Capítulo 7O pé que levanta um carro de uma tonelada e meia

Pascal e a prensa hidráulica

Um pé no pedal, trezentos newtons; dentro da caixa, um pistão de um centímetro quadrado empurra óleo contra um de cinquenta. A pressão é a mesma nos dois — a força multiplica por cinquenta, o curso divide por cinquenta, e um carro de uma tonelada e meia sai do chão, um centímetro por bombada.

O caso: um pé, um pedal e uma tonelada e meia

Numa oficina, o macaco hidráulico é uma caixa de aço do tamanho de uma caixa de sapatos, com um pedal de um lado e um pistão polido que sai por cima. Um mecânico pisa no pedal — com a força de uns trezentos newtons, o que a Terra faz sobre trinta quilos — e o pistão sobe, devagar, com o carro em cima. O carro tem uma tonelada e meia. Dentro da caixa não há motor nem engrenagem: há óleo, e dois pistões de tamanhos diferentes. O pedal empurra um pistão pequeno, da ordem de um centímetro quadrado; o óleo leva o empurrão até um pistão grande, da ordem de cinquenta centímetros quadrados; e é o grande que carrega o carro.

Os números são de um modelo, declarado como modelo: ordens de grandeza de um macaco de oficina, não a ficha de um fabricante. Mas a conta que eles fazem é exata. A pressão do óleo é a mesma nos dois pistões; a área do grande é cinquenta vezes a do pequeno; logo a força no grande é cinquenta vezes a do pequeno: 300 N × 50 = 15 000 N, o peso de 1 500 kg. Uma tonelada e meia, sustentada por um pé. E há uma contrapartida, que a segunda metade do capítulo cobra: para o pistão grande subir um centímetro, o pequeno precisa descer cinquenta. Por isso o mecânico bombeia tantas vezes.

Blaise Pascal formulou a lei que faz o macaco funcionar em 1653, num tratado sobre o equilíbrio dos líquidos publicado em 1663: uma variação de pressão num líquido confinado se transmite igual a todos os pontos do líquido. Joseph Bramah, um inventor inglês, patenteou a prensa hidráulica em 1795 — a máquina que usa essa lei para multiplicar força. O macaco da oficina, o elevador que ergue o carro inteiro, a cadeira do dentista e o freio do carro são a mesma máquina, com o mesmo par de pistões.

O capítulo 6 terminou com uma pergunta. A lei de Stevin diz o que acontece quando a pressão vem do peso do próprio líquido: a pressão de cima mais a coluna. E se alguém empurrar o líquido de propósito, num recipiente fechado? A resposta é o princípio de Pascal, na seção do princípio. Dele sai a prensa hidráulica, mesma pressão e áreas diferentes, na seção da prensa; o curso dos pistões, que se divide na mesma razão em que a força se multiplica, na seção do curso; a conta do trabalho, que mostra que a máquina não dá nada de graça, na seção do trabalho; a imagem que junta tudo, a prensa como uma alavanca feita de líquido, na seção da alavanca; o freio do carro, duas multiplicações em série, na seção do freio; e, por fim, a pressão que existe dentro do macaco — trinta atmosferas, o equivalente a trezentos metros de mar, dentro de uma caixa que cabe na mão — na seção das trinta atmosferas.

O princípio de Pascal: o acréscimo se transmite igual

Comece pela lei do capítulo 6. Num líquido parado, a pressão a uma profundidade h é p = p₀ + ρ × g × h, em que p₀ é a pressão na superfície. Ao ar livre, p₀ é a atmosfera. Agora feche o recipiente com um pistão encostado na superfície do líquido e empurre o pistão com uma força extra. A pressão na superfície deixa de ser p₀ e passa a ser p₀ mais um acréscimo, que este livro chama de Δp. O que acontece embaixo? A lei de Stevin continua valendo, com a nova pressão de cima: p = (p₀ + Δp) + ρ × g × h. Compare com a fórmula de antes: todo ponto do líquido ganhou o mesmo Δp — o de cima, o do meio, o do fundo, o da parede lateral. O acréscimo não se perde pelo caminho e não se distribui: chega inteiro a todo lugar.

Esse é o princípio de Pascal. Ele vale para um líquido confinado — fechado num recipiente, sem superfície livre por onde escapar —, em repouso e praticamente incompressível, o que toda água e todo óleo são: empurrar não os encolhe de modo perceptível, e por isso o empurrão passa adiante em vez de ser absorvido. Um gás não serve: o ar, comprimido, encolhe e guarda parte do empurrão como mola. É por isso que ar no circuito de freio é um defeito grave, como a seção do freio explica.

Repare no que o princípio diz e no que não diz. Ele fala de pressão, não de força. A força que o pistão faz não "viaja" pelo líquido até aparecer igual do outro lado; o que aparece igual em todo lugar é a pressão, força por área. E como a pressão é a mesma em pontos com áreas diferentes, as forças resultantes são diferentes — esse é o segredo da prensa, e é a próxima seção. Também não é o fato de o líquido ser "duro" que faz a mágica: água numa bacia aberta, empurrada com a mão, só transborda. Confinamento é a condição.

A prensa hidráulica: mesma pressão, áreas diferentes

Tome dois cilindros ligados por baixo e cheios de óleo, cada um fechado por um pistão que desliza sem deixar o óleo passar. O pistão pequeno tem área A₁; o grande, A₂. Empurre o pequeno com uma força F₁. Pelo capítulo 4, isso faz sobre o óleo uma pressão a mais de F₁ ÷ A₁. Por Pascal, esse acréscimo chega inteiro ao pistão grande. E sobre o pistão grande, uma pressão vezes uma área é uma força: F₂ = Δp × A₂ = (F₁ ÷ A₁) × A₂.

Escrita de um jeito que se lê dos dois lados, a relação é F₁ ÷ A₁ = F₂ ÷ A₂: a mesma pressão nos dois pistões. No macaco do caso, com A₁ = 1 cm² e A₂ = 50 cm², a força se multiplica pela razão das áreas: F₂ = 300 × (50 ÷ 1) = 15 000 N. Trezentos newtons do pé viram quinze mil no pistão grande, o peso de uma tonelada e meia. A razão das áreas é a vantagem mecânica da prensa, o mesmo nome que o capítulo 2 deu à razão dos braços da alavanca — e a razão de áreas dispensa conversão de unidade: 50 cm² dividido por 1 cm² é 50, em qualquer unidade.

A última linha da definição é a armadilha favorita da prova. Um pistão circular tem área proporcional ao quadrado do diâmetro — π × d² ÷ 4 —, e o π se cancela na razão. Pistões de 2 cm e 10 cm de diâmetro têm diâmetros na razão 5, mas áreas na razão 5² = 25: a força se multiplica por vinte e cinco, não por cinco. Dobrar o diâmetro quadruplica a área; multiplicar o diâmetro por sete multiplica a área por quarenta e nove.

O pistão grande sobe cinquenta vezes menos

Se a força se multiplica por cinquenta sem nenhum motor, alguma coisa tem de ser dividida por cinquenta — e é o caminho. O óleo é praticamente incompressível: o volume que o pistão pequeno empurra para baixo é exatamente o volume que aparece embaixo do pistão grande. Um pistão de área A que desce uma distância d desloca um volume A × d. Logo A₁ × d₁ = A₂ × d₂, e o pistão grande sobe na razão inversa das áreas.

No macaco do caso, uma bombada leva o pistão pequeno 50 cm para baixo. O volume deslocado é 1 cm² × 50 cm = 50 cm³ — o equivalente a um copinho de café. Embaixo do pistão grande, de 50 cm², esses 50 cm³ formam uma camada de 50 ÷ 50 = 1 cm. Cada bombada de cinquenta centímetros no pedal sobe o carro um centímetro. Para levantar a roda vinte centímetros, o mecânico bombeia vinte vezes; o pedal percorre, ao todo, dez metros. É a mesma troca da alavanca do capítulo 2, em que a mão descia dez vezes mais do que a roda subia; aqui a razão é cinquenta.

Trabalho igual dos dois lados

O capítulo 2 fez essa conta para a alavanca, e a Mecânica II já tinha dito quem paga a multiplicação da força: o trabalho, força vezes deslocamento, é o que se conserva numa máquina. Faça a conta nos dois pistões. O pé aplica 300 N ao longo de 0,5 m: W = 300 × 0,5 = 150 J. O pistão grande empurra o carro com 15 000 N ao longo de 0,01 m: W = 15 000 × 0,01 = 150 J. O mesmo número. A prensa recebeu 150 J do pé e entregou 150 J ao carro — nem um joule a mais.

A igualdade não é coincidência: ela é a mesma afirmação da seção anterior, vista pela energia. Se F₁ ÷ A₁ = F₂ ÷ A₂ e A₁ × d₁ = A₂ × d₂, multiplique as duas igualdades membro a membro e o que sobra é F₁ × d₁ = F₂ × d₂. Numa prensa real há atrito nas vedações dos pistões e um pouco de óleo que se comprime, e o pé entrega um pouco mais do que o carro recebe. A máquina nunca devolve mais do que recebeu; em geral devolve menos.

Uma alavanca feita de líquido

Vale a pena parar e olhar as duas máquinas lado a lado, porque a prova gosta de misturá-las e porque são, no fundo, a mesma ideia. Na alavanca do capítulo 2, uma barra rígida transmite o esforço; o que multiplica a força é a razão dos braços; e a ponta com o braço maior anda mais. Na prensa, o óleo faz o papel da barra; o que multiplica a força é a razão das áreas; e o pistão de área menor anda mais. Nas duas, o produto força × caminho é o mesmo dos dois lados, porque nas duas quem se conserva é o trabalho.

A prensa tem uma vantagem prática sobre a barra: o óleo passa por um cano. Os dois pistões não precisam estar alinhados nem perto; o pedal pode ficar no chão e o pistão grande, a um metro dali, ou os quatro pistões das rodas de um carro podem estar a metros do pedal de freio, ligados por tubos finos. A barra rígida exige um apoio e uma linha reta; o líquido confinado aceita qualquer caminho. É por isso que máquinas que multiplicam muita força em pouco espaço — o macaco, o elevador de oficina, a retroescavadeira, o freio — são hidráulicas.

O freio: alavanca e Pascal em série

O freio hidráulico de um carro é as duas máquinas montadas uma depois da outra. O pedal é uma alavanca: o pé empurra a ponta longa, e a haste que sai do pedal, mais perto do eixo, empurra com uma força maior. Essa haste aperta um pistão pequeno num cilindro cheio de fluido de freio, o cilindro-mestre. O fluido leva o acréscimo de pressão, por tubos, até os cilindros das rodas, onde pistões de área maior apertam as pastilhas contra os discos. Duas multiplicações em série, e a força total é o produto das duas razões.

Com números de exercício, declarados como tal: o pé faz 100 N na ponta do pedal, e a haste está a um quarto do comprimento, contado do eixo — a alavanca multiplica por 4, e a haste empurra com 400 N. O cilindro-mestre tem 2 cm²: o acréscimo de pressão é 400 ÷ (2 × 10⁻⁴) = 2 × 10⁶ Pa, vinte atmosferas. O cilindro da roda tem 8 cm², quatro vezes mais: a força na pastilha é 2 × 10⁶ × 8 × 10⁻⁴ = 1 600 N. Do pé à pastilha, dezesseis vezes — 4 da alavanca vezes 4 da prensa —, e o mesmo em cada roda, porque o mesmo fluido leva a mesma pressão a todas.

Trinta atmosferas dentro de uma caixa que cabe na mão

Quanto vale a pressão do óleo no macaco do caso? É a conta do capítulo 4, força por área, com a área em metros quadrados: 1 cm² = 10⁻⁴ m². O acréscimo é Δp = 300 ÷ 10⁻⁴ = 3 × 10⁶ Pa. Três milhões de pascals — trinta atmosferas. Pela régua dos dez metros do capítulo 6, é a pressão de coluna que um mergulhador encontraria a trezentos metros de profundidade no mar, mais fundo do que qualquer mergulhador desce sem um submarino. Só que aqui não há coluna nenhuma: há um pé, e um centímetro quadrado.

Este é o lugar de fechar a conta que a caixa de atenção da seção do princípio prometeu. Dentro do macaco, os dois pistões não estão exatamente na mesma altura; suponha 20 cm de diferença, com óleo de densidade 900 kg/m³. Pela lei de Stevin, a coluna entre eles vale 900 × 10 × 0,2 = 1 800 Pa. Diante de 3 000 000 Pa, isso é 0,06 por cento — menos de um milésimo. Por isso a prensa se calcula como se a pressão fosse exatamente a mesma nos dois pistões: Stevin continua valendo, mas a parcela dele é invisível ao lado da de Pascal. No Trieste, no capítulo 6, a pressão vinha de onze quilômetros de coluna; no macaco, vem de um empurrão. As duas são pressão, em pascal, e se somam.

Há uma pergunta que Pascal não responde, e é ela que abre o capítulo 8. Tudo aqui aconteceu com o líquido fechado: o empurrão não tinha por onde sair, e por isso virou pressão em todo ponto. E se o líquido estiver aberto, com superfície livre, e alguém colocar nele não um pistão, mas um casco? O capítulo 8 começa com um navio que afundou a mil e trezentos metros do cais, no dia em que foi lançado.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos problemas de prensa há uma decisão antes dos três: se a pergunta é uma razão entre forças ou entre deslocamentos, as áreas podem ficar em cm²; se a pergunta é a pressão em pascal, a área vai para m² antes de qualquer coisa.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo, antes de tudo, pela fórmula F₁ ÷ A₁ = F₂ ÷ A₂ — o item de hidrostática aplicada mais recorrente da prova —, quase sempre com um elevador hidráulico, um macaco ou uma cadeira de dentista, e com a área de um pistão dada e a do outro escondida num diâmetro. A segunda cobrança é o deslocamento dos pistões, pela conservação do volume: o grande sobe na razão inversa das áreas. A terceira é qualitativa e é a mais traiçoeira: o que se transmite igual num líquido confinado é a pressão, não a força — a alternativa "a força é a mesma nos dois pistões" está lá de propósito. A quarta é o freio ou outra combinação de máquinas, em que a vantagem total é o produto das vantagens.

Com números de exercício: uma cadeira de dentista sustenta 1 000 N de paciente e assento sobre um pistão cuja área é 20 vezes a do pistão da bomba; o pedal precisa de 1 000 ÷ 20 = 50 N. Se a prova disser que o diâmetro é 20 vezes maior, a razão das áreas é 400, e a força cai para 2,5 N — leia qual dos dois foi dado. E, para a cadeira subir 5 cm, o pistão da bomba percorre 20 × 5 = 100 cm no primeiro caso.

Resumo em cinco peças

1. Princípio de Pascal: um acréscimo de pressão feito num ponto de um líquido confinado se transmite igual a todos os pontos e às paredes. O que é igual é a pressão, não a força.
2. A prensa: F₁ ÷ A₁ = F₂ ÷ A₂. Área cinquenta vezes maior, força cinquenta vezes maior; se vieram diâmetros, eleve a razão ao quadrado.
3. O curso: A₁ × d₁ = A₂ × d₂. O pistão grande sobe na razão inversa das áreas — cinquenta vezes menos.
4. Trabalho igual dos dois lados: força multiplicada por cinquenta, curso dividido por cinquenta. A máquina não cria energia.
5. O freio é alavanca e Pascal em série: as vantagens se multiplicam, e o mesmo fluido leva a mesma pressão a todas as rodas.

Se for guardar uma frase só, guarde a prensa como uma alavanca feita de líquido: o óleo é a barra, as áreas são os braços — o pistão pequeno anda muito com pouca força, o grande anda pouco com muita, e o produto força vezes curso é o mesmo dos dois lados.

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