Capítulo 8O navio que afundou a mil e trezentos metros do cais

Empuxo, Arquimedes e estabilidade

Dez de agosto de 1628: o navio mais armado do reino navega mil e trezentos metros diante do rei, aderna numa rajada e afunda. Semanas antes, trinta homens correndo pelo convés já tinham mostrado o problema: o peso puxava de um ponto alto demais.

O caso: o navio mais armado do reino

Dez de agosto de 1628, Estocolmo. O navio mais armado do reino sai do porto na viagem inaugural, diante da corte do rei Gustavo Adolfo: sessenta e quatro canhões em dois conveses de artilharia, 47,5 m de comprimento entre as perpendiculares, 11,7 m de boca e 1 210 t de deslocamento — a palavra náutica para a massa do navio, e este capítulo explica por que o nome é esse. Ele navega cerca de 1 300 m. Vem uma rajada, o navio aderna, a água entra pelas portinholas dos canhões, que estavam abertas, e o Vasa afunda a 120 m da margem. Cerca de trinta pessoas morrem.

Ninguém precisava de uma rajada para saber. Semanas antes, no verão, o capitão fizera para o vice-almirante o teste de estabilidade que se fazia na época: trinta homens correndo de um lado a outro do convés superior, todos juntos. Na terceira travessia o almirante mandou parar — o navio adernava demais. O navio saiu assim mesmo. A causa, hoje conhecida, cabe numa frase: a parte acima da linha d'água era alta e pesada demais para a parte que estava dentro da água. O centro de gravidade ficou alto demais para o lastro que havia embaixo. O casco foi resgatado em 1961, 333 anos depois, e hoje está num museu.

O capítulo 7 terminou com uma pergunta. Pascal explica o líquido fechado, em que um empurrão vira pressão em todo ponto. E se o líquido estiver aberto, com superfície livre, e o que entra nele não for um pistão, mas um casco? A resposta começa onde o capítulo 6 parou: um cubo submerso recebe mais pressão embaixo do que em cima, e sobra uma força para cima. A seção do empuxo refaz essa conta com letras e mostra que a força é o peso da água que o cubo tirou do lugar — a lei de Arquimedes, enunciada na seção da lei, que depende do fluido e do volume, e de mais nada. A seção da flutuação aplica a lei ao navio: ele afunda até deslocar o próprio peso em água, e é por isso que a massa dele se chama deslocamento. A seção do peso aparente mostra o que uma balança marca dentro d'água. Depois vem o que afundou o Vasa: na seção da estabilidade, o peso age num ponto e o empuxo em outro, e o par entre os dois ou endireita o navio ou o tomba; na seção do teste, os trinta homens viram um torque com número. E a seção do balão fecha uma conta aberta no capítulo 4: o balão que levou uma cápsula a 39 km subiu pela mesma lei, com o ar no lugar da água.

O empuxo nasce de Stevin: o cubo, agora com letras

Volte ao cubo do capítulo 6: 10 cm de aresta, a face de cima a 1 m de profundidade em água doce. A água empurrava a face de cima para baixo com 1 100 N e a face de baixo para cima com 1 110 N; as laterais se cancelavam; sobravam 10 N para cima, o peso de um litro de água. Aquela conta tinha números. Esta tem letras, e por isso vale para qualquer cubo, em qualquer líquido, a qualquer profundidade.

Chame a aresta de a e a profundidade da face de cima de h. Pela lei de Stevin, a pressão na face de cima é p₀ + ρ × g × h, e a pressão na face de baixo, que está uma aresta mais fundo, é p₀ + ρ × g × (h + a). A força em cada face é a pressão vezes a área da face, a². Nas laterais, cada par de faces opostas está à mesma profundidade e as forças se cancelam. Sobram a de cima e a de baixo, e a de baixo é maior: a diferença é [ρ × g × (h + a) − ρ × g × h] × a² = ρ × g × a × a² = ρ × g × a³. Repare no que sumiu: o p₀ sumiu, porque a atmosfera empurra igual nas duas faces; o h sumiu, porque só a diferença de nível entre as faces entra. E a³ é o volume do cubo, V. A força que sobra, para cima, vale ρ × g × V — a massa de líquido que caberia no cubo, ρ × V, vezes g: o peso do líquido que o cubo tirou do lugar.

A dedução usou um cubo porque as faces são planas e a conta cabe numa linha, mas o resultado não depende da forma. Se o corpo fosse retirado e o buraco fosse preenchido com o próprio líquido, esse líquido ficaria parado — logo a água em volta o sustenta com exatamente o peso dele. A água em volta não sabe o que há dentro do buraco; empurra do mesmo jeito.

A lei de Arquimedes: o fluido, o volume, e mais nada

O que a conta com letras entrega tem nome e dois mil e trezentos anos: um corpo mergulhado num fluido recebe um empuxo, para cima, igual ao peso do fluido que ele desloca. Em fórmula: E = ρ do fluido × V deslocado × g. Há três coisas na fórmula, e é mais importante saber o que não está nela. Não está a massa do corpo, nem a densidade do corpo, nem o material de que ele é feito. Não está a profundidade, quando o corpo está todo dentro do líquido. Está a densidade do fluido — e o volume que o corpo tirou do lugar.

Ponha um litro de aço e um litro de madeira debaixo d'água, um a 0,8 m e outro a 3,6 m. O empuxo sobre cada um é o mesmo: 1 000 × 10 × 0,001 = 10 N, o peso de um litro de água. O aço, com 7 800 kg/m³, pesa 78 N, quase oito vezes o empuxo, e por isso afunda quando é solto; a madeira, com cerca de 600 kg/m³, pesa 6 N, menos que o empuxo, e por isso sobe. Mas o empuxo é igual nos dois — e seria igual a 10 m ou a 100 m de profundidade, porque a diferença de pressão entre a face de cima e a de baixo só depende da distância entre elas, que é a aresta do bloco.

A parte do fluido merece um exemplo próprio, porque é nela que o caso e o capítulo 9 se decidem. Tome o mesmo litro e mergulhe-o em três fluidos. Em água doce, a 1 000 kg/m³, o empuxo é 10 N. Na água do mar, a 1 025 kg/m³, o número do livro desde o capítulo 6, o empuxo é 1 025 × 10 × 0,001 = 10,25 N — dois e meio por cento a mais. No ar, a 1,2 kg/m³, o mesmo litro recebe 1,2 × 10 × 0,001 = 0,012 N: mil vezes menos que na água, mas diferente de zero, e a seção do balão vive desse número.

Flutuar: o casco desloca o próprio peso em água

Um navio é um copo virado para cima. Solte-o na água: ele afunda um pouco, e a cada centímetro que afunda desloca mais água e recebe mais empuxo. Para quando o empuxo iguala o peso — a primeira condição de equilíbrio, resultante zero, a do capítulo 1. Nesse ponto, o buraco que o casco faz na água pesa, em água, o mesmo que o navio inteiro. Se o casco fosse mais fundo, o empuxo passaria do peso e ele subiria; se fosse mais raso, o peso venceria e ele desceria. A linha d'água é a altura em que a balança fecha.

Faça a conta para o Vasa. A massa era 1 210 t = 1 210 000 kg; o peso, 1 210 000 × 10 = 1,21 × 10⁷ N. Flutuando, E = P: ρ × V × g = m × g, e o g se cancela dos dois lados. Sobra V = m ÷ ρ = 1 210 000 ÷ 1 000 = 1 210 m³ de água deslocada — mil duzentos e dez metros cúbicos, uma piscina de vinte e cinco metros com o fundo a dois metros. O mar Báltico é salobro, menos salgado que o mar aberto; com a densidade do mar do livro, 1 025 kg/m³, o volume seria 1 210 000 ÷ 1 025 ≈ 1 180 m³, e a resposta verdadeira está entre os dois. A série usa o número redondo da água doce, e o capítulo também.

Agora o nome. Os marinheiros chamam a massa de um navio de deslocamento porque ela é medida assim: pelo volume de água que o casco desloca quando flutua, vezes a densidade da água. E há uma consequência que vale guardar para o capítulo 9: divida a massa de qualquer corpo que flutua pelo volume submerso dele e o resultado é sempre a densidade da água — 1 210 000 ÷ 1 210 = 1 000. É a lei de Arquimedes lida de trás para a frente. A densidade que decide se o navio flutua é outra, a do casco inteiro, e é o assunto do capítulo seguinte.

Peso aparente: a balança dentro d'água

A Mecânica III mostrou, no capítulo 5, que uma balança de mola não mede massa: mede a força que a mola faz, e essa força só é igual ao peso quando nada mais empurra o corpo. Dentro d'água, algo mais empurra: o empuxo, para cima. A mola precisa fazer menos força para segurar o corpo, e a balança marca menos. O número que ela marca se chama peso aparente.

Tome um bloco de aço de 1 kg, pendurado numa balança de mola. No ar, a balança marca o peso: 10 N. O volume do bloco é a massa dividida pela densidade: 1 ÷ 7 800 = 1,28 × 10⁻⁴ m³, cento e vinte e oito centímetros cúbicos — um cubo com pouco mais de 5 cm de lado. Mergulhado em água doce, ele recebe um empuxo de 1 000 × 10 × 1,28 × 10⁻⁴ = 1,28 N, cerca de 1,3 N. A mola só precisa fazer 10 − 1,3 = 8,7 N, e é isso que a balança marca: treze por cento a menos. A massa do bloco continua 1 kg; o peso, a força da Terra sobre ele, continua 10 N. O que a balança perdeu foi a parte do serviço que a água passou a fazer.

A diferença entre a leitura no ar e a leitura na água é o empuxo, o peso do fluido deslocado — um jeito de medir o volume de objetos irregulares, e a conta que a prova gosta de pedir ao contrário: dá as duas leituras e pergunta o volume, ou a densidade, do corpo. O Exemplo 3 faz a conta direta; a lista do app faz a inversa.

Estabilidade: onde o peso puxa e onde a água empurra

Até aqui o navio foi um ponto: um peso para baixo, um empuxo para cima, e o equilíbrio de forças. Mas o Vasa não afundou por falta de empuxo — ele flutuava, e flutuou por 1 300 m. Ele afundou porque adernou, girou em torno do próprio eixo, até a água entrar. Girar é assunto da segunda condição de equilíbrio, a do torque, e para o torque importa onde cada força age. O peso age no centro de gravidade do navio, o CG, como no capítulo 3. O empuxo age no centro do volume submerso — o centro de gravidade da água que caberia no buraco do casco, que este livro chama de centro de empuxo, CE. No Vasa, o CG estava alto, na altura dos conveses de canhões; o CE estava baixo, dentro da água.

Com o navio em pé, o CG e o CE estão na mesma vertical: o peso e o empuxo são opostos, iguais e na mesma linha, e o torque é zero. Agora deixe uma rajada inclinar o casco alguns graus para a direita. O peso continua no CG, que é um ponto do navio e gira com ele. Mas o volume submerso muda de forma: o lado direito afunda mais e desloca mais água; o esquerdo sai da água. O centro de empuxo se desloca para o lado que afundou. Declare o polo antes de todo torque: torques em relação ao CG. O peso passa pelo polo e não gira nada; sobra o empuxo, que agora passa ao lado do CG. Se a linha de ação do empuxo passa do lado que afundou, o torque do empuxo levanta esse lado — gira o navio de volta. É o torque de restauração, e é ele que faz um casco voltar a ficar em pé depois de cada onda.

Repare que, nos dois painéis da figura, o casco, o ângulo e o empuxo são os mesmos. A única diferença é a altura do centro de gravidade. Trace a vertical do empuxo e marque o ponto em que ela cruza o eixo do casco; a arquitetura naval chama esse ponto de metacentro, M, e o livro o cita numa frase só: se o CG está abaixo de M, o empuxo passa do lado que afundou e endireita; se o CG está acima de M, o empuxo passa do outro lado e tomba. No painel da direita, com o CG alto, o torque do empuxo gira o casco no mesmo sentido em que a rajada o inclinou — cada grau a mais pede mais graus. Esse era o Vasa: dois conveses de canhões, uma obra alta e coberta de esculturas acima da linha d'água, e embaixo lastro de menos para puxar o CG para baixo. Quanto mais alto o CG, menor a inclinação que basta para o par mudar de sinal.

É a régua do capítulo 3 com outra roupa: lá, CG baixo e base larga davam margem ao bloco sobre a mesa. Aqui a "base" é o volume submerso, que muda de forma quando o casco inclina; um casco largo desloca o centro de empuxo mais para o lado e restaura mais, e um CG baixo fica abaixo de M com folga. Largo e baixo é estável — no bloco e no navio.

O teste dos trinta homens

O teste do verão de 1628 era um torque de prova, e dá para pôr número nele com um modelo declarado como modelo: trinta homens de 80 kg cada um, correndo juntos de um lado a outro do convés e parando a 5 m do eixo do navio. Polo: o eixo do navio, no meio do casco. A massa que se deslocou é 30 × 80 = 2 400 kg — apenas dois décimos por cento da massa do navio, 2 400 ÷ 1 210 000 ≈ 0,002. O peso dela é 2 400 × 10 = 24 000 N; com um braço de 5 m, o torque é τ = 24 000 × 5 = 1,2 × 10⁵ N·m: cento e vinte mil newton-metros de um lado.

Um navio bem lastrado responde a esse torque com uma inclinação pequena, porque o torque de restauração cresce depressa com o ângulo: o CG fica bem abaixo de M, e o par endireita com folga. O Vasa adernou tanto que o almirante mandou parar depois de três travessias. A tradução é direta: o torque de restauração era pequeno demais — o CG estava alto, o M estava perto dele, e dois décimos por cento da massa a cinco metros do eixo bastavam para levar o casco a um ângulo perigoso. No dia da viagem, a rajada fez o que os homens tinham feito, com as portinholas abertas na altura em que a água entrou. Ninguém disse por quê, na época. A física diz.

O balão subiu por Arquimedes

O capítulo 4 deixou uma frase pendurada: o balão que levou uma cápsula a 38 969 m sobe porque o ar o empurra para cima com uma força chamada empuxo, e essa força é o peso do ar que ele desloca. Agora a frase tem dedução. O ar é um fluido; a pressão dele diminui com a altura, como a da água diminui rumo à superfície; a face de baixo de qualquer corpo recebe pressão um pouco maior do que a de cima; e a soma dá ρ do ar × V × g. No nível do mar, cada metro cúbico deslocado rende 1,2 × 1 × 10 = 12 N. Um balão que desloca dez mil metros cúbicos recebe 120 000 N de empuxo — e sobe se o conjunto de balão, hélio, cápsula e piloto pesar menos que isso.

O motivo de a subida acabar também está na fórmula: ρ do ar cai com a altitude, e com ele o empuxo. A 39 km, o ar tem 0,0045 kg/m³, e o mesmo metro cúbico rende 0,045 N. Quando o empuxo, com o balão todo aberto, igualou o peso do conjunto, a resultante se anulou e o balão parou — no ar, um corpo "flutua" onde a densidade do fluido em volta iguala a densidade média dele. Água e ar são o mesmo capítulo: um fluido em repouso, com pressão que cresce para baixo, sustenta qualquer corpo com o peso do fluido que o corpo tirou do lugar.

Fica uma pergunta para o capítulo 9. O Vasa era de madeira e flutuava; um navio de hoje é de aço, com quatrocentos metros e duzentas mil toneladas de carga, e flutua. Um prego de aço afunda. O aço é o mesmo. O que decide não é o peso, nem o material: é uma média — e um submarino a escolhe, enchendo os tanques de água para descer e soprando ar neles para subir.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos problemas de empuxo há uma decisão antes dos três: qual é o volume deslocado — o corpo inteiro, se está todo submerso, ou só a parte embaixo da superfície, se flutua — e em que unidade ele está. Litro e centímetro cúbico viram metro cúbico antes de qualquer multiplicação.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo, antes de tudo, pela fórmula E = ρ × V × g — o item de hidrostática mais frequente da prova —, quase sempre com o volume dado em litros ou centímetros cúbicos e a densidade do fluido dada no enunciado. A segunda cobrança é a comparação empuxo contra peso: o corpo sobe, flutua ou afunda, e a versão qualitativa pergunta de que o empuxo depende — e planta "do peso do corpo" e "da profundidade" entre as alternativas. A terceira é o peso aparente, com a balança de mola ou o dinamômetro dentro d'água. A quarta é a fração submersa de um corpo que flutua, a razão entre a densidade do corpo e a do fluido: o iceberg, com gelo a 920 kg/m³ na água do mar a 1 025, fica com 920 ÷ 1 025 ≈ 0,90, nove décimos embaixo d'água.

Com números de exercício: um corpo de 3 000 cm³ totalmente submerso em água doce recebe 1 000 × 3 × 10⁻³ × 10 = 30 N de empuxo; se pesa 45 N, afunda, e uma balança que o segurasse na água marcaria 15 N. Se pesasse 24 N, flutuaria com 2 400 cm³ submersos, oito décimos do volume. Leia a densidade do fluido no enunciado: no mar, os mesmos 3 000 cm³ rendem 30,75 N, e a alternativa com 30 N está lá para quem usou a água doce por hábito.

Resumo em cinco peças

1. O empuxo nasce de Stevin: embaixo de um corpo submerso a pressão é maior do que em cima, e sobra uma força para cima — o peso do fluido que o corpo tirou do lugar.
2. Lei de Arquimedes: E = ρ do fluido × V deslocado × g. Depende do fluido e do volume submerso; não depende do peso do corpo nem da profundidade.
3. Flutuar é E = P: o corpo afunda até deslocar o próprio peso em fluido, V submerso = m ÷ ρ. Dentro d'água, a balança marca o peso aparente, peso menos empuxo.
4. Estabilidade: o empuxo age no centro do volume submerso, o peso no centro de gravidade. Adernou, o centro de empuxo vai para o lado que afundou; com o CG abaixo de M o par endireita, acima de M o par tomba.
5. O Vasa: alto e pesado em cima, lastro de menos embaixo — flutuava, e por isso navegou 1 300 m; não era estável, e por isso uma rajada bastou.

Se for guardar uma frase só, guarde o copo virado para cima: o navio flutua enquanto o buraco que faz na água pesa, em água, o mesmo que ele — e é estável enquanto o ponto de onde a água empurra ficar do lado certo do ponto de onde o peso puxa.

Lista de exercícios no app