não há canhão nenhum: um corpo em repouso que se parte em dois por uma força interna — uma mola que dispara, uma carga que explode, uma pessoa que pula de um carrinho. Sistema: os dois pedaços. Antes: repouso, p = 0. Depois: dois pedaços em sentidos opostos.
Um corpo de 6 kg, em repouso, se parte em dois: um pedaço de 2 kg sai a 30 m/s. Para onde vai o pedaço de 4 kg, e a que velocidade? Sentido positivo: o do pedaço de 2 kg. Antes, 0. Depois, 2 × 30 + 4 × v = 60 + 4v. Então 4v = −60 e v = −15 m/s: o pedaço de 4 kg vai para o lado oposto, à metade da velocidade, porque tem o dobro da massa. As duas setas de p valem 60 kg·m/s cada uma, e somam zero.
Propulsão: o foguete e o calamar
Agora o recuo vira motor. Um foguete não empurra o ar, e por isso funciona no vácuo: ele joga gás para trás, em alta velocidade, e a quantidade de movimento do gás para trás é igual à que o foguete ganha para a frente. É o par ação e reação da terceira lei, que o livro da Mecânica I mostrou no capítulo 11, agora contado em quantidade de movimento. O foguete, o motor a jato e o calamar fazem a mesma coisa: jogam massa para trás.
O calamar enche o manto de água, fecha a abertura e contrai o manto: a água sai pelo sifão num jato, e o corpo vai para o lado contrário. Tome o modelo idealizado da série, que não é medida de nenhum animal: um corpo de 1,5 kg expulsa 0,15 kg de água a 20 m/s. Sistema: calamar + água expulsa. Antes: tudo parado, p = 0. Depois: 1,5 × v + 0,15 × (−20) = 0, logo 1,5 × v = 3 e v = 2 m/s, para a frente. O animal sai dez vezes mais devagar que a água, porque tem dez vezes mais massa. E, se o manto tiver 20 cm, 2 m/s são dez comprimentos de manto por segundo — a mesma ordem do dado real, "cerca de dez comprimentos por segundo". O modelo é simples; a física é a mesma do bicho.
Definição
Propulsão a jato
Um corpo ganha quantidade de movimento para a frente expulsando massa para trás. Se a massa expulsa m₂ sai a v₂, o corpo de massa m₁ ganha v₁ = m₂v₂ ÷ m₁ no sentido oposto. Quanto mais massa jogada, e quanto mais rápido, mais o corpo avança. Vale no ar, na água e no vácuo: o que empurra o corpo é a massa que ele mesmo expulsa, não o meio em volta.
Atenção
O foguete não precisa de ar para empurrar
"No espaço não tem ar, então o foguete não teria em que se apoiar" é o erro clássico. O foguete não se apoia em nada de fora: se apoia no próprio gás que expulsa. O gás recebe quantidade de movimento para trás; o foguete recebe a mesma quantidade para a frente. No vácuo funciona até melhor, porque não há resistência do ar segurando.
O momento se conserva mesmo quando a energia cinética cresce
Volte à explosão dos 6 kg. Antes, tudo parado: energia cinética zero. Depois, o pedaço de 2 kg a 30 m/s tem Ec = ½ × 2 × 30² = 900 J, e o de 4 kg a 15 m/s tem ½ × 4 × 15² = 450 J. Somando: 1 350 J de energia cinética que não existiam antes. De onde veio? Da energia química da carga que explodiu, transformada em movimento. A explosão criou energia cinética — a partir de outra forma de energia — e não criou nem um grama vezes metro por segundo de quantidade de movimento.
| Corpo | p (kg·m/s) | Ec (J) |
|---|---|---|
| 2 kg a 30 m/s | +60 | 900 |
| 4 kg a 15 m/s | −60 | 450 |
| total | 0 | 1 350 |
A tabela mostra as duas contabilidades. A coluna da quantidade de movimento soma com sinal e dá zero. A coluna da energia soma sem sinal — energia é escalar, não tem sentido — e dá 1 350 J. As duas leis convivem no mesmo evento porque falam de coisas diferentes: uma é um vetor que se conserva num sistema isolado; a outra é um escalar que se transforma. O canhão do caso é ainda mais extremo: a bala leva ½ × 10 × 200² = 200 000 J, e o canhão, ½ × 1 000 × 2² = 2 000 J. A bala leva cem vezes mais energia cinética que o canhão — a razão inversa das massas, de novo —, mas exatamente a mesma quantidade de movimento, com o sinal trocado.
Atenção
Explosão cria energia cinética, não cria quantidade de movimento
Um sistema parado que explode ganha energia cinética, vinda da química, da mola ou do músculo. Mas a soma vetorial das quantidades de movimento continua a que era — zero, se partiu do repouso. Na hora da prova: se a questão fala em explosão ou recuo, a conta é de quantidade de movimento. A energia cinética depois não é igual à de antes, e ninguém pede que seja.
Este é o ponto que os capítulos seguintes vão cobrar de volta. Numa colisão, o que se conserva sempre é a quantidade de movimento; a energia cinética se conserva só num tipo especial de choque. Guarde desde já a frase: momento se conserva; energia cinética, nem sempre.
Patinadores e o astronauta
Dois patinadores parados, frente a frente, se empurram. Não há explosão, mas há força interna — o empurrão — e não há força externa horizontal que valha, porque o gelo quase não tem atrito. Sistema: os dois patinadores. Antes: repouso, p = 0. O de 60 kg sai a 2 m/s. Sentido positivo: o dele. Depois: 60 × 2 + 40 × v = 0, logo 40v = −120 e v = −3 m/s. O patinador de 40 kg sai a 3 m/s no sentido oposto: mais leve, mais rápido, na razão 60 ÷ 40 = 1,5.
O astronauta é o mesmo problema sem gelo nenhum: um astronauta de 80 kg, parado no espaço, longe da nave, joga uma ferramenta de 2 kg a 4 m/s (valores didáticos). A ferramenta leva 2 × 4 = 8 kg·m/s para um lado; ele recebe 8 kg·m/s para o outro, e 8 ÷ 80 = 0,1 m/s. É pouco — um decímetro por segundo —, mas é um movimento que ninguém freia, porque não há força externa. Jogar a ferramenta no sentido contrário ao da nave é um jeito de voltar para ela.
Dica ENEM
Dica ENEM: patinadores, barcos e astronautas são o mesmo problema
Sempre que dois corpos partem do repouso e se separam — patinadores que se empurram, pessoa que pula de um barco parado, astronauta que joga uma ferramenta —, a conta é a do recuo: m₁v₁ = −m₂v₂. O enunciado pode não dizer "quantidade de movimento" em lugar nenhum; a palavra-chave é "em repouso" seguida de "se empurram", "salta", "lança" ou "explode".
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nas contas de conservação há um passo antes dos três: declarar o sistema, o antes e o depois, e o sentido positivo. Sem isso, o sinal se perde — e o sinal é a resposta.
Exemplo 1 — O recuo do canhão
Um canhão de 1 000 kg, em repouso sobre uma carreta livre, dispara uma bala de 10 kg a 200 m/s. Qual é a velocidade de recuo do canhão?
Fórmula. sistema: canhão + bala ; antes: repouso ; pantes = pdepois ⇒ 0 = m₁v₁ + m₂v₂
Substituição. 0 = 1 000 × v + 10 × 200
Resultado. v = −2 m/s: o canhão recua a 2 m/s, no sentido oposto ao da bala
Conferência. 1 000 × 2 = 10 × 200 = 2 000 kg·m/s de cada lado. A bala é cem vezes mais leve e sai cem vezes mais rápida.
Exemplo 2 — O calamar idealizado
Um calamar de 1,5 kg, parado, expulsa 0,15 kg de água a 20 m/s para trás (modelo idealizado). Com que velocidade o corpo do animal sai para a frente?
Fórmula. sistema: calamar + água ; antes: repouso ; 0 = m₁v₁ + m₂v₂
Substituição. 0 = 1,5 × v + 0,15 × (−20)
Resultado. v = 2 m/s, para a frente
Conferência. 1,5 × 2 = 0,15 × 20 = 3 kg·m/s. Dez vezes mais massa, dez vezes menos velocidade; com um manto de 20 cm, são dez comprimentos por segundo.
Exemplo 3 — A explosão em duas partes
Um corpo de 6 kg, em repouso, explode em dois pedaços. O de 2 kg sai a 30 m/s. Qual é a velocidade do pedaço de 4 kg, e quanta energia cinética a explosão criou?
Fórmula. sistema: os dois pedaços ; antes: repouso ; 0 = m₁v₁ + m₂v₂ ; Ec = ½mv²
Substituição. 0 = 2 × 30 + 4 × v ; Ec = ½ × 2 × 30² + ½ × 4 × 15²
Resultado. v = −15 m/s (sentido oposto) ; Ec criada = 900 + 450 = 1 350 J
Conferência. as duas setas de p valem 60 kg·m/s e se cancelam; a energia cinética foi de 0 a 1 350 J. A explosão criou energia, não criou quantidade de movimento.
Exemplo 4 — Os patinadores
Dois patinadores de 60 kg e 40 kg, parados sobre o gelo, se empurram. O de 60 kg sai a 2 m/s. Qual é a velocidade do outro?
Fórmula. sistema: os dois patinadores ; antes: repouso ; 0 = m₁v₁ + m₂v₂
Substituição. 0 = 60 × 2 + 40 × v
Resultado. v = −3 m/s: o patinador de 40 kg sai a 3 m/s, no sentido oposto
Conferência. 60 × 2 = 40 × 3 = 120 kg·m/s. A razão das velocidades, 3 ÷ 2 = 1,5, é a razão inversa das massas, 60 ÷ 40 = 1,5.
Exemplo 5 — Para onde vai a energia do disparo
No disparo do Exemplo 1, quanta energia cinética leva a bala, quanta leva o canhão, e quanto vale a quantidade de movimento total do sistema depois do disparo?
Fórmula. Ec = ½mv² para cada corpo ; ptotal = m₁v₁ + m₂v₂
Substituição. bala: ½ × 10 × 200² ; canhão: ½ × 1 000 × 2² ; ptotal = 1 000 × (−2) + 10 × 200
Resultado. bala: 200 000 J ; canhão: 2 000 J ; ptotal = 0
Conferência. 200 000 ÷ 2 000 = 100, a razão inversa das massas: com a mesma quantidade de movimento, o corpo mais leve fica com mais energia cinética. A energia total, 202 000 J, saiu da pólvora; a quantidade de movimento continuou zero.
Radar ENEM
O ENEM cobra este capítulo em quatro formatos, e todos são a mesma conta com sistema declarado e repouso no antes. O primeiro é o recuo de arma: massa da arma, massa e velocidade do projétil, velocidade de recuo pedida. O segundo é a explosão em duas partes, quase sempre com a velocidade de um pedaço dada e a do outro pedida — às vezes com a energia cinética criada junto. O terceiro é a propulsão, foguete ou animal, em que a prova gosta de perguntar por que funciona no vácuo. O quarto são os patinadores (ou o barco, ou o astronauta), o formato mais direto.
Uma espingarda de 4 kg dispara uma bala de 20 g a 400 m/s. Qual é a velocidade de recuo? Primeiro a unidade: 20 g = 0,02 kg. Quantidade de movimento da bala: 0,02 × 400 = 8 kg·m/s. A arma recebe os mesmos 8 kg·m/s para trás: v = 8 ÷ 4 = 2 m/s. E os distratores? "400 m/s", para quem acha que o mesmo impulso dá a mesma velocidade; "8 m/s", para quem para na quantidade de movimento e esquece de dividir pela massa; "80 000 m/s", para quem inverte a fração e multiplica a massa da arma pela velocidade da bala.
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Dar aos dois corpos a mesma velocidade — o que é igual é a quantidade de movimento, não a velocidade; o leve sai mais rápido (Exemplo 1).
- Somar módulos em vez de somar com sinal — 2 000 para um lado e 2 000 para o outro dão zero, não 4 000 (Exemplo 5).
- Parar na quantidade de movimento — 8 kg·m/s não é velocidade; falta dividir pela massa do corpo que recua (Radar).
- Exigir que a energia cinética se conserve — na explosão ela cresce, e a quantidade de movimento continua a mesma (Exemplo 3).
- Esquecer a unidade — grama vira quilograma antes da conta; 20 g são 0,02 kg (Radar).
Resumo em cinco peças
- Sistema isolado (força externa resultante zero): a quantidade de movimento total é constante.
- Partindo do repouso, m₁v₁ = −m₂v₂: duas setas opostas do mesmo tamanho, que somam zero.
- O leve sai mais rápido: as velocidades ficam na razão inversa das massas.
- Explosão cria energia cinética (vinda da química ou da mola), não cria quantidade de movimento.
- Foguete e calamar avançam jogando massa para trás — no ar, na água ou no vácuo.
Se for guardar uma frase só, guarde a gangorra: o zero fica no meio, um lado sobe o que o outro desce, e nenhuma explosão tira a gangorra do lugar.
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