Capítulo 3O trilho que entortou a sessenta e dois graus
Dilatação linear
Em 19 de julho de 2022 o ar do Reino Unido passou de 40 °C pela primeira vez, e num trilho de Suffolk o termômetro marcou 62 °C: o aço cresceu quatro centímetros em sessenta metros, não tinha para onde ir, e uma linha inteira fechou — este capítulo faz a conta de uma linha que prevê isso.
Neste capítulo você vai
- Calcular a dilatação de uma barra com ΔL = L₀·α·ΔT, declarando o comprimento inicial, a variação de temperatura e o coeficiente do material com as suas unidades
- Ler o coeficiente α como um número do material, em /°C e da ordem de um milionésimo por grau, e usar o ΔT do próprio corpo — o trilho ao sol fica cerca de 20 °C acima do ar
- Entender por que folga e pré-tensão existem, e por que a dilatação é pequena por metro e grande por quilômetro: do trilho de 60 m à Torre Eiffel e ao quilômetro de trilho contínuo
Assista ao episódio 3
Este capítulo acompanha o episódio 3 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: o trilho de Suffolk a 62 °C
Em 19 de julho de 2022 o ar do Reino Unido passou de 40 °C pela primeira vez na história das medições: 40,3 °C, registrados em Coningsby. Naquele dia a operadora da malha ferroviária emitiu um aviso raro — "não viaje" —, uma das linhas principais entre Londres e o norte do país foi fechada, e num trecho de Suffolk o termômetro encostado no trilho marcou 62 °C. Não era o ar. Era o aço.
Um trilho ao sol chega a ficar cerca de 20 °C mais quente que o ar em volta: o aço escuro absorve a radiação, e a brita embaixo não leva o calor embora. Quando o aço esquenta, ele cresce. Um trilho preso aos dormentes, sem folga e sem tensão de projeto para segurar esse crescimento, não tem saída: o comprimento extra empurra o trilho para o lado, e ele empena. O nome técnico é buckling; a tradução visual é a curva impossível da figura. Nenhum trem passou por cima daquele trecho. O aço entortou sozinho, só de esquentar.
Este capítulo responde à pergunta que o caso deixa no ar: quanto cresce um trilho de 60 m quando o termômetro vai de uma madrugada de inverno a 62 °C? A resposta cabe numa linha, ΔL = L₀·α·ΔT, e dá cerca de quatro centímetros — a lei da dilatação linear mostra de onde vem cada fator, e a seção sobre folga e pré-tensão explica por que quatro centímetros são o bastante para fechar uma linha.
Sólidos crescem com a temperatura
O capítulo 1 mostrou que temperatura é o que se mede, e que um termômetro funciona porque alguma propriedade do material varia com ela: o volume do líquido na coluna, a resistência de um fio. O comprimento de uma barra é uma dessas propriedades. Esquente uma barra de aço e ela fica mais comprida; deixe esfriar e ela volta ao tamanho de antes. Isso vale para quase todo sólido — metal, vidro, concreto — e é a base deste capítulo e dos dois seguintes.
Definição
Dilatação térmica
- Dilatação térmica é o aumento das dimensões de um corpo quando a temperatura dele sobe. A contração é o mesmo fenômeno com ΔT negativo.
- Dilatação linear é a dilatação medida numa dimensão só: o comprimento de uma barra, de um trilho, de um fio, de uma viga.
- A dilatação ΔL é um escalar: um comprimento, medido em metros, milímetros ou centímetros. Nas figuras deste livro ela é sempre uma cota, nunca uma seta.
O motivo fica para a Termodinâmica II, mas a ideia cabe em uma frase: as partículas do sólido vibram em torno de posições fixas, e quanto maior a temperatura, mais larga é a vibração — em média, cada partícula passa a ocupar um pouquinho mais de espaço, e a barra inteira fica um pouquinho maior. É pouco por partícula. Mas uma barra tem muitas partículas, e o pouco de cada uma se soma ao longo do comprimento.
Atenção
Temperatura não é calor, nem aqui
O trilho ficou a 62 °C porque recebeu calor do Sol — calor é a energia que passou da radiação para o aço. O que o trilho tem é energia térmica maior e, por consequência, temperatura maior; o que ele faz com isso é crescer. Dizer que "o trilho estava cheio de calor" é o erro que o capítulo 1 vetou: calor é o que atravessa, temperatura é o que se mede, e a dilatação depende do que se mede.
A lei da dilatação linear: ΔL = L₀·α·ΔT
Quanto a barra cresce depende de três coisas, e cada uma entra como um fator numa multiplicação.
Primeiro, o comprimento inicial L₀: uma barra de 2 m cresce o dobro de uma barra de 1 m, porque tem o dobro de partículas enfileiradas para dar cada uma o seu pouquinho. Segundo, a variação de temperatura ΔT: aquecer 200 °C faz crescer o dobro de aquecer 100 °C. Terceiro, o material: com o mesmo comprimento e o mesmo ΔT, o aço cresce mais que o vidro, e o alumínio cresce mais que o aço. Esse terceiro fator é um número tabelado, o coeficiente de dilatação linear α.
Definição
A lei da dilatação linear
ΔL = L₀ · α · ΔT
- ΔL é a dilatação: quanto o comprimento mudou (m, cm ou mm — a mesma unidade de L₀).
- L₀ é o comprimento inicial, à temperatura de partida.
- α é o coeficiente de dilatação linear do material, em /°C.
- ΔT = T − T₀ é a variação de temperatura, em °C. Se ΔT < 0, ΔL < 0: a barra encolhe.
O comprimento final é L = L₀ + ΔL = L₀ · (1 + α · ΔT).
Uma barra de aço de 1 m aquecida 100 °C cresce ΔL = 1 × 12 × 10−6 × 100 = 1,2 × 10−3 m = 1,2 mm. A de 2 m, com o mesmo ΔT, cresce 2,4 mm. A de 1 m aquecida 200 °C, também 2,4 mm. A de vidro, 1 m e 100 °C, cresce 1 × 8,3 × 10−6 × 100 = 0,83 mm. É a figura acima em números: cada fator dobra, a dilatação dobra junto.
Atenção
Toda conta de dilatação declara três coisas antes do número
L₀ com unidade, ΔT com unidade e α com unidade — "L₀ = 60 m, de 5 °C a 62 °C (ΔT = 57 °C), α = 12 × 10−6 /°C". Sem essa linha, dois erros clássicos entram sem ninguém ver: usar a temperatura final no lugar do ΔT, e misturar metro em L₀ com centímetro em ΔL. A resposta sai na unidade de L₀; se L₀ estava em metros, ΔL sai em metros, e só depois se converte.
O coeficiente α: um número do material
O α é a fração do comprimento que o material cresce a cada grau. Para o aço, α = 12 × 10−6 /°C: a cada 1 °C, cada metro de aço cresce 12 milionésimos de metro — 0,012 mm. A unidade é "por grau Celsius", escrita /°C ou °C−1; como uma diferença de 1 °C é a mesma diferença de 1 K, o mesmo número vale em /K.
| Material | α (10−6 /°C) |
|---|---|
| vidro comum | 8,3 |
| aço | 12 |
| concreto | 12 |
| cobre | 17 |
| alumínio | 23 |
Os valores de aço e vidro são os canônicos desta série; os demais são valores didáticos de tabela, arredondados. O que importa nos cinco é a ordem de grandeza: 10−6, um milionésimo por grau. O capítulo 1 do livro da Mecânica I ensinou a ler esse expoente — seis casas para a esquerda —, e é ele que faz a dilatação ser invisível a olho nu num objeto pequeno e inevitável num objeto grande.
Dica ENEM
Dica ENEM: a unidade de α
Quando a prova pergunta a unidade do coeficiente de dilatação, a resposta é /°C (ou °C−1, ou K−1): α é o que multiplica L₀ e ΔT para dar um comprimento, então ele mesmo não pode carregar unidade de comprimento. A alternativa "m/°C" está lá para quem confunde α com a inclinação L₀·α do gráfico L × T — essa, sim, é um comprimento por grau.
O coeficiente também é um jeito de escolher material. Aço e concreto têm o mesmo α, e por isso uma viga de concreto armado esquenta e esfria sem que o aço de dentro rasgue o concreto de fora. Já uma peça de alumínio presa a uma de aço trabalha: a cada verão, o alumínio quer crescer quase o dobro.
O trilho: 62 °C não é o ar, é o aço
Volte ao caso. O recorde do dia foi 40,3 °C — no ar. O trilho de Suffolk marcou 62 °C. Os dois números são verdadeiros ao mesmo tempo porque medem coisas diferentes: o termômetro meteorológico fica à sombra, ventilado, a um metro e meio do chão; o trilho fica ao sol, é escuro e é de aço. Um trilho ao sol chega a ficar cerca de 20 °C acima do ar.
Isso muda a conta. A dilatação depende da temperatura do aço, não da do ar, e depende da diferença entre essa temperatura e a que o trilho tinha quando foi assentado. Um trilho fixado numa madrugada de inverno a 5 °C — valor didático, usado para a conta ficar redonda — chega a 19 de julho com ΔT = 62 − 5 = 57 °C. Quem faz a conta com o ar (ΔT = 35 °C) acha 2,5 cm para um trilho de 60 m; quem usa o aço acha 4,1 cm. O trilho não sabe a temperatura do ar. Ele cresce com a dele.
Dica ENEM
Dica ENEM: o ΔT é o do objeto, e é uma diferença
Em toda questão de dilatação, procure duas temperaturas — a inicial e a final do corpo — e subtraia. O enunciado costuma oferecer a temperatura do ambiente, a do dia mais quente, a do dia mais frio; a alternativa errada usa uma delas sozinha ("62" no lugar de "57") ou usa a do ar quando o corpo está ao sol.
Folga ou pré-tensão: o aço precisa de um lugar para crescer
Quatro centímetros em 60 m. Se o trilho tivesse quatro centímetros de espaço à frente, nada teria acontecido — era só ele crescer. Foi assim que as ferrovias viveram durante um século: trilhos curtos, com uma folga de alguns milímetros em cada junta, o suficiente para o crescimento de verão. O "tec-tec" do trem antigo é a roda passando por essas juntas.
O trilho moderno é contínuo: centenas de metros soldados, sem junta, para o trem correr liso. Mas então onde vai o crescimento? Em lugar nenhum — e essa é a segunda solução. O trilho contínuo é assentado esticado, a uma temperatura de referência mais alta que a do dia da obra: no calor, em vez de crescer, ele apenas deixa de estar esticado; no frio, fica ainda mais tenso. É a pré-tensão. Ela funciona enquanto a temperatura do aço fica dentro da faixa de projeto. Em 19 de julho de 2022 o trilho de Suffolk saiu da faixa, o crescimento que a tensão não segurava mais precisou de um lugar, e o lugar foi o lado.
Definição
Folga e pré-tensão
- Folga (junta de dilatação) é um espaço deixado de propósito para o material crescer sem empurrar o vizinho: entre trilhos curtos, entre placas de calçada, nos tabuleiros de ponte, nas paredes de vidro.
- Pré-tensão é assentar o material já esticado, de modo que o calor do verão apenas alivie a tensão em vez de produzir crescimento livre.
- Nenhuma das duas impede a dilatação: uma dá lugar a ela, a outra a segura com força. "Não deixar espaço" não é solução — é o caso deste capítulo.
Atenção
Sem folga o aço não "deixa de crescer": ele empena
A dilatação não pede licença. Um trilho, uma viga ou uma tubulação presa nas duas pontas e aquecida vai ganhar comprimento de qualquer jeito; se não há para onde ir em linha reta, ela sai do eixo, torce, racha o que está em volta. Por isso a ponte tem uma junta em cada extremidade, o oleoduto tem curvas em U de propósito e a calçada tem frisos. A folga de alguns milímetros por junta é a diferença entre um verão normal e uma linha fechada.
Dica ENEM
Dica ENEM: a folga da ponte e do trilho
A questão de folga é a lei ao contrário: "que espaço deixar entre duas peças?" A resposta é a dilatação que cada peça sofre entre a temperatura mais fria e a mais quente do lugar — ΔL = L₀·α·ΔT com o maior ΔT do ano. Se a junta fica entre duas peças iguais, cada uma empurra a junta com metade do seu crescimento; as duas metades somam exatamente o ΔL de uma peça.
Pequeno por metro, grande por quilômetro
Um metro de aço, aquecido 40 °C, cresce 12 × 10−6 × 40 = 4,8 × 10−4 m: menos de meio milímetro. É o tamanho do fenômeno na sua mesa — uma régua de aço, um talher, uma chave — e é por isso que ninguém o vê no dia a dia. Agora deixe o comprimento crescer. A Torre Eiffel tem cerca de 300 m de ferro; entre uma noite de inverno e uma tarde de verão, com ΔT = 40 °C, ela cresce 300 × 12 × 10−6 × 40 = 0,144 m — cerca de 14 cm, e o site oficial da Torre diz que ela chega a 15 cm mais alta no verão. Um quilômetro de trilho contínuo, com o mesmo ΔT, quer crescer 1 000 × 12 × 10−6 × 40 = 0,48 m: quase meio metro.
A analogia que a série usa é a do juro lento: por metro, é quase nada; mas o trilho tem mil metros e o verão tem quarenta graus, e a conta vence de uma vez, no dia mais quente. O que as aulas antigas de termodinâmica raramente diziam é que a dilatação é ao mesmo tempo pequena e inegociável — pequena por metro, grande por quilômetro, e ninguém consegue proibi-la. Só dá para prever e dar lugar. E como ΔL é proporcional a L₀, o resultado de uma peça serve para outra: se 1 m cresce 0,48 mm, então 1 000 m crescem 1 000 vezes isso, 480 mm = 48 cm — muita questão de dilatação se resolve por regra de três a partir de um único valor dado, sem tocar no 10−6.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nas contas de dilatação há um passo antes dos três: declarar L₀, ΔT e α, cada um com a sua unidade — e lembrar que ΔT é uma diferença entre a temperatura final e a inicial do próprio corpo.
Exemplo 1 — O trilho de Suffolk
Um trilho de aço de L₀ = 60 m foi assentado a 5 °C (valor didático de referência) e, em 19 de julho de 2022, chegou a 62 °C. Com α = 12 × 10−6 /°C, quanto ele cresceu?
Fórmula. ΔT = T − T₀ ; ΔL = L₀ · α · ΔT
Substituição. ΔT = 62 − 5 = 57 °C ; ΔL = 60 × 12 × 10−6 × 57
Resultado. ΔL = 0,04104 m ≈ 4,1 cm
Conferência. por metro, 12 × 10−6 × 57 ≈ 0,68 mm; vezes 60 m dá cerca de 41 mm. Quatro centímetros que não tinham para onde ir.
Exemplo 2 — A Torre Eiffel no verão
A estrutura de ferro da Torre Eiffel tem cerca de L₀ = 300 m. Entre uma noite de inverno e uma tarde de verão a temperatura do ferro sobe ΔT = 40 °C. Usando α = 12 × 10−6 /°C, quanto a Torre cresce?
Fórmula. ΔL = L₀ · α · ΔT
Substituição. ΔL = 300 × 12 × 10−6 × 40
Resultado. ΔL = 0,144 m ≈ 14 cm
Conferência. o site oficial da Torre diz que ela cresce até 15 cm no verão; a conta de uma linha, com um ΔT redondo, chega a 14. A ordem de grandeza é a mesma — e é o que uma conta de uma linha deve dar.
Exemplo 3 — Um quilômetro de trilho contínuo
Um trecho de trilho contínuo tem L₀ = 1 000 m de aço (α = 12 × 10−6 /°C). Quanto ele quer crescer quando a temperatura do aço sobe ΔT = 40 °C?
Fórmula. ΔL = L₀ · α · ΔT
Substituição. ΔL = 1 000 × 12 × 10−6 × 40
Resultado. ΔL = 0,48 m = 48 cm
Conferência. 1 m cresce 0,48 mm com esse ΔT; 1 000 m crescem 1 000 vezes isso, 480 mm. Quase meio metro por quilômetro — é o comprimento que a pré-tensão tem de segurar.
Exemplo 4 — Ao contrário: que ΔT faz 60 m crescerem 1 cm?
Um trilho de aço de L₀ = 60 m (α = 12 × 10−6 /°C) cresceu ΔL = 1 cm. De quantos graus foi a variação de temperatura do aço?
Fórmula. ΔT = ΔL ÷ (L₀ · α)
Substituição. ΔL = 1 cm = 0,01 m ; ΔT = 0,01 ÷ (60 × 12 × 10−6) = 0,01 ÷ (7,2 × 10−4)
Resultado. ΔT ≈ 13,9 °C
Conferência. uma tarde de sol. Com ΔT = 57 °C o mesmo trilho cresceu 4,1 cm; 13,9 é cerca de um quarto de 57, e 1 cm é cerca de um quarto de 4,1 cm — a proporção fecha.
Exemplo 5 — O inverno: a folga que abre
O mesmo trilho de L₀ = 60 m, assentado a 5 °C, chega a uma madrugada de −10 °C (α = 12 × 10−6 /°C). Quanto ele muda de comprimento?
Fórmula. ΔT = T − T₀ ; ΔL = L₀ · α · ΔT
Substituição. ΔT = −10 − 5 = −15 °C ; ΔL = 60 × 12 × 10−6 × (−15)
Resultado. ΔL = −0,0108 m ≈ −1,1 cm (o trilho encolhe cerca de 1,1 cm)
Conferência. ΔT negativo, ΔL negativo: a mesma lei, no sentido oposto. É por isso que a folga das juntas fica mais aberta no inverno — e por isso um trilho contínuo, assentado esticado, fica ainda mais tenso no frio.
Radar ENEM
O ENEM cobra a dilatação linear de quatro jeitos, quase sempre em contexto: a lei direta (trilho, ponte, fio, viga), a folga entre duas peças, o gráfico L × T de uma barra e a comparação de materiais pelo α. Em todos, a pergunta escondida é a mesma: quem é L₀, quem é ΔT e em que unidade está cada um.
No gráfico, o comprimento L cresce em linha reta com a temperatura: L = L₀ + L₀·α·T. A reta corta o eixo vertical em L₀ e tem inclinação L₀·α — para uma barra de aço de 2 m, 2 × 12 × 10−6 = 2,4 × 10−5 m/°C, ou 0,024 mm por grau; de 0 a 100 °C ela vai de 2,0000 m a 2,0024 m. A prova dá a reta e pede o α: basta dividir a inclinação por L₀. Os distratores? O ΔT do ar no lugar do ΔT do aço (2,5 cm em vez de 4,1 cm no trilho de 60 m); a temperatura final no lugar da diferença; o 10−6 perdido na conversão; e a ideia de que, sem folga, o trilho simplesmente "não dilata".
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Usar a temperatura do ar no lugar da do corpo — o trilho ao sol está cerca de 20 °C acima do ar; o ΔT é o do aço (Exemplo 1).
- Usar a temperatura final no lugar do ΔT — ΔT é T − T₀; "62" e "57" dão alternativas diferentes (Exemplo 1).
- Perder o 10−6 ou misturar as unidades — L₀ em metros dá ΔL em metros; converta para cm ou mm só no fim (Exemplo 4).
- Confundir α com a inclinação do gráfico — α é /°C; a inclinação L₀·α é m/°C (seção do coeficiente).
- Achar que sem folga o material não dilata — ele dilata do mesmo jeito; sem lugar, empena (seção da folga).
- Errar o sinal na contração — ΔT negativo dá ΔL negativo: a peça encolhe (Exemplo 5).
Resumo em cinco peças
- ΔL = L₀·α·ΔT: a dilatação cresce com o comprimento inicial, com o ΔT e com o material.
- α é do material, em /°C, da ordem de 10−6: aço 12 × 10−6 /°C, vidro 8,3 × 10−6 /°C.
- Trilho ao sol fica cerca de 20 °C acima do ar: o ΔT da conta é o do aço, não o do ar.
- Folga ou pré-tensão — nunca "sem espaço": o aço cresce de qualquer jeito; sem lugar, empena.
- Pequeno por metro, grande por quilômetro: 0,48 mm por metro viram 48 cm em 1 km.
Se for guardar uma frase só, guarde o trilho: 62 °C no aço, quatro centímetros em sessenta metros — e uma linha inteira fechada porque ninguém negocia com a dilatação.
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