Capítulo 4O litro que muda de tamanho
Dilatação superficial e volumétrica
O litro que sai da bomba às três da tarde é maior que o litro das seis da manhã — e a regra manda medir tudo a vinte graus, porque o volume muda e a massa não.
Neste capítulo você vai
- Passar de uma para duas e três direções: β = 2α para a área, γ = 3α para o volume, e por que o furo da tampa cresce junto com a chapa
- Calcular quanto o combustível dilata no tanque do carro e no caminhão-tanque, e ver por que o líquido cresce trinta e uma vezes mais que o aço
- Separar a dilatação real, a do frasco e a aparente — e entender por que a regra corrige o volume para 20 °C
Assista ao episódio 4
Este capítulo acompanha o episódio 4 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.
O caso: o litro que muda de tamanho
Um posto de combustível, à noite. O bico da bomba pinga, o visor conta os litros. Um litro custou o que custou — mas o litro que saiu dali às três da tarde não é o mesmo litro que saiu às seis da manhã. O combustível cresce com o calor: cerca de um milésimo do volume para cada grau de temperatura. O tanque de aço que o guarda também cresce, mas muito menos — umas trinta e uma vezes menos, como a conta deste capítulo vai mostrar.
A regra brasileira sabe disso. Pela Resolução ANP nº 894/2022, o volume de derivados de petróleo é comercializado corrigido para 20 °C: a resolução fixa as tabelas que convertem densidade e volume de qualquer temperatura para essa referência. As distribuidoras carregam o diesel corrigindo para 20 °C — e, se a temperatura ambiente é maior ou menor, a diferença de volume é perceptível, embora a massa não mude. Um exemplo da própria tabela: um produto na faixa da gasolina medido a 24,5 °C recebe o fator 0,9951 — cada litro medido vale 0,9951 litro a 20 °C.
É desse fato que sai o capítulo. O capítulo 3 mostrou o trilho crescendo numa direção só, com ΔL = L₀·α·ΔT. Aqui a mesma ideia ganha duas e três direções: a chapa que cresce em área, o líquido que cresce em volume, o furo da tampa que cresce junto com a chapa — e a dilatação aparente, que é o que o olho vê quando o líquido e o recipiente crescem ao mesmo tempo.
De uma dimensão para duas: a chapa e o furo
Uma chapa de metal aquecida cresce no comprimento e cresce na largura. Cada lado obedece à regra do capítulo 3, com o mesmo α. Como a área é o produto dos dois lados, a variação relativa da área é a soma das duas variações relativas — e a chapa cresce em área com o dobro do coeficiente.
Definição
Dilatação superficial
- ΔA = A₀·β·ΔT: a variação da área é a área inicial vezes o coeficiente superficial vezes a variação de temperatura.
- β = 2α: o coeficiente superficial é o dobro do linear, porque a área tem duas dimensões e cada uma cresce com α.
- Unidades: A₀ em m² ou cm², ΔT em °C, β em /°C (o mesmo "por grau" do capítulo 3). O resultado sai na unidade de A₀.
Para o aço, α = 12 × 10−6 /°C, então β = 24 × 10−6 /°C: uma chapa de 1 m² aquecida em 50 °C cresce ΔA = 1 × 24 × 10−6 × 50 = 1,2 × 10−3 m², ou 12 cm². Pouco — mas é o dobro do que daria quem usasse α no lugar de β.
E o furo? Pense num pedaço da chapa recortado com uma caneta: se a chapa fosse aquecida inteira, esse pedaço cresceria com o resto. Agora retire o pedaço. A borda que ficou não sabe que o miolo saiu: cada ponto dela continua a se afastar dos vizinhos na mesma proporção. O furo dilata como se fosse chapa. É por isso que a tampa de metal presa no pote de vidro sai depois de um jato de água quente: o furo da tampa cresce mais que o gargalo de vidro, porque o aço tem α maior que o vidro (12 contra 8,3 × 10−6 /°C). A conta está no Exemplo 1.
Atenção
O furo cresce; não encolhe
O erro clássico é imaginar o metal "invadindo" o furo ao dilatar. Não invade: o furo faz parte da chapa e cresce com ela, no mesmo coeficiente. Anel, arruela, gargalo, furo de parafuso — todo vazio cercado de metal aumenta quando o metal esquenta. Quem diz que o furo encolhe erra a tampa, erra o anel e erra a questão.
Dica ENEM
Dica ENEM: dilatar é a mesma coisa em uma, duas ou três direções
Só muda o número de vezes que α entra: α para o comprimento, 2α para a área, 3α para o volume. Se o enunciado dá α e pede área, dobre; se pede volume, triplique. Se dá β ou γ e pede comprimento, faça o caminho de volta.
De duas para três: o volume
O mesmo raciocínio, com uma dimensão a mais. Um bloco aquecido cresce no comprimento, na largura e na altura, cada uma com α; o volume é o produto das três, e a variação relativa do volume é a soma das três — o coeficiente volumétrico é o triplo do linear.
Definição
Dilatação volumétrica
- ΔV = V₀·γ·ΔT: a variação do volume é o volume inicial vezes o coeficiente volumétrico vezes a variação de temperatura.
- γ = 3α para os sólidos: três dimensões, cada uma com α.
- Para os líquidos não existe α nem β — líquido não tem forma própria, só volume. O γ do líquido é medido direto.
| Material | α (/°C) | γ (/°C) |
|---|---|---|
| aço | 12 × 10−6 | 36 × 10−6 |
| vidro | 8,3 × 10−6 | 25 × 10−6 |
| gasolina | — | 1,1 × 10−3 |
Para o aço, γ = 3 × 12 × 10−6 = 36 × 10−6 /°C. Um cubo de aço de 1 000 cm³ (10 cm de aresta) aquecido em 100 °C cresce ΔV = 1 000 × 36 × 10−6 × 100 = 3,6 cm³ — menos de uma colher de chá num cubo de um litro. Sólido dilata pouco. É a última linha da tabela que muda a história.
Atenção
Toda conta de dilatação declara três coisas
Antes de multiplicar, escreva o valor inicial (L₀, A₀ ou V₀, com unidade), a variação de temperatura ΔT (em °C, com sinal: esquentou é positiva, esfriou é negativa) e o coeficiente com a unidade /°C. O resultado sai na unidade do valor inicial — se V₀ está em litros, ΔV sai em litros. Quem mistura cm³ com litros ou esquece o sinal de ΔT erra a resposta com a fórmula certa.
Os líquidos dilatam muito mais
Compare os coeficientes da tabela: o γ da gasolina, 1,1 × 10−3 /°C, é cerca de trinta e uma vezes o γ do aço (36 × 10−6 /°C) e quase cem vezes o α do aço. A ordem de grandeza resume: líquidos têm γ da casa de 10−3 /°C; sólidos, α da casa de 10−5 /°C. É uma diferença de duas potências de dez.
Com o γ da gasolina, a conta do posto fica concreta. Um tanque de carro com 50 L, num dia em que a temperatura sobe 10 °C: ΔV = 50 × 1,1 × 10−3 × 10 = 0,55 L. Meio litro que existe de tarde e não existe de manhã — sem que uma grama a mais de combustível tenha entrado. E o caminhão-tanque: 30 000 L carregados a 30 °C e medidos a 20 °C encolhem ΔV = 30 000 × 1,1 × 10−3 × (−10) = −330 L. Trezentos e trinta litros que somem no termômetro.
Dica ENEM
Dica ENEM: sólido é 10−5, líquido é 10−3
Quando a questão pede a dilatação de um líquido e as alternativas variam por potências de dez, use a ordem de grandeza como filtro: um líquido cresce da casa de 0,1% por grau; um sólido, da casa de 0,001% por grau. Se o resultado para 50 L de combustível deu 5,5 mL, faltou um fator de cem; se deu 55 L, sobrou um.
Atenção
O volume muda; a massa, não
Dilatar não cria nem destrói matéria: as mesmas moléculas ocupam mais espaço. Os 0,55 L a mais do tanque quente são o mesmo combustível espalhado, com a mesma massa e a mesma energia para queimar. É por isso que a regra corrige o volume para 20 °C: o que se compra, no fundo, é massa — o litro é só a régua.
Dilatação aparente: o recipiente também cresce
Quando o combustível esquenta dentro do tanque de aço, o tanque esquenta junto. O líquido cresce 330 L a cada 10 °C — e o tanque cresce também, só que com o γ do aço. O que se vê no nível do tanque é a diferença.
Definição
Dilatação aparente
- ΔV aparente = ΔV do líquido − ΔV do recipiente: o que se vê no nível é o crescimento do líquido descontado o crescimento do vaso.
- ΔV do líquido = V₀·γ do líquido·ΔT; ΔV do recipiente = V₀·γ do recipiente·ΔT, com o mesmo V₀ (o recipiente está cheio) e o mesmo ΔT.
- A dilatação real do líquido é sempre maior que a aparente, porque o recipiente cresce um pouco e "esconde" parte dela.
Com números: o tanque de aço de 30 000 L, γ = 36 × 10−6 /°C, aquecido em 10 °C, cresce ΔV = 30 000 × 36 × 10−6 × 10 = 10,8 L. O combustível cresce 330 L. O nível sobe o equivalente a 330 − 10,8 = 319,2 L — cerca de 319 L. A razão entre as duas dilatações é 1,1 × 10−3 ÷ 36 × 10−6 ≈ 31: o líquido cresce trinta e uma vezes mais que a lata. Por isso, na prática, o tanque quase não disfarça a dilatação do combustível — mas numa questão de prova a parcela do recipiente é exatamente o que separa a alternativa certa da tentadora.
Atenção
Real, aparente e a do frasco
São três números, e a questão pode pedir qualquer um. A dilatação real é a do líquido sozinho; a do frasco é a do recipiente; a aparente é a diferença. Quem responde 330 L quando a pergunta é "quanto o nível subiu" esqueceu o frasco; quem responde 319 L quando a pergunta é "quanto o líquido dilatou" descontou o que não devia.
A lei mede a vinte graus
Tudo isso explica a resolução da agência reguladora. Se o volume de um líquido muda com a temperatura, "um litro" não é uma quantidade fixa de combustível: é uma quantidade que depende de quando e onde se mediu. A saída é escolher uma temperatura de referência — 20 °C — e converter todo volume medido para o volume que o mesmo produto teria nessa temperatura. O fator da tabela faz isso: 0,9951 a 24,5 °C significa que 4,5 °C acima da referência inflaram o volume em 0,49%, e a conversão desconta.
A partir desse fator sai o coeficiente que a série usa: se 4,5 °C de aquecimento respondem por 0,49% do volume, então γ = 0,0049 ÷ 4,5 ≈ 1,1 × 10−3 /°C. Não é um número de livro; é um número da tabela oficial, e a narração o resume como "cerca de um milésimo por grau".
Dica ENEM
Dica ENEM: o gráfico V × T é uma reta
Nas questões com gráfico, o volume em função da temperatura é uma reta que sai de V₀ na temperatura de referência. A inclinação vale V₀·γ, então o coeficiente se lê do gráfico: γ = (variação de V) ÷ (V₀ × variação de T). Se a reta é de um líquido, a inclinação é grande; se é de um sólido, quase deitada — e as duas nunca se cruzam.
Fica uma pergunta para o próximo capítulo. Tudo o que a série disse até aqui — o trilho, a chapa, o cubo, a gasolina — cresce quando esquenta. E a água? A água quebra essa regra entre zero e quatro graus: nessa faixa ela encolhe ao esquentar. É por isso que um lago congela por cima, e é o assunto do capítulo 5.
Exemplos resolvidos
Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nas contas de dilatação há um passo antes: declarar o valor inicial, o ΔT com sinal e o coeficiente com unidade.
Exemplo 1 — A tampa que sai com água quente
Uma tampa de aço (α = 12 × 10−6 /°C) tem furo de 8 cm de diâmetro e está presa ao gargalo de vidro (α = 8,3 × 10−6 /°C) de um pote, também com 8 cm. Um jato de água quente aquece os dois em 60 °C. Quanto cresce cada diâmetro, e qual é a folga que solta a tampa?
Fórmula. ΔD = D₀·α·ΔT, com D₀ = 8 cm, ΔT = +60 °C ; folga = ΔD do aço − ΔD do vidro
Substituição. aço: ΔD = 8 × 12 × 10−6 × 60 ; vidro: ΔD = 8 × 8,3 × 10−6 × 60
Resultado. aço: ΔD = 0,00576 cm ≈ 0,058 mm ; vidro: ΔD = 0,00398 cm ≈ 0,040 mm ; folga ≈ 0,018 mm
Conferência. o furo cresceu como chapa, não encolheu; a folga é minúscula, mas basta para vencer o atrito da rosca — na prática, o metal esquenta antes do vidro e a folga é ainda maior.
Exemplo 2 — A área do furo
O furo da tampa do Exemplo 1 tem 8 cm de diâmetro (raio 4 cm). Com π ≈ 3, quanto cresce a área do furo com os mesmos 60 °C?
Fórmula. A₀ = π·r² ; ΔA = A₀·β·ΔT, com β = 2α = 24 × 10−6 /°C e ΔT = +60 °C
Substituição. A₀ = 3 × 4² = 48 cm² ; ΔA = 48 × 24 × 10−6 × 60
Resultado. ΔA = 0,069 cm² ≈ 6,9 mm²
Conferência. em proporção, a área cresceu β·ΔT = 24 × 10−6 × 60 = 0,144%, o dobro dos 0,072% do diâmetro — a área tem duas dimensões, e o fator entra duas vezes.
Exemplo 3 — O tanque do carro
Um tanque tem 50 L de gasolina (γ = 1,1 × 10−3 /°C) enchidos de manhã. À tarde, a temperatura do combustível subiu 10 °C. Quanto o volume aumentou?
Fórmula. ΔV = V₀·γ·ΔT, com V₀ = 50 L, ΔT = +10 °C
Substituição. ΔV = 50 × 1,1 × 10−3 × 10
Resultado. ΔV = 0,55 L
Conferência. 1,1 × 10−3 por grau vezes 10 graus é 1,1% do volume; 1,1% de 50 L é 0,55 L. A massa de combustível é a mesma da manhã.
Exemplo 4 — O caminhão-tanque
Um caminhão carrega 30 000 L de combustível a 30 °C e o volume é medido a 20 °C, como manda a resolução. Qual é a variação de volume?
Fórmula. ΔV = V₀·γ·ΔT, com V₀ = 30 000 L, γ = 1,1 × 10−3 /°C, ΔT = 20 − 30 = −10 °C
Substituição. ΔV = 30 000 × 1,1 × 10−3 × (−10)
Resultado. ΔV = −330 L (o volume diminui 330 L)
Conferência. o sinal negativo é o ΔT: esfriou, encolheu. Trezentos e trinta litros em trinta mil é 1,1%, a mesma fração do Exemplo 3 — a dilatação relativa só depende de γ e de ΔT.
Exemplo 5 — A dilatação aparente no tanque de aço
O tanque de aço do caminhão (γ = 36 × 10−6 /°C) também tem 30 000 L e sofre o mesmo aquecimento de 10 °C. Quanto ele cresce, e quanto o nível do combustível sobe de fato?
Fórmula. ΔV do tanque = V₀·γ do aço·ΔT ; ΔV aparente = ΔV do líquido − ΔV do tanque, com V₀ = 30 000 L, ΔT = +10 °C
Substituição. ΔV do tanque = 30 000 × 36 × 10−6 × 10 ; ΔV aparente = 330 − 10,8
Resultado. ΔV do tanque = 10,8 L ; ΔV aparente = 319,2 L ≈ 319 L
Conferência. a razão 330 ÷ 10,8 ≈ 31 é a razão dos coeficientes, 1,1 × 10−3 ÷ 36 × 10−6 ≈ 31 — o líquido cresce trinta e uma vezes mais que a lata.
Radar ENEM
O ENEM cobra este capítulo em quatro formatos, e nenhum deles pede caminhão-tanque. O primeiro é a relação entre os coeficientes: dado α, achar β ou γ. O segundo é o furo, o anel e a tampa — a pergunta é "aumenta ou diminui", e a resposta é sempre aumenta. O terceiro é a dilatação aparente: o líquido no frasco, com três números possíveis. O quarto é o gráfico V × T, uma reta cuja inclinação dá o coeficiente. E, no meio dos enunciados, a junta de dilatação da ponte: a fresta entre dois trechos existe para o vão crescer no verão sem empurrar o vizinho.
Um exemplo do primeiro formato, com números de prova: um vão de aço de 100 m, ΔT = 40 °C, cresce ΔL = 100 × 12 × 10−6 × 40 = 0,048 m, quase 5 cm — a fresta da junta tem de ser maior que isso. E o distrator do terceiro: quem esquece o frasco responde a dilatação real no lugar da aparente, e a alternativa está lá, esperando.
Dica ENEM
Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas
- Usar α onde era β ou γ — a área dobra o coeficiente e o volume triplica (Exemplo 2).
- Dizer que o furo encolhe — o furo dilata como chapa; a tampa sai porque o furo cresceu (Exemplo 1).
- Esquecer o recipiente — o nível mostra a dilatação aparente, que é a real menos a do frasco (Exemplo 5).
- Errar o sinal de ΔT — esfriou é negativo, e o volume diminui (Exemplo 4).
- Misturar a unidade de V₀ com a do resultado — ΔV sai na unidade de V₀; litro entra, litro sai (Exemplo 3).
Resumo em cinco peças
- β = 2α e γ = 3α: dilatar é a mesma coisa em uma, duas ou três direções — só multiplica.
- O furo cresce como chapa: anel, tampa e gargalo aumentam quando o metal esquenta.
- Líquido dilata cerca de cem vezes mais que sólido: γ da casa de 10−3 contra α de 10−5.
- Dilatação aparente = a do líquido − a do recipiente: o nível esconde o que o frasco cresceu.
- A regra mede a 20 °C porque o que se compra é massa; o litro muda de tamanho, a massa não.
Se for guardar uma frase só, guarde o posto: o litro das três da tarde é maior que o das seis da manhã — e a massa é a mesma.
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