Capítulo 9O navio de duzentas mil toneladas e o prego

Flutuação, densidade média e o submarino

Quatrocentos metros de aço, duzentas mil toneladas de carga — e flutua. Um prego do mesmo aço afunda. Um submarino faz as duas coisas, quando quer. Quem decide não é o peso: é uma média.

O caso: o navio atravessado no canal e o prego que afunda

Vinte e três de março de 2021, sete e quarenta da manhã. Um porta-contêineres de 399,94 m de comprimento e 58,8 m de boca — quatro quarteirões de aço — perde o rumo dentro do Canal de Suez, encosta a proa numa margem e a popa na outra, e fica atravessado. Ele levava 20 124 contêineres; pode carregar 199 629 t, quase duzentas mil toneladas de carga, e, carregado, tem 265 876 t de deslocamento. Durante seis dias nenhum navio passou por ali. No dia 29, às três da tarde, os rebocadores e as dragas o soltaram. Ele voltou a flutuar, como flutuava antes: um casco de aço, com o calado de projeto de 14,5 m dentro da água e o resto, até o convés, fora.

Agora pegue um prego. É aço, o mesmo material do casco. Solte-o na água e ele afunda. O navio, com duzentas mil toneladas em cima, não afunda; o prego, com alguns gramas, afunda. Se a resposta fosse "o que é pesado afunda", o navio teria ido ao fundo antes de sair do estaleiro. A resposta é outra, e é uma média: o casco é uma caixa de aço cheia de ar e de carga, e a caixa toda, contando o ar, pesa menos que a água que caberia no lugar dela. O prego é só aço, sem ar nenhum, e pesa quase oito vezes a água que ocupa. Há um terceiro personagem que faz as duas coisas quando quer: um submarino convencional de 1 900 t, com 70,6 m de comprimento e profundidade de teste de 400 m, deixa a água entrar em tanques para descer e a expulsa com ar comprimido para subir. Ele muda a própria média.

O capítulo 8 terminou com essa pergunta pendurada, e com uma pista: o empuxo é o peso do fluido deslocado, e o bloco que flutuava com oitenta por cento do volume submerso escondia uma razão de densidades. Este capítulo puxa esse fio. A seção do prego compara o peso de um corpo com o empuxo que ele receberia submerso, e a comparação vira uma regra de densidades. A seção da média faz a conta do navio do jeito certo — com o casco inteiro, até o convés — e mostra que dividir a massa pelo volume submerso dá sempre a densidade da água. A seção da fração transforma o bloco do capítulo 8 na regra do iceberg. A seção da carga explica por que o mesmo navio afunda mais no rio do que no mar. A seção do submarino mostra a densidade média com uma torneira. E a seção dos quatrocentos metros colhe a lei de Stevin do capítulo 6 para dizer por que o limite dele é o casco.

O prego afunda: quem decide é a densidade, não o peso

Comece pelo prego, que é o caso mais simples. Mergulhe-o inteiro na água e há duas forças verticais sobre ele: o peso, para baixo, e o empuxo, para cima. O peso é a massa vezes g, e a massa é a densidade do aço vezes o volume do prego: P = ρ do aço × V × g. O empuxo, pela lei do capítulo 8, é o peso da água que o prego tirou do lugar — e a água deslocada tem exatamente o volume do prego: E = ρ da água × V × g. Repare que as duas fórmulas têm o mesmo V e o mesmo g. Divida uma pela outra e os dois somem: P ÷ E = ρ do aço ÷ ρ da água = 7 800 ÷ 1 000 = 7,8. O prego pesa quase oito vezes o empuxo que recebe. Solto, afunda — não porque é pesado, mas porque é denso.

O tamanho do prego não entrou. Um prego de 1 cm³, número de exercício, tem massa 7 800 × 10⁻⁶ = 7,8 g e pesa 0,078 N; a água que ele desloca pesa 0,01 N; a razão é 7,8. Uma viga de aço de um metro cúbico pesa 78 000 N e recebe 10 000 N de empuxo; a razão é a mesma. Prego ou viga, se o material é aço maciço, o peso vence por sete vírgula oito para um, e o corpo afunda. A comparação entre empuxo e peso vira, para um corpo homogêneo, uma comparação entre duas densidades.

A regra reorganiza o que a prova costuma perguntar. Gelo a 920 kg/m³ flutua na água; óleo a 900 kg/m³ flutua sobre a água, e o gelo afunda no óleo. A pergunta certa nunca é "quanto pesa", mas "quanto pesa por metro cúbico, comparado ao fluido". O capítulo 4 definiu a densidade como massa por volume e avisou que ela não depende do tamanho; aqui ela decide sozinha quem sobe e quem afunda — desde que o corpo seja feito de uma coisa só. O navio não é.

A densidade média do casco inteiro

O navio do caso é aço, como o prego, e flutua. A diferença não está no material: está no ar. O casco é uma caixa de chapas de aço com um espaço enorme dentro — porões, tanques, corredores, os próprios contêineres, que são caixas de ar com mercadoria — e a densidade que decide a flutuação é a da caixa inteira: toda a massa, do aço, da carga, do combustível e da tripulação, dividida por todo o volume que o casco ocupa, da quilha ao convés. Essa é a densidade média. Para o prego ela era a do aço, porque o prego é só aço; para o navio ela é muito menor, porque a maior parte do volume é ar.

Faça a conta com os números do caso. A caixa que envolve o casco inteiro tem 400 m de comprimento, 59 m de boca e 33 m de pontal — o pontal é a altura do casco, da quilha ao convés, 32,9 m no navio real. O volume da caixa é 400 × 59 × 33 ≈ 7,8 × 10⁵ m³. Um casco de verdade não é uma caixa — afina na proa e na popa, arredonda embaixo —, então esse volume é um limite superior, e a média que sai dele é um limite inferior. A massa do navio carregado é o deslocamento, 265 876 t ≈ 2,66 × 10⁸ kg. A densidade média é 2,66 × 10⁸ ÷ 7,8 × 10⁵ ≈ 340 kg/m³ — um terço da densidade da água. Dois terços da caixa, em peso, são ar e espaço vazio. Com um casco real, mais estreito que a caixa, a média sobe, mas continua muito abaixo de mil: se o casco tivesse a mesma forma em toda a altura, a fração submersa seria o calado dividido pelo pontal, 14,5 ÷ 32,9 ≈ 0,44, e a média ficaria perto de 0,44 × 1 025 ≈ 450 kg/m³ — estimativa deste livro, declarada como tal. Entre 340 e 450, as duas contas dizem a mesma coisa: menos da metade da água. O navio flutua com folga.

Há um erro tentador nessa conta, tão comum que merece um parágrafo só dele. Quem quiser "conferir" a densidade do navio dividindo a massa pelo volume que está dentro da água — o volume submerso, abaixo da linha d'água — vai encontrar sempre o mesmo número, para qualquer navio, qualquer rolha, qualquer bloco que flutue: a densidade da água. O motivo é o capítulo 8. Flutuando, o empuxo iguala o peso: ρ da água × V submerso × g = m × g, logo m ÷ V submerso = ρ da água. Sempre. É a lei de Arquimedes lida de trás para a frente. Para o navio do caso, o volume submerso é a massa dividida pela densidade do mar: 2,66 × 10⁸ ÷ 1 025 ≈ 2,6 × 10⁵ m³ — duzentos e sessenta mil metros cúbicos de mar empurrados para o lado, cerca de cem piscinas olímpicas, que têm 50 × 25 × 2 = 2 500 m³ cada uma. E 2,66 × 10⁸ ÷ 2,6 × 10⁵ devolve 1 025. A conta não erra; ela só responde outra pergunta. O volume submerso é a resposta, não a pergunta. A pergunta — flutua ou não? — se responde com o casco inteiro.

Fração submersa: quanto fica embaixo d'água

Um corpo menos denso que o fluido sobe até a superfície e para — mas não para com o volume inteiro fora d'água. Ele afunda o suficiente para deslocar o próprio peso em fluido, e é possível dizer exatamente quanto. Flutuando, E = P: ρ do fluido × V submerso × g = ρ do corpo × V total × g. Cancele o g e divida os dois lados por ρ do fluido × V total. Sobra a regra: V submerso ÷ V total = ρ do corpo ÷ ρ do fluido. A fração submersa é a razão entre as densidades. O bloco do capítulo 8, de 800 kg/m³, ficava com 800 ÷ 1 000 = 0,8 do volume embaixo d'água — a mesma conta, agora com nome.

O exemplo clássico é o iceberg. O gelo tem 920 kg/m³ — menos denso que a água líquida, o que é raro entre os materiais e é o motivo de o gelo flutuar. No mar, a 1 025 kg/m³, a fração submersa é 920 ÷ 1 025 ≈ 0,90. Nove décimos do iceberg estão embaixo d'água; o que se vê é a ponta. Em água doce, a 1 000, a fração seria 0,92 — a água doce é menos densa e precisa de mais volume deslocado para segurar o mesmo peso.

Leia a regra também ao contrário, porque é assim que ela aparece na prova: se um corpo flutua com sessenta por cento do volume submerso em água doce, a densidade dele é 0,6 × 1 000 = 600 kg/m³. A fração submersa mede densidade sem balança — basta um copo d'água e uma régua.

Carregar o navio: a linha de carga, o rio e o mar

Volte ao navio, que muda de massa toda vez que atraca. Vazio, a massa é só a do casco e das máquinas; a média é baixa e o calado, pequeno. Cada contêiner que sobe a bordo acrescenta massa sem acrescentar volume ao casco: a densidade média sobe, e a fração submersa também. Mais peso pede mais empuxo, mais empuxo pede mais volume submerso, e o casco afunda até a linha d'água em que a conta fecha de novo. O calado do navio carregado, 14,5 m, é a altura em que 2,6 × 10⁵ m³ de casco estão dentro da água. Há um limite gravado no costado de todo navio de carga, a linha de carga: a marca até onde ele pode afundar com segurança. Passou dela, o casco tem borda livre de menos para o mar de uma tempestade.

O mesmo raciocínio explica um efeito que a prova adora: o navio afunda mais no rio do que no mar. Para segurar as mesmas 266 000 t, a água doce, a 1 000 kg/m³, precisa de 2,66 × 10⁸ ÷ 1 000 = 2,66 × 10⁵ m³ deslocados; a água do mar, a 1 025, precisa de 2,6 × 10⁵ m³ — dois e meio por cento a menos, a mesma razão entre 1 025 e 1 000. Ao entrar num rio vindo do mar, um navio afunda alguns decímetros sem receber uma caixa a mais; ao sair para o mar, sobe. A linha de carga leva isso em conta e traz marcas diferentes para água doce e salgada.

O submarino: a densidade média com uma torneira

Um navio ajusta a média com carga e leva horas nisso. Um submarino ajusta a média com água, em minutos, e por isso faz o que nenhum navio faz: escolhe a profundidade. O casco de um submarino convencional é um cilindro de aço fechado, com 70,6 m no exemplo do caso, e nele há tanques de lastro abertos para o mar por válvulas, com ar comprimido à disposição. Na superfície, os tanques estão cheios de ar; o volume inteiro do submarino, 1 900 t de massa, tem densidade média menor que a do mar e ele flutua como um navio, com parte do casco fora d'água. Para descer, o comandante abre as válvulas: a água do mar entra nos tanques, o ar sai por cima, a massa total cresce sem que o volume mude — e a densidade média passa de 1 025 kg/m³. O empuxo, que não mudou, agora perde do peso, e o submarino desce.

Para subir, o comandante faz o contrário: sopra ar comprimido nos tanques, a água é expulsa, a massa cai, a média volta a ficar abaixo de 1 025 e o empuxo vence. E há um terceiro estado, o mais delicado: com os tanques na medida exata, a densidade média iguala a do mar, o peso iguala o empuxo e ele fica parado no meio da água, em qualquer profundidade — o equilíbrio neutro da definição da seção do prego. É assim que um submarino navega submerso: quase neutro, com os lemes horizontais fazendo o ajuste fino.

A conta do submarino na superfície é a do navio. Para flutuar com 1 900 t no mar, ele precisa deslocar 1 900 000 ÷ 1 025 ≈ 1 850 m³ de água — o volume submerso quando os tanques estão cheios de ar. Para descer, a massa total precisa passar de 1 025 vezes o volume externo inteiro do casco, e é o projeto do submarino que fixa quanta água cabe nos tanques. O que interessa à física é a lógica: o volume é fixo, a massa é a torneira. O navio muda a média com contêineres; o submarino, com água do mar; e o peixe, com uma bolsa de gás dentro do corpo, que ele enche e esvazia para subir e descer sem nadar.

Quatrocentos metros: a coluna de Stevin no casco

Se o submarino controla a profundidade, por que a profundidade de teste dele é 400 m, e não os 10 916 m da esfera do capítulo 6? Porque a lei de Stevin não negocia. A cada dez metros de mar, uma atmosfera a mais no lado de fora do casco; do lado de dentro, o ar continua a uma atmosfera, a que a tripulação respira. A 400 m, a coluna de mar acrescenta 1 025 × 10 × 400 = 4,1 × 10⁶ Pa — quarenta e uma atmosferas a mais que na superfície; a pressão total, com a atmosfera de cima, é 4,2 × 10⁶ Pa. O que o casco segura é a diferença entre fora e dentro, como o capítulo 6 ensinou com a esfera: quarenta e uma atmosferas, mais de quarenta quilogramas-força por centímetro quadrado, em cada centímetro do casco.

É por isso que o casco resistente de um submarino é um cilindro — a forma que, depois da esfera, melhor distribui uma pressão vinda de todos os lados —, e por isso quatrocentos metros são o limite dele, não dez mil. A esfera do capítulo 6 tinha 127 mm de aço e 2,16 m de diâmetro; um cilindro de 70 m com espaço para dezenas de tripulantes não pode ter paredes assim. Uma atmosfera a cada dez metros vale para os dois; a diferença é quanto cada casco aguenta.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos problemas deste capítulo há uma pergunta antes dos três: qual densidade entra na regra — a do material, se o corpo é homogêneo, ou a média do conjunto, com o ar, se o corpo é oco. E uma segunda: qual volume — o total, para decidir se flutua; o submerso, para dizer quanto afunda.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo, antes de tudo, com a pergunta flutua, afunda ou fica parado, respondida pela comparação entre a densidade do corpo — ou a média do conjunto — e a do líquido; com corpo oco, "é de aço, logo afunda" está entre as alternativas. A segunda cobrança é a fração submersa: o bloco com um quarto fora d'água, o iceberg com nove décimos embaixo, a pergunta pela densidade do corpo a partir da fração. A terceira é o navio no rio e no mar: mesmo navio, calado maior na água doce, porque a densidade menor pede mais volume deslocado para o mesmo peso. A quarta é o item conceitual do submarino e do lastro: para descer, aumenta a massa com água nos tanques, não "diminui o empuxo".

Com números de exercício: um bloco de madeira de 600 kg/m³ solto em água doce flutua com 600 ÷ 1 000 = 0,6 do volume submerso; em óleo de 900 kg/m³, com 600 ÷ 900 ≈ 0,67, afunda mais, porque o óleo é menos denso. Um bloco de 4 000 cm³ que flutua com 1 000 cm³ fora d'água tem fração submersa 0,75 e densidade 750 kg/m³. Uma esfera oca de aço com 78 kg e 0,1 m³ de volume externo tem média 780 kg/m³ e flutua com 78 por cento submersos — o aço da parede é 7 800, e não é ele que decide.

Resumo em cinco peças

1. Flutuar é uma comparação de densidades: P ÷ E = ρ do corpo ÷ ρ do fluido. Menor que o fluido, flutua; maior, afunda; igual, fica parado onde for solto. O peso sozinho não decide nada.
2. Fração submersa = ρ do corpo ÷ ρ do fluido. O iceberg, 920 ÷ 1 025 ≈ 0,90, fica com nove décimos embaixo d'água. Lida ao contrário, a fração mede a densidade do corpo.
3. O navio é aço mais ar: a densidade média do casco inteiro, até o convés, dá cerca de 340 kg/m³, um terço da água; o prego é só aço, 7 800. Massa dividida pelo volume submerso é sempre a densidade da água — é a resposta, não a pergunta.
4. O submarino ajusta a média com lastro: água nos tanques, média maior que 1 025, desce; ar comprimido, média menor, sobe; média igual, equilíbrio neutro. O volume é fixo; a massa é a torneira.
5. A 400 m, quarenta e uma atmosferas a mais do lado de fora, uma do lado de dentro: o casco segura a diferença, e é o casco — não o empuxo — que fixa o limite.

Se for guardar uma frase só, guarde a média: o navio é um saco de aço cheio de ar, e a média de aço com muito ar dá menos que água; o submarino é o mesmo saco com uma torneira.

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