Capítulo 3A torre que inclina há quase 850 anos e não cai
Centro de gravidade e tombamento
Catorze mil e setecentas toneladas de mármore começaram a inclinar em 1178 e nunca pararam; hoje a torre pende 3,97 graus e não cai, porque a linha do seu peso ainda passa a menos de dois metros do centro de uma base de sete metros e setenta de raio — e o que a fechou em 1990 não foi o torque, foi o chão.
Neste capítulo você vai
- Localizar o centro de gravidade de um corpo extenso, o ponto único onde o peso age, e reconhecer que ele nem sempre fica dentro do corpo
- Decidir se um corpo tomba comparando a linha de ação do peso com a base de apoio: torque em torno da borda, dentro fica, fora cai
- Ler a estabilidade na altura do centro de gravidade e na largura da base, do carro ao caminhão e da torre ao foguete em pé
Assista ao episódio 3
Este capítulo acompanha o episódio 3 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: a torre que começou a inclinar no terceiro andar
Nove de agosto de 1173, Pisa, na Itália: lançam-se as fundações da torre do sino da catedral. Cinco anos depois, em 1178, com a obra no terceiro andar, a torre começa a afundar de um lado. A fundação tinha três metros de profundidade, e o solo embaixo dela era mole. A construção parou, recomeçou, parou de novo; a torre foi terminada quase dois séculos depois, já torta, e nunca parou de inclinar. Tem 55,86 m de altura no lado mais baixo, pesa 14 700 t e apoia-se numa base circular de 15,484 m de diâmetro externo.
Em 1990 a inclinação chegou a 5,5 graus e a torre foi fechada ao público. Entre 1993 e 2001, engenheiros retiraram 38 m³ de solo de baixo do lado alto, devagar, com brocas; a torre girou de volta e o topo recuou 45 cm, cerca de meio grau — a posição que ela tinha em 1838. Hoje ela inclina 3,97 graus, o topo está 3,9 m fora da vertical, e uma avaliação de 2008 a declarou estável por pelo menos duzentos anos.
A pergunta do capítulo é a mais simples possível: por que uma torre torta não cai? A resposta tem duas partes, e as duas precisam ser ditas. Pela conta da física de um corpo rígido, a torre está longe de cair: a linha do seu peso passa a menos de dois metros do centro de uma base de sete metros e setenta de raio, e faltariam uns onze graus de inclinação para essa linha chegar à borda. Mas a torre real não é um bloco rígido pousado num chão firme. Ela está sobre um solo mole, com uma fundação rasa, e a pedra do lado baixo é esmagada pelo próprio peso da torre. Foi por isso que a fecharam a cinco graus e meio: não porque o torque fosse derrubá-la, mas porque o chão e a alvenaria cedem muito antes de a conta do torque chegar ao limite. Este capítulo faz a conta do corpo rígido com cuidado, na seção da torre, e diz com igual cuidado o que a conta não cobre.
Para chegar lá, três ideias novas. A primeira, na seção do centro de gravidade: o peso de um corpo extenso, que está espalhado por toda a sua matéria, pode ser tratado como uma força só, aplicada num ponto. A segunda, na seção da base: um corpo apoiado no chão não se apoia num ponto, como a alavanca do capítulo 2, mas numa região. A terceira, na seção do tombamento, junta as duas: o corpo fica em pé enquanto a linha de ação do peso atravessa a base — e tomba, em torno da borda, quando ela sai.
O peso age no centro de gravidade
O capítulo 1 disse que num corpo extenso importa onde cada força é aplicada. O peso é a força mais incômoda nesse sentido, porque a Terra puxa cada grão do corpo separadamente: uma torre de mármore são bilhões de pedacinhos, cada um com o seu peso, e não dá para desenhar bilhões de setas. A solução é uma só seta, do tamanho do peso total, aplicada num ponto escolhido de tal maneira que o efeito de giro seja o mesmo do peso espalhado. Esse ponto é o centro de gravidade.
Tome a barra da figura, leve, com uma esfera de 6 kg numa ponta e outra de 2 kg na outra, a 1 m de distância. Com g = 10 m/s², os pesos são 60 N e 20 N, e o peso total é 80 N. Onde fica o centro de gravidade? No ponto em que os dois pesos fazem torques que se cancelam. Chame de x a distância desse ponto até a esfera de 6 kg; a outra esfera fica a 1 − x. Polo no centro de gravidade: 60 × x = 20 × (1 − x), logo 80 × x = 20 e x = 0,25 m. O centro de gravidade fica a 25 cm da esfera pesada e a 75 cm da leve: mais perto de quem pesa mais, na proporção exata dos pesos. Conferência: 60 × 0,25 = 15 e 20 × 0,75 = 15, o mesmo torque de cada lado.
Definição
Centro de gravidade
- Centro de gravidade (CG) de um corpo é o ponto em que se pode considerar aplicado o peso total, para todos os efeitos de força e de torque.
- Para vários pesos numa linha, a posição do CG é a média das posições ponderada pelos pesos: cada posição entra multiplicada pelo peso que está nela, e a soma se divide pelo peso total. Com g igual para todos, vale usar as massas.
- Num corpo homogêneo e simétrico — barra, disco, esfera, cilindro, caixa — o CG está no centro geométrico. Numa torre tratada como cilindro uniforme, ele está a meia altura.
A mesma conta com a fórmula da média: (6 × 0 + 2 × 1) ÷ (6 + 2) = 2 ÷ 8 = 0,25 m, medindo a partir da esfera de 6 kg. É a receita que o capítulo 1 já usou para descobrir quanto o centro de gravidade de uma balsa anda quando uma carga fica pendurada fora do centro. Aqui ela ganha o nome e o lugar que merece: o centro de gravidade não é um ponto do corpo, é um ponto do peso — o lugar em que a Terra "pega" o corpo inteiro de uma vez.
E é por ser um ponto do peso, e não da matéria, que ele pode ficar onde não há matéria nenhuma.
O centro de gravidade de um anel homogêneo está no centro do anel — no buraco. O de um bumerangue, o de uma ferradura, o de uma placa em L estão no ar, fora do material. Na placa da figura, feita de um retângulo deitado de 30 cm por 10 cm e de um retângulo em pé de 10 cm por 20 cm, o centro de gravidade cai a 11 cm da borda esquerda e a 11 cm da borda de baixo, e esse ponto não pertence a nenhum dos dois retângulos; a conta está no Radar. Isso não é um detalhe de curiosidade: quem acredita que o centro de gravidade "tem de estar dentro do corpo" erra a questão do L e, pior, deixa de entender por que um corpo com o peso mal distribuído tomba com facilidade.
Atenção
O centro de gravidade não precisa estar dentro do corpo
O CG é o ponto de aplicação do peso, definido pelos torques. Num anel, numa ferradura, numa placa em L ou num corpo inclinado ele pode ficar no vazio. A pergunta certa nunca é "onde está a matéria"; é "onde está o ponto em relação ao qual os pesos de todas as partes se equilibram".
A base de apoio
A alavanca do capítulo 2 tinha um apoio, e o apoio era um ponto. Uma torre, um armário, uma pessoa em pé, uma mesa não se apoiam num ponto: apoiam-se no chão em vários lugares ao mesmo tempo, e o chão responde com uma força normal em cada um deles. O conjunto desses lugares define a base de apoio.
Definição
Base de apoio
Base de apoio é a menor figura convexa do chão que contorna todos os pontos de contato do corpo com ele. Para a mesa, é o retângulo cujos cantos são os pés — inclusive o chão vazio entre eles. Para uma pessoa, é a região que envolve os dois sapatos e o espaço entre eles; com os pés afastados, a base cresce. Para uma torre com a base inteira encostada, é o círculo de 15,5 m de diâmetro, de 7,7 m de raio.
Repare que a base não é "a parte do corpo que toca o chão": é o polígono que envolve todos os contatos. A mesa não toca o chão no meio, e mesmo assim o meio faz parte da base — é por isso que um copo pousado no centro de uma mesa de quatro pés não a derruba. A pessoa que abre as pernas não aumentou os pés; aumentou a base. E o tripé de uma câmera, com três pontas no chão, tem por base um triângulo, o que o torna estável em qualquer terreno, porque três pontos sempre definem um plano.
Uma última observação, que vira ferramenta na seção seguinte: a força normal, numa base, não tem um lugar fixo. O chão empurra o corpo para cima com uma força total igual ao peso, mas distribuída pela base, e a distribuição se ajusta ao que o corpo pede — mais força do lado para o qual o corpo pende, menos do outro. A normal resultante pode estar em qualquer ponto da base. O que ela não pode é sair dela.
Tombar é torque em torno da borda
Agora as duas ideias se encontram. Incline um bloco em torno de uma borda da sua base, como quem tomba uma caixa para olhar embaixo. Enquanto você segura, ele fica onde você o deixou. Solte: o que decide se ele volta ou se cai é o torque do peso em torno da borda. Polo na borda, anti-horário positivo, como sempre. O peso é uma força vertical aplicada no centro de gravidade; a linha de ação dele é a vertical que passa pelo CG. Se essa vertical cai dentro da base, do lado de onde o bloco veio, o torque do peso gira o bloco de volta. Se cai exatamente na borda, o braço é zero e o torque é zero: o bloco fica parado num equilíbrio que qualquer sopro desfaz. Se cai fora, o torque do peso gira o bloco para o lado de fora — e nenhuma força do chão pode impedir, porque a normal só existe dentro da base.
Definição
Condição de tombamento
- Um corpo apoiado no chão não tomba enquanto a linha de ação do seu peso — a vertical que passa pelo centro de gravidade — atravessar a base de apoio. Nesse caso a normal se distribui de modo a cancelar o torque do peso, e as duas condições de equilíbrio, ΣF = 0 e Στ = 0, são satisfeitas.
- O corpo tomba quando essa vertical sai da base. Polo na borda: o torque do peso passa a girar o corpo para fora, e não há força do chão que o compense, porque a normal não pode agir fora da base.
- O limite é a vertical passando pela borda: o braço do peso em relação à borda é zero.
Vale traduzir a condição em ângulo, porque a prova faz isso. Tome um bloco de largura b e altura h, homogêneo, com o CG no centro. Incline-o em torno de uma borda da base por um ângulo θ. A vertical que desce do CG chega à borda quando a tangente de θ é igual a (b ÷ 2) ÷ (h ÷ 2) = b ÷ h — ou, o que dá no mesmo, quando a tangente do ângulo é a meia largura dividida pela altura do centro de gravidade. Para o bloco da figura, de 0,4 m por 1,0 m: tg θ = 0,2 ÷ 0,5 = 0,4, e o ângulo cuja tangente é 0,4 tem cerca de 22 graus. Abaixo de 22 graus, ele volta; acima, tomba. O Exemplo 4 refaz a conta e mostra o que muda com um bloco mais largo.
Há uma imagem doméstica que ajuda a guardar isso. Ponha uma bandeja sobre a palma da mão aberta e um copo em cima dela. A palma é a base de apoio; o copo e a bandeja têm, juntos, um centro de gravidade. Enquanto a vertical que desce desse ponto cai na palma, a bandeja fica — você pode inclinar o braço, andar, subir escada. Empurre o copo para a ponta da bandeja: no instante em que o centro de gravidade do conjunto sai de cima da palma, a bandeja gira e cai, e nenhuma força que você faça para cima com a mesma mão a segura, porque a mão só empurra onde toca. Não foi a força que faltou; foi o braço que mudou de lado.
Atenção
Tombar e escorregar são coisas diferentes
Um corpo inclinado pode falhar de dois jeitos: tombar, girando em torno da borda, ou escorregar, com a base deslizando pelo chão. O tombamento é decidido pelo torque do peso em torno da borda; o escorregamento, pelo atrito estático, que a Mecânica I estudou. Numa questão de tombamento, o enunciado costuma dizer "o atrito é suficiente para impedir o deslizamento" — leia essa frase como "só a rotação importa aqui".
Dica ENEM
Dica ENEM: desenhe a vertical que desce do CG
Toda questão de tombamento se resolve com um desenho de dois traços: a base de apoio e a vertical que passa pelo centro de gravidade. Dentro, fica; fora, cai. Se a questão pede o ângulo-limite, é a tangente: meia largura dividida pela altura do CG. Se a alternativa que você marcou faz o corpo tombar "porque é pesado", desconfie — o peso aparece dos dois lados da conta e se cancela.
A torre com números
Volte a Pisa com as ferramentas na mão. A torre pesa 14 700 t, tem 55,86 m de altura e uma base de 7,7 m de raio. Onde está o centro de gravidade? Este livro trata a torre como um cilindro uniforme e põe o CG a meia altura, 28 m: é uma estimativa declarada, não uma medida, e é a mesma da bíblia da série. Com a torre inclinada de θ, o centro de gravidade se desloca da vertical do centro da base por 28 × sen θ.
Hoje, com θ = 3,97 graus, o seno vale 0,069: o desvio é 28 × 0,069 ≈ 1,9 m. Um metro e noventa de desvio numa base de sete metros e setenta de raio. A linha do peso cai perto do centro, e sobram quase seis metros até a borda. Em 1990, com 5,5 graus, o seno era 0,096 e o desvio, 28 × 0,096 ≈ 2,7 m — ainda dentro, com quase cinco metros de sobra. Pela condição de tombamento, a torre não estava em risco de cair nem em 1990, e não está hoje.
| Ano | Inclinação | Desvio do CG |
|---|---|---|
| 1990 | 5,5 graus | 2,7 m |
| hoje | 3,97 graus | 1,9 m |
| limite | cerca de 15 graus | 7,7 m |
Que inclinação faria a vertical chegar à borda? Tangente do ângulo igual ao raio da base dividido pela altura do CG: tg θ = 7,7 ÷ 28 = 0,275, e o ângulo cuja tangente é 0,275 tem cerca de 15 graus. Pela conta do corpo rígido, faltariam uns onze graus — a torre poderia inclinar quase quatro vezes o que inclina hoje antes de o peso passar da borda. E uma conferência que a bíblia da série fez questão de registrar: o topo, a 55,9 m, desloca-se 55,9 × 0,069 ≈ 3,9 m, exatamente o número da medição oficial. A conta do triângulo devolve o número da placa.
Agora a segunda metade da resposta, a que a conta não dá. Quinze graus é o limite de um bloco rígido sobre um chão que não cede. A torre de Pisa não é isso. O solo sob ela é mole, e a fundação tem só três metros; do lado para o qual a torre pende, a pressão sobre o chão é maior, o solo se comprime mais, e a inclinação cresce — foi assim desde 1178. E a alvenaria do lado baixo, que carrega mais peso do que a do lado alto, corre risco de ser esmagada bem antes de qualquer tombamento. Em 1990 a torre foi fechada por isso: não porque o torque fosse derrubá-la, mas porque o chão e a pedra cedem antes, e ninguém sabia dizer quanto antes. A intervenção de 1993 a 2001 atacou exatamente essa causa. Retirar 38 m³ de solo de baixo do lado alto fez aquele lado afundar um pouco, e a torre inteira girou de volta em torno da base — meio grau, 45 cm no topo — sem que ninguém a empurrasse. Foi uma alavanca lenta: tirou-se apoio de um lado para o peso, agindo no centro de gravidade, fazer o trabalho.
Atenção
Corpo rígido é modelo; a torre é de pedra sobre argila
"Faltariam onze graus" é uma frase sobre o modelo, e o capítulo a diz com essa etiqueta. A torre real cede pelo solo e pela alvenaria muito antes de o peso passar da borda, e foi por isso que a fecharam a 5,5 graus. Numa prova, a condição de tombamento decide a questão; na vida, a condição de tombamento é só a última das barreiras, e raramente a primeira a cair.
Uma frase para uma série futura: a torre não está parada. Como todo corpo alto, ela balança um pouco com o vento e com a temperatura, e quanto ela balança, e em que ritmo, é assunto de oscilações — tem série própria.
Estabilidade: CG baixo e base larga
A conta do ângulo-limite tem só dois ingredientes, e eles dizem tudo sobre estabilidade: tg θ = (meia largura da base) ÷ (altura do CG). Um corpo é tanto mais difícil de tombar quanto mais larga for a base e quanto mais baixo estiver o centro de gravidade. O peso não entra: um bloco de chumbo e um de isopor com a mesma forma tombam no mesmo ângulo.
Compare um carro com um caminhão carregado, com números de exercício: o carro tem 1,8 m entre as rodas e o CG a 0,5 m do chão; o caminhão, 2,5 m entre as rodas e o CG a 2,0 m. Para o carro, tg θ = 0,9 ÷ 0,5 = 1,8, cerca de 61 graus; para o caminhão, tg θ = 1,25 ÷ 2 = 0,625, cerca de 32 graus. O caminhão é mais largo e, mesmo assim, o seu ângulo-limite é quase metade: o centro de gravidade alto pesa mais que a base larga. É por isso que o caminhão tomba na curva em que o carro só cantou pneu — o Radar ENEM mostra a conta na curva — e é por isso que se carrega o pesado embaixo, tanto no caminhão quanto na mochila.
E é por isso, também, que o foguete com que a Mecânica III terminou ficava em pé na torre de onde partiu, sem cair: a base era larga, apoiada na plataforma, e o centro de gravidade estava baixo, porque a massa que domina um foguete cheio é o combustível dos tanques inferiores. O foguete é um cilindro altíssimo, mas a razão base sobre altura do CG estava do lado seguro — e presa à torre, por garantia.
Há ainda uma maneira de classificar o equilíbrio que a prova cobra com esferas. Afaste um pouco o corpo da posição de equilíbrio e solte. Se ele volta, o equilíbrio é estável; se ele se afasta ainda mais, é instável; se fica na nova posição, sem voltar nem se afastar, é indiferente. A régua é a altura do centro de gravidade: no equilíbrio estável, afastar o corpo sobe o CG, e o peso o traz de volta; no instável, afastar desce o CG, e o peso o leva embora; no indiferente, o CG fica na mesma altura.
| Equilíbrio | Ao afastar, o CG | O corpo |
|---|---|---|
| estável | sobe | volta |
| instável | desce | vai embora |
| indiferente | fica | fica |
O bloco em pé sobre a base é um equilíbrio estável enquanto a vertical do CG está dentro da base: incliná-lo sobe o CG, e o peso o traz de volta. Equilibrado sobre uma aresta, com a vertical exatamente na borda, ele está num equilíbrio instável: qualquer desvio desce o CG para um lado ou para o outro. É a mesma física da esfera na tigela e no topo da calota, só que com um corpo que tem base.
O risco real: a pressão no solo
A torre não tombou e não vai tombar pela borda. O que sempre ameaçou a torre foi outra grandeza, e o capítulo termina apontando para ela. O peso da torre, 14 700 t, vale 1,47 × 10⁸ N. Esse peso se distribui pela base, cuja área é π × 7,7² ≈ 188 m². Força dividida por área tem nome: pressão. A pressão média que a torre faz sobre o solo é 1,47 × 10⁸ ÷ 188 ≈ 7,8 × 10⁵ Pa — quase oito vezes a pressão atmosférica, sobre um solo mole e uma fundação de três metros. E "média" esconde o pior: do lado para o qual a torre pende, a pressão é maior que a média; do outro, menor. O lado baixo afunda mais, e a inclinação cresce.
Repare no desenho: a pressão aparece como uma barra, não como uma seta. Força é vetor e se desenha com seta; pressão é força por área, um número em cada ponto, e este livro nunca a desenhará com seta. A diferença é o assunto do capítulo 4, que começa com um homem saltando de uma cápsula a trinta e nove quilômetros de altura, onde o ar tem três milésimos da pressão daqui. Por ora, guarde só o que a torre ensina: o mesmo peso, numa base maior, faz menos pressão — e uma fundação larga e funda é a maneira de segurar uma torre de catorze mil toneladas num chão que não a merece.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos problemas de tombamento, o passo anterior aos três é o desenho: a base de apoio e a vertical que desce do centro de gravidade, com o polo na borda.
Exemplo 1 — O centro de gravidade de duas esferas
Uma barra leve de 1 m tem uma esfera de 6 kg numa ponta e uma de 2 kg na outra. A que distância da esfera de 6 kg está o centro de gravidade do conjunto?
Fórmula. x = (m₁ × 0 + m₂ × L) ÷ (m₁ + m₂), medindo a partir da esfera de 6 kg
Substituição. x = (6 × 0 + 2 × 1) ÷ (6 + 2) = 2 ÷ 8
Resultado. x = 0,25 m
Conferência. polo no CG, com g = 10: 60 × 0,25 = 15 e 20 × 0,75 = 15. Os torques se cancelam, e o CG fica mais perto da esfera pesada.
Exemplo 2 — O desvio do centro de gravidade da torre
A torre inclina 3,97 graus hoje e inclinava 5,5 graus em 1990; o centro de gravidade está a 28 m de altura (estimativa declarada). Quanto a vertical do CG se afasta do centro da base em cada caso? Use sen 3,97 graus = 0,069 e sen 5,5 graus = 0,096.
Fórmula. desvio = h × sen θ
Substituição. hoje: 28 × 0,069 ; em 1990: 28 × 0,096
Resultado. 1,9 m hoje ; 2,7 m em 1990
Conferência. os dois desvios cabem numa base de 7,7 m de raio, com folga de mais de 5 m e de quase 5 m. Em 1990 a torre não foi fechada por tombamento.
Exemplo 3 — O ângulo-limite e o topo
Tratando a torre como um corpo rígido com o CG a 28 m e base de 7,7 m de raio, em que inclinação a vertical do CG chegaria à borda? E quanto o topo, a 55,9 m, está fora da vertical com os 3,97 graus de hoje?
Fórmula. tg θ = raio ÷ altura do CG ; deslocamento do topo = H × sen θ
Substituição. tg θ = 7,7 ÷ 28 = 0,275 ; topo = 55,9 × 0,069
Resultado. θ ≈ 15 graus ; topo ≈ 3,9 m
Conferência. 3,9 m é o valor da medição oficial. Os 15 graus são o limite do modelo rígido — faltariam uns 11 graus —, mas a torre real cede pelo solo e pela pedra muito antes.
Exemplo 4 — O bloco na prancha
Um bloco homogêneo de 0,4 m de largura e 1,0 m de altura está sobre uma prancha cuja inclinação vai sendo aumentada devagar; o atrito impede o deslizamento. Em que ângulo o bloco tomba? E se o bloco tivesse 0,6 m de largura? Use tg 22 graus ≈ 0,4 e tg 31 graus ≈ 0,6.
Fórmula. tg θ = (meia largura) ÷ (altura do CG), com o CG no centro
Substituição. bloco de 0,4 m: tg θ = 0,2 ÷ 0,5 ; bloco de 0,6 m: tg θ = 0,3 ÷ 0,5
Resultado. 0,4 → θ ≈ 22 graus ; 0,6 → θ ≈ 31 graus
Conferência. o bloco mais largo aguenta mais inclinação. A 22 graus, o CG do bloco estreito desvia 0,5 × sen 22 graus ≈ 0,19 m, e a meia largura projetada no chão é 0,2 × cos 22 graus ≈ 0,19 m: a vertical chegou à borda.
Exemplo 5 — A pressão da torre no solo
A torre pesa 14 700 t e sua base tem 7,7 m de raio. Qual é a pressão média que ela faz sobre o solo? Use g = 10 m/s² e π ≈ 3,14.
Fórmula. p = F ÷ A, com F = m × g e A = π × r²
Substituição. F = 1,47 × 10⁸ N ; A = 3,14 × 7,7² ≈ 188 m² ; p = 1,47 × 10⁸ ÷ 188
Resultado. p ≈ 7,8 × 10⁵ Pa
Conferência. a pressão atmosférica vale cerca de 1,0 × 10⁵ Pa; a torre faz quase oito vezes isso, em média, sobre um solo mole. É o número que explica 1178 — e o assunto do capítulo 4.
Radar ENEM
O ENEM cobra este capítulo com um desenho e uma pergunta: o corpo tomba ou não? O formato mais frequente é o caminhão na curva, e o distrator preferido é "tomba porque é pesado".
Na curva, quem faz o caminhão virar é o atrito dos pneus com o chão, apontando para o centro da curva. Essa força é aplicada no chão, a uma altura h abaixo do centro de gravidade, e por isso tem um braço em relação ao CG: ela tende a girar o caminhão para fora da curva. Quem segura é a normal das rodas de fora, com braço igual à meia largura, b ÷ 2. O caminhão tomba quando as rodas de dentro perdem o contato — a normal delas chega a zero — e isso acontece quando f × h passa de P × b ÷ 2, ou seja, quando f ÷ P passa de b ÷ (2h). É a mesma razão do ângulo-limite: CG alto e base estreita tombam com menos atrito, isto é, em curvas mais suaves ou a velocidades menores. A massa aparece dos dois lados e se cancela; um caminhão vazio, mais leve, com o CG mais baixo, é mais difícil de tombar que o mesmo caminhão carregado no alto.
Os outros formatos são a condição de tombamento direta, com um bloco, um armário ou uma pilha e a pergunta "até que ângulo" (tangente igual a meia largura sobre altura do CG); o centro de gravidade de placas compostas, que é uma média ponderada pelas áreas — na placa em L da seção do centro de gravidade, com 300 cm² deitados com o centro em (15 cm, 5 cm) e 200 cm² em pé com o centro em (5 cm, 20 cm), o CG fica em ((300 × 15 + 200 × 5) ÷ 500, (300 × 5 + 200 × 20) ÷ 500) = (11 cm, 11 cm), fora do material; e a classificação em equilíbrio estável, instável e indiferente, quase sempre com uma esfera ou um cone.
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Tombar "porque é pesado" — a massa se cancela; o que decide é a razão base sobre altura do CG (Exemplo 4).
- Usar a largura inteira ou a altura inteira na tangente do ângulo-limite — é a meia largura sobre a altura do CG, que num bloco homogêneo é meia altura (Exemplo 4).
- Confundir o desvio do CG com o do topo — o topo anda 3,9 m; o CG, 1,9 m; compare o CG com a base (Exemplos 2 e 3).
- Ler o limite do modelo como a vida real — "faltariam onze graus" vale para o bloco rígido; a torre real cede pelo solo antes (Exemplo 3).
Resumo em cinco peças
- O peso de um corpo extenso age num ponto só, o centro de gravidade: a média das posições ponderada pelos pesos. Ele pode ficar fora do corpo.
- A base de apoio é o polígono que contorna todos os pontos de contato com o chão — inclusive o chão vazio entre eles.
- Um corpo tomba quando a vertical que desce do CG sai da base: polo na borda, o torque do peso gira para fora e nenhuma normal segura. Dentro, fica; na borda, por um fio.
- Estabilidade é CG baixo e base larga: a tangente do ângulo-limite é a meia largura sobre a altura do CG, e a massa não entra.
- A torre: 1,9 m de desvio em 7,7 m de raio; pela conta do corpo rígido, faltariam uns onze graus. Na vida real, o chão e a pedra cedem antes — e o risco se mede em pressão.
Se for guardar uma frase só, guarde a torre: catorze mil e setecentas toneladas inclinadas há quase 850 anos, e a linha do peso a menos de dois metros do centro de uma base de sete metros e setenta — o que a ameaça não é o torque, é o chão.
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