Capítulo 5O lago que congela por cima

A dilatação anômala da água

Um lago congela por cima, e embaixo da tampa de gelo a água fica a quatro graus o inverno inteiro: a água é a única substância comum que encolhe quando esquenta — só entre zero e quatro —, e é por isso que o gelo flutua e o peixe sobrevive.

Neste capítulo você vai

Reconhecer a exceção da série: entre 0 e 4 °C a água encolhe ao esquentar, e o volume é mínimo e a densidade máxima a 4 °C
Montar o inverno do lago com dois números: o fundo a 4 °C, onde a água é mais densa, e o gelo por cima, 9% maior que a água que o formou
Calcular com densidade o que estoura a garrafa e o que flutua: 500 mL de água viram 545 mL de gelo, e 91,7% de um iceberg fica submerso

Assista ao episódio 5

Este capítulo acompanha o episódio 5 da série no canal. Assista antes ou depois da leitura — o vídeo é público e gratuito.

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O caso: o lago que congela por cima

O inverno chega e um lago congela. Não por inteiro: congela por cima. Uma tampa de gelo cobre a superfície, e embaixo dela a água continua líquida — e continua líquida o inverno todo. Quem mede a temperatura em profundidades crescentes encontra sempre o mesmo desenho: 0 °C logo abaixo do gelo, e a água cada vez menos fria conforme se desce, até 4 °C no fundo. É ali, a 4 °C, que o peixe passa o inverno.

Figura 5.1 — O lago no inverno: gelo por cima, 4 °C no fundo. A coluna do termômetro sobe conforme se desce.

Isso contraria tudo o que os capítulos 3 e 4 disseram. Lá, toda substância crescia ao esquentar e encolhia ao esfriar: o trilho, a chapa, a gasolina no tanque. Se a água obedecesse a essa regra, a água mais fria seria sempre a mais densa, afundaria sempre, e o lago congelaria de baixo para cima — o fundo primeiro, e o peixe com ele.

Não é o que acontece, e o motivo é uma medida: a água tem densidade máxima a 3,98 °C, 0,99997 g/cm³. Entre 0 e 4 °C ela faz o contrário de todo líquido: encolhe ao esquentar e cresce ao esfriar. E o gelo que se forma a 0 °C é ainda menos denso, 0,9168 g/cm³ — cerca de 9% a mais de volume do que a água que o formou. Por isso ele flutua, e por isso a tampa fica em cima. Este capítulo é a exceção da série, e a seção do lago mostra como esses dois números, 4 °C e 9%, montam o inverno inteiro de um lago.

A regra e a exceção

O capítulo 4 fechou a regra da dilatação volumétrica: um volume inicial V₀ que sofre uma variação de temperatura ΔT muda de volume por ΔV = V₀·γ·ΔT, com γ positivo — esquentou, cresceu. Um litro de gasolina (V₀ = 1 L, γ = 1,1 × 10⁻³ /°C) que passa de 20 °C para 30 °C (ΔT = 10 °C) cresce ΔV = 1 × 1,1 × 10⁻³ × 10 = 0,011 L, ou 11 mL. Era o litro que muda de tamanho.

Dois pares de recipientes graduados. Acima, a regra: um litro de gasolina a 20 °C e o mesmo litro a 30 °C, com o nível 11 mL mais alto, marcado por uma cota. Abaixo, a exceção: um quilo de água a 0 °C, com 1,00016 L, e o mesmo quilo a 4 °C, com 1,00003 L, o nível mais baixo, marcado por uma cota fora de escala. — **Figura 5.2** — A regra e a exceção. A gasolina cresce ao esquentar; a água, entre 0 e 4 °C, encolhe.

A água líquida segue essa regra na maior parte da escala: de 4 °C para cima, esquentar é crescer. Mas entre 0 e 4 °C o sinal vira. Um quilo de água a 0 °C ocupa 1,00016 L; a 4 °C, 1,00003 L. Esquentou quatro graus e ficou menor. Pela fórmula, isso é um γ negativo: ΔV = 1,00003 − 1,00016 = −0,00013 L num ΔT de 4 °C, o que dá um γ médio de cerca de −3,2 × 10⁻⁵ /°C nesse trecho. A diferença é minúscula — 0,13 mL num litro —, mas o sinal é o que decide para que lado a água afunda.

Definição

Dilatação anômala da água

Entre 0 °C e 4 °C a água líquida diminui de volume ao ser aquecida e aumenta de volume ao ser resfriada: o coeficiente γ é negativo nesse trecho. A partir de 4 °C ela volta à regra geral, com γ positivo. O volume de uma massa fixa de água é mínimo a 4 °C (com precisão, 3,98 °C) — e a densidade, máxima.

O nome "anômala" não quer dizer que a água quebre alguma lei. Quer dizer que ela quebra a regra prática dos capítulos 3 e 4, que valia para o aço, o vidro e a gasolina. A razão está no modo como as moléculas de água se ligam umas às outras, a ligação de hidrogênio — e isso é química. Aqui fica o fato medido, e o fato medido basta para explicar o lago.

Atenção

A água não dilata como todo líquido

Dizer "a água dilata quando esquenta", sem a ressalva, é o erro que este capítulo existe para evitar. A frase completa é: a água encolhe ao esquentar de 0 a 4 °C e só então passa a dilatar. Na prova, toda questão sobre lago, gelo que flutua ou garrafa que estoura no congelador está testando essa ressalva.

Volume mínimo, densidade máxima

A massa de um quilo de água não muda com a temperatura: continua um quilo. O que muda é o volume que esse quilo ocupa, e por isso a densidade — massa dividida por volume — muda junto. Volume mínimo é o mesmo que densidade máxima.

Definição

Densidade

Densidade é a razão entre a massa de um corpo e o volume que ela ocupa: ρ = m ÷ V. Unidades: g/cm³ (o mesmo que g/mL) ou kg/m³, com 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³. Para uma massa fixa, volume menor significa densidade maior; é por isso que o gráfico do volume da água tem um mínimo a 4 °C e o gráfico da densidade tem um máximo no mesmo ponto.

Estado	Temperatura	Densidade
água líquida	0 °C	0,99984 g/cm³
água líquida	4 °C	0,99997 g/cm³
gelo	0 °C	0,9168 g/cm³

Os três números da tabela são tudo o que o capítulo precisa. Os dois primeiros dizem que a água a 4 °C é mais densa que a água a 0 °C — por pouco, mas é. O terceiro diz que o gelo é bem menos denso que qualquer uma das duas: a diferença aqui não é de décimos de milésimo, é de 8%.

Dois gráficos lado a lado. À esquerda, o volume de um quilo de água em função da temperatura, de 0 a 10 °C: a curva desce de 1,00016 L em 0 °C até o mínimo de 1,00003 L em 4 °C e volta a subir. À direita, a densidade em função da temperatura: a curva sobe de 0,99984 g/cm³ em 0 °C até o máximo de 0,99997 g/cm³ em 4 °C e desce. O eixo vertical dos dois está fora de escala. — **Figura 5.3** — Volume mínimo e densidade máxima em 4 °C. As curvas estão com o eixo vertical exagerado: a diferença real é de um décimo de mililitro por litro.

O gráfico é o que o ENEM mais usa deste capítulo. Ele quer saber se você reconhece o mínimo: à esquerda de 4 °C, o volume desce quando a temperatura sobe; à direita, sobe. Repare que 0 °C não é o ponto mais baixo nem o mais alto da curva de volume — o extremo é 4 °C. É um gráfico com uma "barriga" para baixo, e a barriga fica em 4.

Dica ENEM

Dica ENEM: o gráfico com o mínimo

Se a questão traz o gráfico do volume da água contra a temperatura, procure o mínimo em 4 °C. Se traz o gráfico da densidade, procure o máximo, no mesmo 4 °C. Os dois gráficos contam a mesma história de cabeça para baixo — e o distrator clássico é a curva que só sobe, "como todo líquido".

O lago: esfria de cima para baixo até 4 °C

Agora o lago. No outono o ar fica mais frio que a água, e a superfície do lago cede calor para o ar — a água não "recebe frio": ela perde calor pela superfície. A camada de cima esfria, fica mais densa que a água embaixo e afunda; a água menos fria sobe, esfria por sua vez e afunda também. É uma circulação que mistura o lago inteiro, e ela continua enquanto esfriar for sinônimo de ficar mais denso — isto é, até o lago todo chegar a 4 °C.

Dois cortes do mesmo lago. À esquerda, o outono: o lago inteiro a 4 °C, a superfície cedendo calor ao ar frio, marcado por uma seta do fluxo de calor que sai da água para o ar; um cartão diz que a água que esfria fica mais densa e desce. À direita, o inverno: a camada de gelo na superfície e, abaixo dela, água a 0, 1, 2, 3 e 4 °C, a mais fria por cima; um cartão diz que abaixo de 4 °C a água que esfria fica menos densa e fica em cima. — **Figura 5.4** — Outono: a superfície esfria, afunda e mistura o lago até 4 °C. Inverno: abaixo de 4 °C a água mais fria é a menos densa, fica por cima e congela lá.

A partir daí a regra vira. A superfície continua perdendo calor para o ar e cai para 3 °C, 2 °C, 1 °C — mas agora a água mais fria é a menos densa, e em vez de afundar ela fica por cima. A circulação para. O lago se organiza em camadas: a água mais fria em cima, a de 4 °C embaixo, e nada mais se mistura. A camada de cima chega a 0 °C e congela. O gelo, menos denso que tudo, flutua, e a tampa está pronta.

A tampa faz mais do que flutuar: ela isola. O gelo conduz mal o calor, e a água embaixo dele passa a ceder calor muito devagar. Por isso o fundo fica a 4 °C o inverno inteiro, e por isso a vida aquática sobrevive. Um lago que congelasse de baixo para cima não deixaria lugar nenhum para o peixe.

Atenção

Frio não entra: calor sai

Não existe "frio" como grandeza que se transfere. Em toda esta história a superfície do lago está cedendo calor ao ar. Frio é só o nome que damos a quem perdeu calor. A única seta desta figura é a do fluxo de calor, e ela sai da água para o ar.

Dica ENEM

Dica ENEM: a temperatura do fundo

Lago congelado, pergunta sobre o fundo: a resposta é 4 °C — a temperatura em que a água é mais densa. A alternativa "0 °C no fundo" existe para quem esquece a exceção; a "−4 °C" existe para quem confunde temperatura com sinal. Se a questão pedir o perfil de temperaturas, ele vai de 0 °C logo abaixo do gelo até 4 °C no fundo.

O gelo é maior que a água que o formou

Até aqui as diferenças foram miúdas. A do gelo não é. Um quilo de água a 4 °C ocupa 1,00003 L — um litro, na prática. O mesmo quilo, congelado, ocupa V = m ÷ ρ = 1 ÷ 0,9168 ≈ 1,0908 L. São 9,1% a mais de volume, nove por cento, para a mesma massa. É isso que arrebenta o cano.

Dois cubos com um quilo cada: o de água, a 4 °C, com 1,000 L, e o de gelo, com 1,091 L, visivelmente maior, com a diferença de volume marcada por uma cota de 9,1% a mais. — **Figura 5.5** — A mesma massa, 9% a mais de volume: o cubo de gelo é maior que o cubo de água que o formou.

O cano de água que estoura na geada, a garrafa cheia que racha no congelador, a rocha que se parte no inverno: em todos, água líquida ocupa um espaço fechado, congela e pede 9% a mais de espaço que o recipiente não tem. O recipiente cede. Uma garrafa de 500 mL cheia até a boca vira, congelada, 500 ÷ 0,9168 ≈ 545 mL de gelo — 45 mL que não cabem em lugar nenhum.

Definição

Por que o gelo flutua

O gelo flutua porque é menos denso que a água líquida: 0,9168 g/cm³ contra cerca de 1 g/cm³. Um corpo menos denso que o líquido em que está flutua, com parte do volume fora do líquido. Para a maioria das substâncias o sólido é mais denso que o líquido e afunda; a água é a exceção, e essa exceção é a mesma dos 0 a 4 °C — as moléculas se arrumam num arranjo mais aberto conforme esfriam.

Atenção

9% a mais de volume, não de massa

Congelar não cria massa. O quilo de água vira um quilo de gelo, nem um grama a mais. O que cresce é o volume, e por isso a densidade cai. Na prova, a alternativa "o gelo é mais pesado" ou "o gelo tem mais massa" é sempre errada: mais volume com a mesma massa é menos densidade, e menos densidade é o que faz flutuar.

O iceberg: 91,7% embaixo d'água

Se o gelo flutua, quanto dele fica embaixo d'água? A resposta sai só de densidades. Um bloco de gelo flutuando desloca uma quantidade de água cuja massa é igual à massa do bloco; como a Mecânica IV mostrou, é isso que sustenta um corpo que flutua. A massa do bloco é ρgelo × V; a massa de água deslocada é ρágua × Vsubmerso. Igualando as duas: Vsubmerso ÷ V = ρgelo ÷ ρágua = 0,9168 ÷ 1,000 = 0,9168. Fica 91,7% submerso; a ponta de fora é 8,3%.

Um iceberg flutuando: a linha d'água corta o bloco, e cotas laterais mostram 8,3% do volume acima da água e 91,7% abaixo. — **Figura 5.6** — A ponta do iceberg é 8,3% do volume. Os outros 91,7% estão embaixo da linha d'água.

"A ponta do iceberg" é uma expressão que a física leva ao pé da letra: o que se vê é oito por cento. É a mesma razão do lago: o gelo flutua porque é menos denso, e a fração submersa é exatamente a razão entre as densidades. O capítulo 8 volta ao iceberg por outro motivo — o calor que ele precisa receber para derreter —, e vai encontrar os mesmos 0,9168 g/cm³ no caminho.

Dica ENEM

Dica ENEM: a fração submersa

Fração submersa de um corpo que flutua = densidade do corpo ÷ densidade do líquido. Para o gelo na água, 0,9168 ÷ 1,000 ≈ 0,917, ou 91,7%. A parte de fora é o que falta para 100%: 8,3%. A alternativa "metade fora, metade dentro" é o tropeço; a "91,7% fora" é o mesmo número lido de cabeça para baixo.

Exemplos resolvidos

Toda conta deste livro é feita em três tempos: a fórmula, a substituição dos números (já nas unidades certas) e o resultado com a unidade. Nos exemplos deste capítulo a fórmula é quase sempre a mesma, V = m ÷ ρ ou ρ = m ÷ V, e o que muda é a densidade que entra: 0,99984 g/cm³ para a água a 0 °C, 0,99997 g/cm³ a 4 °C e 0,9168 g/cm³ para o gelo. Um litro é 1 000 cm³, e 1 g/cm³ é 1 kg/L.

Exemplo 1 — O quilo de água que esfriou e cresceu

Um quilo de água líquida está a 4 °C e esfria até 0 °C sem congelar. Qual é o volume antes e depois, e o que aconteceu com ele?

Fórmula. V = m ÷ ρ

Substituição. V (4 °C) = 1 kg ÷ 0,99997 kg/L ; V (0 °C) = 1 kg ÷ 0,99984 kg/L

Resultado. V (4 °C) ≈ 1,00003 L ; V (0 °C) ≈ 1,00016 L — esfriou de quatro para zero e cresceu 0,00013 L, ou 0,13 mL

Conferência. densidade menor a 0 °C tem de dar volume maior para a mesma massa; a diferença é pequena, mas o sinal é o que importa — a água que esfria abaixo de 4 °C ocupa mais espaço, fica menos densa e sobe.

Exemplo 2 — O quilo de gelo

Um quilo de água congela. Qual é o volume do gelo e quantos por cento a mais ele ocupa em relação ao litro de água a 4 °C?

Fórmula. V = m ÷ ρ ; aumento = (V (gelo) − V (água)) ÷ V (água)

Substituição. V (gelo) = 1 kg ÷ 0,9168 kg/L ; aumento = (1,0908 − 1) ÷ 1

Resultado. V (gelo) ≈ 1,0908 L ; aumento ≈ 0,091 = 9,1%

Conferência. nove por cento a mais, e é isso que arrebenta o cano. A conta inversa fecha: 1,0908 L × 0,9168 kg/L ≈ 1,000 kg.

Duas garrafas iguais de 500 mL. A primeira está cheia de água até a boca. A segunda está cheia de gelo, e o gelo ultrapassa a boca: uma cota marca os 545 mL do gelo e uma cota menor, os 45 mL que não cabem. — **Figura 5.7** — O Exemplo 3 em desenho: 500 mL de água viram 545 mL de gelo, e 45 mL não têm onde ficar.

Exemplo 3 — A garrafa no congelador

Uma garrafa de 500 mL é cheia de água até a boca, tampada e posta no congelador. Que volume o gelo ocupa quando toda a água congela, e quanto sobra?

Fórmula. m = ρ × V ; V (gelo) = m ÷ ρ (gelo)

Substituição. m = 1 g/cm³ × 500 cm³ = 500 g ; V (gelo) = 500 g ÷ 0,9168 g/cm³

Resultado. V (gelo) ≈ 545 mL ; sobram 545 − 500 = 45 mL que não cabem na garrafa

Conferência. 45 mL em 500 mL são 9%, a mesma fração do Exemplo 2. Ou a garrafa cede, ou a tampa sai — ou o vidro racha.

Exemplo 4 — A ponta do iceberg

Um bloco de gelo flutua em água a cerca de 4 °C. Que fração do volume dele fica submersa, e que fração fica fora?

Fórmula. Vsubmerso ÷ V = ρgelo ÷ ρágua

Substituição. Vsubmerso ÷ V = 0,9168 ÷ 1,000

Resultado. 0,9168, ou 91,7% submerso ; fora da água ficam 100% − 91,7% = 8,3%

Conferência. a massa de água deslocada, 1,000 kg/L × 0,9168 L, é 0,9168 kg — a massa de um litro de gelo. Para cada litro de gelo, 917 mL ficam embaixo da linha d'água. Guarde isso para o capítulo 8.

Exemplo 5 — O copo que não transborda

Um copo cheio de água até a borda tem um bloco de gelo de 2 000 cm³ flutuando nele. Quando o gelo derrete por completo, o copo transborda?

Fórmula. m = ρgelo × V (gelo) ; V (água) = m ÷ ρágua ; Vsubmerso = m ÷ ρágua

Substituição. m = 0,9168 g/cm³ × 2 000 cm³ = 1 833,6 g ; V (água) = 1 833,6 g ÷ 1,000 g/cm³

Resultado. V (água) ≈ 1 834 cm³ — o mesmo volume que o gelo já ocupava embaixo da linha d'água; o nível não muda e o copo não transborda

Conferência. o gelo deslocava 1 833,6 cm³ de água (a parte submersa, 91,7% de 2 000 cm³); ao derreter, vira exatamente 1 833,6 g de água, que ocupam esses mesmos 1 833,6 cm³. Os 166 cm³ que estavam fora da água eram só o volume extra do gelo, e somem quando ele volta a ser líquido.

Radar ENEM

O ENEM cobra este capítulo de três jeitos, e todos passam pelo mesmo fato: 4 °C, densidade máxima. O primeiro é o gráfico — volume ou densidade contra temperatura, com a pergunta escondida "onde está o extremo?". O segundo é o lago ou a garrafa: por que congela por cima, qual a temperatura do fundo, por que a garrafa estoura. O terceiro é o gelo que flutua: por quê, e quanto fica submerso.

À esquerda, o gráfico do volume da água contra a temperatura, com o mínimo em 4 °C destacado. À direita, três cartões: dois riscados com um X, "a água sempre dilata ao esquentar" e "o fundo do lago fica a 0 °C", e um cartão certo, "volume mínimo e densidade máxima a 4 °C". — **Figura 5.8** — O extremo está em 4 °C. Os cartões riscados são os distratores: a regra geral aplicada onde ela não vale, e o fundo do lago congelado.

Um lago congela na superfície; qual é a temperatura da água no fundo? Resposta: cerca de 4 °C, onde a água é mais densa. Os distratores? O "0 °C", para quem aplica a regra geral e manda a água mais fria para o fundo; o "gelo mais denso que a água", para quem esquece que o gelo flutua; e o "50% submerso", para quem chuta a ponta do iceberg. Os outros formatos são o gráfico com o mínimo e a garrafa: 500 mL de água, 545 mL de gelo, e a pergunta "quanto sobra?".

Dica ENEM

Dica ENEM: os tropeços que o examinador coloca nas alternativas

Aplicar "esquentou, dilatou" à água entre 0 e 4 °C — nesse trecho é o contrário: esquentar encolhe (Exemplo 1).
Pôr o fundo do lago a 0 °C — o fundo fica a 4 °C, a temperatura da água mais densa; 0 °C é logo abaixo do gelo (seção do lago).
Confundir volume mínimo com densidade mínima — a 4 °C o volume é mínimo e a densidade é máxima; são o mesmo fato (seção da densidade).
Dar ao gelo "mais massa" — congelar não cria massa; cria volume, 9% a mais, e por isso a densidade cai (Exemplo 2).
Chutar a ponta do iceberg — a fração submersa é a razão das densidades, 0,9168: 91,7% embaixo, 8,3% fora (Exemplo 4).

Resumo em cinco peças

Cinco peças: a água tem volume mínimo e densidade máxima a 4 °C; entre 0 e 4 °C o coeficiente é negativo e esquentar encolhe; o gelo ocupa 9% a mais que a água que o formou; o lago congela por cima e o fundo fica a 4 °C; 91,7% do gelo fica submerso. — **Figura 5.9** — O capítulo em cinco peças.

A água tem volume mínimo e densidade máxima a 4 °C: 0,99997 g/cm³.
Entre 0 e 4 °C, γ é negativo: esquentar encolhe, esfriar cresce. Acima de 4 °C, a regra volta.
O gelo ocupa cerca de 9% a mais que a água que o formou: um quilo de gelo tem 1,091 L.
O lago congela por cima; embaixo do gelo, a água fica a 4 °C no fundo o inverno inteiro.
Fração submersa do gelo = 0,9168 ÷ 1,000: 91,7% embaixo d'água, 8,3% fora.

Se for guardar uma frase só, guarde o lago: a água é a única substância comum que encolhe quando esquenta — só entre zero e quatro —, e por isso o gelo fica em cima e o peixe fica vivo.

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